Wiener-Wurst

Die Wiener-Wurst bezeichnet in der Mathematik einen stochastischen Prozess, der eine $\varepsilon$-Umgebung der brownschen Bewegung bzw. des Wienerprozesses ist.

Die Wiener-Wurst ist nach Norbert Wiener benannt.

Wiener-Wurst

Sei $(B_{t})_{t\geq 0}$ ein $d$-dimensionaler Standard-Wienerprozess. Die Wiener-Wurst ist der durch den Radius $\varepsilon >0$ und die $\varepsilon$-Umgebung $U_{\varepsilon }$ induzierte Prozess

$W^{(\varepsilon )}(t)=\bigcup \limits _{s\leq t}U_{\varepsilon }(B_{s}).$

Resultate

Volumen der Wiener-Wurst

Sei $V(t,\varepsilon )$ das Lebesgue-Maß der Wiener-Wurst, dann gilt

$\lim \limits _{t\to \infty }t^{-d/(2+d)}\log \mathbb {E} \left[e^{-\nu V(t,\varepsilon )}\right]=-k(d)\nu ^{2/(2+d)},$

wobei

$k(d)={\frac {d+2}{d}}\left({\frac {2\lambda _{d}}{d}}\right)^{d/(d+2)}\omega _{d}^{2/(2+d)}$

unabhängig von $\varepsilon$ und $\nu$ ist. $\lambda _{d}$ bezeichnet den kleinsten Eigenwert des Dirichletproblems $\Delta {\tfrac {1}{2}}$ auf dem Einheitsball in $\mathbb {R} ^{d}$ ($\Delta$ ist der Laplace-Operator) und $\omega _{d}$ ist das Volumen des $d$-dimensionalen Einheitsballes. Das Resultat wurde von Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan mit Hilfe der Variationsrechnung hergeleitet.