Wiener-Filter

Das Wiener-Filter oder auch Wiener-Kolmogoroff-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, welches in den 1940er Jahren von Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt^[1] und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde.^[2] Es führt, gemessen an der mittleren quadratischen Abweichung, eine optimale Rauschunterdrückung durch.^[2]

Eigenschaften

Das Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:^[3]

Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
Fehlerkriterium: Minimale mittlere quadratische Abweichung

Modelleigenschaften

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal $s\left(t\right)$ gestört durch ein additives Rauschen $n\left(t\right)$ vorausgesetzt:

y(t)=s(t)+n(t).

Das Ausgangssignal $x\left(t\right)$ ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion $g\left(\tau \right)$ :

x(t)=g(\tau )*y(t)=g(\tau )*\left(s(t)+n(t)\right).

Fehler $e(t)=s\left(t+d\right)-x(t)$ und quadratischer Fehler $e^{2}(t)=s^{2}\left(t+d\right)-2s(t+d)x(t)+x^{2}(t)$ ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal $s\left(t+d\right).$ Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

Für $\left.d>0\right.$ : Prädiktion
Für $\left.d=0\right.$ : Filterung
Für $\left.d<0\right.$ : Glättung

Stellt man $x\left(t\right)$ als Faltungsintegral dar:

x(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )\left[s(t-\tau )+n(t-\tau )\right]d\tau },

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

E(e^{2})=R_{s}(0)-2\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{y\,s}(\tau +d)d\tau }+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )g(\theta )R_{y}(\tau -\theta )d\tau }d\theta },

wobei

$R_{s}$ die Autokorrelation der Funktion $\left.s(t)\right.,$
$R_{y}$ die Autokorrelation der Funktion $\left.y(t)\right.,$
$R_{y\,s}$ die Kreuzkorrelation der Funktionen $\left.y(t)\right.$ und $\left.s(t)\right.$ sind.

Wenn das Signal $s\left(t\right)$ und das Rauschen $n\left(t\right)$ unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

$R_{y\,s}=R_{s},$
$R_{y}=R_{s}+R_{n}.$

Das Ziel ist es nun, $\left.E(e^{2})\right.$ durch Bestimmung eines optimalen $g\left(\tau \right)$ zu minimieren.

Stationäre Lösungen

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

Nicht-kausale Lösung

G(s)={\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_{x}(s)}},

wobei $S_{x,s}(s)$ und $S_{x}(s)$ jeweils die Spektrale Leistungsdichte als Laplacetransformation der Kreuz- bzw. der Autokorrelation $R_{x\,s}$ und $R_{x}$ ist.

Unter der Voraussetzung, dass $g\left(t\right)$ optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der mittleren quadratischen Abweichung (Minimum Mean-Square Error, MMSE) beschreibt, zu

E(e^{2})=R_{s}(0)-\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{x,s}(\tau +d)d\tau }.

Die Lösung $g\left(t\right)$ ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von $\left.G(s)\right.$ .

Kausale Lösung

G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}}

Wobei

$\left.H(s)\right.$ die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von ${\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_{x}^{-}(s)}}$ ,
$S_{x}^{+}(s)$ die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von $\left.S_{x}(s)\right.$ und
$S_{x}^{-}(s)$ die negative Lösung der inversen Laplace-Transformation von $\left.S_{x}(s)\right.$ ist.

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung. 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.
↑ ^a ^b Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York NY 1949.
↑ Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions. 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.

[1] Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung. 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.

[:0-2] Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York NY 1949.

[3] Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions. 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.

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