Winkelhalbierendensatz (Dreieck)

mathematischer Satz

Der Winkelhalbierendensatz ist eine Aussage der Elementargeometrie. Sie besagt, dass die Winkelhalbierende in einem Dreieck die dem Winkel gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden am Winkel anliegenden Seiten teilt.

Satz und Verallgemeinerung

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In einem Dreieck   sei   ein Punkt auf der Seite  . Die Strecke   teilt den Winkel   in die Winkel   und  . Sind diese beiden Winkel gleich groß, das heißt   ist die Winkelhalbierende des Winkels  , dann gilt für die Streckenverhältnisse:[1]

 .

Diese Aussage lässt sich auch auf Strecken   verallgemeinern, die den Winkel in einem beliebigen Verhältnis teilen. Es gilt dann die folgende Verhältnisgleichung:[2]

 .

Es gilt auch die Umkehrung des Winkelhalbierendensatzes. Das heißt, ist   ein Punkt auf der Seite   eines Dreiecks   und es gilt das Streckenverhältnis  , dann ist   die Winkelhalbierende des Winkels in  .

 
Skizze zum Beweis

Ein einfacher Beweis der verallgemeinerten Aussage ergibt sich, indem der Quotient der Flächen der beiden durch die Winkelhalbierenden entstandenen Teildreiecke auf zwei unterschiedliche Arten berechnet wird. Auf die erste Art ergeben sich die Dreiecksflächen nach der Formel   mit Grundseite   und zugehöriger Höhe  , auf die zweite Art nach der Formel   mit den beiden Seiten  ,   und dem davon eingeschlossenen Winkel  .

Damit erhält man nun

 

und

 

also gilt

 

Zu einem Beweis mit baryzentrischen Koordinaten: siehe hier.

Außenwinkelhalbierende

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Außenwinkelhalbierende (rot gestrichelt):
Die 3 Schnittpunkte D, E, F liegen auf einer Geraden (rot) und es gelten die folgenden Streckenverhältnisse:
 ,  ,  

Sofern es sich nicht um ein gleichseitiges Dreieck handelt, existieren für die Außenwinkelhalbierenden eines Dreiecks ebenfalls Verhältnisgleichungen, die die Dreiecksseiten beinhalten. Genauer gilt für ein nicht-gleichseitiges Dreieck   das Folgende: Schneidet die Außenwinkelhalbierende in   die Verlängerung der Seite   in  , die Außenwinkelhalbierende in   die Verlängerung der Seite   in   und die Außenwinkelhalbierende in   die Verlängerung der Seite   in  , dann gilt[3]:

 ,   und  

Darüber hinaus liegen die Punkte  ,   und   auf einer gemeinsamen Geraden.[4]

Geschichte

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Der Winkelhalbierendensatz findet sich bereits bei Euklid in den Elementen im Buch VI als Proposition 3.[5]

Literatur

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  • Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 161
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 66
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Einzelnachweise

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  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 66
  2. Titu Andreescu, Zuming Feng: 103 Trigonometry Problems: From the Training of the USA IMO Team. Springer, 2006, S. 19
  3. Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, ISBN 978-1-930190-85-6, S. 3–4
  4. Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 149 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
  5. Isaac Todhunter: The Elements of Euclid, Buch VI, Proposition 3.