Zahmer Automorphismus

In der Mathematik sind zahme Automorphismen gewisse algebraische Automorphismen des affinen Raums.

Definition

Sei $K$ ein beliebiger Körper und $A^{n}$ der affine Raum über $K$. Eine algebraische Abbildung $f\colon A^{n}\to A^{n}$ ist eine Abbildung der Form

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}))$

mit Polynomen $f_{1},\ldots ,f_{n}\in K\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$. Ein algebraischer Automorphismus ist eine algebraische Abbildung, zu der es eine algebraische Umkehrabbildung gibt.

Die Gruppe der algebraischen Automorphismen $Aut(A^{n})$ enthält als Untergruppe die affine Gruppe

$Aff(A^{n})=GL(n,K)\ltimes K^{n}$,

wobei $GL(n,K)$ die allgemeine lineare Gruppe ist und $K^{n}$ die Gruppe der Translationen. Weiter enthält $Aut(A^{n})$ alle elementaren Automorphismen, also Automorphismen der Form

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1}+P(x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{2},\ldots ,x_{n})$

für ein Polynom $P$ in $n-1$ Variablen.

Die von $Aff(A^{n})$ und den elementaren Automorphismen erzeugte Untergruppe von $Aut(A^{n})$ heißt zahme Automorphismengruppe und ihre Elemente heißen zahme Automorphismen.

Beispiele

Für $n=2$ sind alle Automorphismen zahm. Für $n\geq 3$ und Körper der Charakteristik $0$ gibt es stets „wilde“ (d. h. nicht-zahme) Automorphismen. Für $n=3$ ist der Nagata-Automorphismus ein Beispiel eines „wilden“ Automorphismus. Er ist definiert durch

$f(x,y,z)=(x+(x^{2}-yz)z,y+2(x^{2}-yz)x+(x^{2}-yz)z,z)$.

Der Nagata-Automorphismus ist stabil zahm, d. h. er wird zahm nach Einführung weiterer Variablen.

Literatur

• S. Lamy: Une preuve geometrique du theoreme de Jung. Enseign. Math. 48, 291–315, 2002