Dedekindring

Ein Dedekindring (nach Richard Dedekind, auch Dedekindbereich oder ZPI-Ring) ist eine Verallgemeinerung des Ringes der ganzen Zahlen. Die Anwendungen dieses Begriffes finden sich hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Zahlentheorie und der kommutativen Algebra, besonders in der Idealtheorie.

Definition

Manche Autoren fordern, dass Dedekindringe eindimensional sind, wodurch Körper per Definition keine Dedekindringe sind. Dies ist jedoch nicht üblich.

Analog zur eindeutigen Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jedes Ideal eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt. Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsringe, die ZPI-Ringe sind.
Nulldimensionale Dedekindringe sind Körper.
Eindimensionale lokale Dedekindringe sind genau die diskreten Bewertungsringe.
Über einem Dedekindring ist jedes vom Nullideal verschiedene gebrochene Ideal invertierbar.
Faktorielle Dedekindringe sind Hauptidealringe. Umgekehrt ist jeder Hauptidealring ein faktorieller Dedekindring.

Jeder Hauptidealring (und damit auch jeder diskrete Bewertungsring) ist ein Dedekindring.
Ist $A$ ein Hauptidealring, und $L$ eine endliche Erweiterung seines Quotientenkörpers, so ist der ganze Abschluss von $A$ in $L$ ein Dedekindring. Insbesondere gilt das für Ganzheitsringe in Zahlkörpern, also beispielsweise $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}].$
Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.

Keine Dedekindringe sind:

$\mathbb {Z} [X]$ (zweidimensional),
$\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$ (nicht normal),
$\mathbb {Z} [X]/(X^{2})$ und $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ (keine Integritätsringe),
der Ring der algebraischen ganzen Zahlen, d. h. der ganze Abschluss von $\mathbb {Z}$ in einem algebraischen Abschluss ${\overline {\mathbb {Q} }}$ der rationalen Zahlen (nicht noethersch).