Witt-Ring

Begriff aus der Algebra

Der Begriff des Witt-Rings stammt aus der Algebra. Er soll die quadratischen Räume über einem Ring , d. h. die -Moduln mit symmetrischer Bilinearform, zusammenfassen. Er wurde 1937 von Ernst Witt eingeführt.[1]

Definition für beliebige Ringe

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Sei   ein kommutativer Ring.

Die Menge der quadratischen Räume, d. h. der  -Moduln mit symmetrischer Bilinearform, hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe   als Addition und dem Tensorprodukt   als Multiplikation. Man bezeichnet zwei quadratische Räume   als stabil äquivalent, wenn es   gibt, so dass   isomorph zu   ist.

Stabile Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet mit den durch   und   induzierten Verknüpfungen einen Ring, der als Witt-Ring   bezeichnet wird.

Äquivalente Definition für Körper

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Sei   ein Körper der Charakteristik  . Als hyperbolische Ebene   bezeichnet man den   mit der symmetrischen Bilinearform  , als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Für solche Körper kann der Witt-Ring   äquivalent definiert werden als Menge der Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation:   und   sind äquivalent, wenn es eine metabolische quadratische Form   mit   oder   gibt.

Beispiele

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  • Für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper   ist  .
  • Für den Körper der reellen Zahlen ist  .
  • Für den Ring der ganzen Zahlen ist  .
  • Für den Körper der rationalen Zahlen ist   (schwache Form des Satzes von Hasse-Minkowski).
  • Für einen endlichen Körper   mit   ist  .[2]
  • Für einen endlichen Körper   mit   ist  .
  • Für einen lokalen Körper   mit Maximalideal   der Norm   ist  .
  • Für einen lokalen Körper   mit Maximalideal   der Norm   ist  .
  • Für jeden Körper   wird der Torsionsanteil von   von Pfister-Formen erzeugt. Die Ordnung jedes Torsionselements ist eine Zweierpotenz.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, J. Reine Angew. Math., Band 176, 1937, S. 31–44
  2. Winfried Scharlau (1985): Quadratic and Hermitian Forms, p.40, und Martin Kneser (2002): Quadratische Formen, S. 53.