Witt-Ring

Der Begriff des Witt-Rings $W(R)$ stammt aus der Algebra. Er soll die quadratischen Räume über einem Ring $R$, d. h. die $R$-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, zusammenfassen. Er wurde 1937 von Ernst Witt eingeführt.

Definition für beliebige Ringe

Sei $R$ ein kommutativer Ring.

Die Menge der quadratischen Räume, d. h. der $R$-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe $\oplus$ als Addition und dem Tensorprodukt $\otimes$ als Multiplikation. Man bezeichnet zwei quadratische Räume $S_{1},S_{2}$ als stabil äquivalent, wenn es $T_{1},T_{2}$ gibt, so dass $S_{1}\oplus T_{1}$ isomorph zu $S_{2}\oplus T_{2}$ ist.

Stabile Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet mit den durch $\oplus$ und $\otimes$ induzierten Verknüpfungen einen Ring, der als Witt-Ring $W(R)$ bezeichnet wird.

Äquivalente Definition für Körper

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\operatorname {char} (K)\neq 2$. Als hyperbolische Ebene $H$ bezeichnet man den $K^{2}$ mit der symmetrischen Bilinearform $b(x,y)=2xy$, als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Für solche Körper kann der Witt-Ring $W(K)$ äquivalent definiert werden als Menge der Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation: $S_{1}$ und $S_{2}$ sind äquivalent, wenn es eine metabolische quadratische Form $M$ mit $S_{2}=S_{1}\oplus M$ oder $S_{1}=S_{2}\oplus M$ gibt.

Beispiele

• Für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ ist $W(K)\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.
• Für den Körper der reellen Zahlen ist $W(\mathbb {R} )\simeq \mathbb {Z}$.
• Für den Ring der ganzen Zahlen ist $W(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$.
• Für den Körper der rationalen Zahlen ist $W(\mathbb {Q} )=W(\mathbb {R} )\bigoplus \oplus _{p}W(F_{p})$ (schwache Form des Satzes von Hasse-Minkowski).
• Für einen endlichen Körper $F_{q}$ mit $q\equiv 3\mod 4$ ist $W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$.
• Für einen endlichen Körper $F_{q}$ mit $q\equiv 1\mod 4$ ist $W(F_{q})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[F^{*}/F^{*2}\right]$.
• Für einen lokalen Körper $K$ mit Maximalideal ${\mathfrak {m}}$ der Norm $N({\mathfrak {m}})\equiv 1\mod 4$ ist $W(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]$.
• Für einen lokalen Körper $K$ mit Maximalideal ${\mathfrak {m}}$ der Norm $N({\mathfrak {m}})\equiv 3\mod 4$ ist $W(K)=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \left[\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right]$.
• Für jeden Körper $K$ wird der Torsionsanteil von $W(K)$ von Pfister-Formen erzeugt. Die Ordnung jedes Torsionselements ist eine Zweierpotenz.

Literatur

• John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer, 1973.