Whitehead-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist die Whitehead-Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ ist.

J. H. C. Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincaré-Vermutung veröffentlicht, in dem er zunächst bewiesen haben wollte, dass jede kontrahierbare 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum $\mathbb {R} ^{3}$ ist, woraus er die Poincaré-Vermutung (jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur $S^{3}$) erhielt. Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead-Mannigfaltigkeit. Diese ist kontrahierbar, aber nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen, womit sie nicht homöomorph zum $\mathbb {R} ^{3}$ sein kann und seine erste Behauptung widerlegt.

Konstruktion

Konstruiere eine Folge $W_{i}$ von in der 3-Sphäre $S^{3}$ eingebetteten Volltori wie folgt.

1. Schritt: $W_{1}$ ist ein unverknoteter Volltorus in $S^{3}$.

2. Schritt: $W_{2}$ ist in $W_{1}$ so eingebettet, dass der Kern von $W_{2}$ mit dem Meridian von $W_{1}$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

i. Schritt: $W_{i+1}$ ist in $W_{i}$ so eingebettet, dass der Kern von $W_{i+1}$ mit dem Meridian von $W_{i}$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}$ in $S^{3}$, oder äquivalent die Vereinigungsmenge $\bigcup _{i\in \mathbb {N} }N_{i}$ mit $N_{i}=S^{3}\setminus W_{i}$.

Topologische Eigenschaften

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit $W$ ist kontrahierbar und $W\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}$,

Sie ist nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen. Ihre Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist der Quotient von $S^{3}$, wenn alle Punkte aus $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}$ miteinander identifiziert werden.

Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des $\mathbb {R} ^{3}$, deren Durchschnitt ebenfalls homöomorph zum $\mathbb {R} ^{3}$ ist.

Differentialgeometrie

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit trägt keine vollständige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.