Zerlegungssatz von Cheeger und Gromoll

Der Zerlegungssatz von Cheeger und Gromoll ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Er ist von Bedeutung für die Klassifikation Riemannscher Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Ricci-Krümmung.

Satz

Sei $M$ eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Ricci-Krümmung, also $Ric(M)\geq 0$ . Wenn es eine eingebettete Geodäte $\gamma \colon \mathbb {R} \to M$ gibt, dann ist $M$ isometrisch zu $\mathbb {R} \times N$ für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit $N$ nichtnegativer Ricci-Krümmung, also $Ric(N)\geq 0$ .

Geschichte

Für Flächen wurde der Satz 1936 von Stefan Cohn-Vossen bewiesen.^[1] Den allgemeinen Satz für Mannigfaltigkeiten nichtnegativer Schnittkrümmung bewies 1959 W. A. Toponogow.^[2] Den Satz in obiger Form mit der schwächeren Bedingung nichtnegativer Ricci-Krümmung fanden 1971 Jeff Cheeger und Detlef Gromoll.^[3]

Der Satz wurde später auch für Lorentz-Mannigfaltigkeiten, deren Ricci-Krümmung in Raumrichtung nichtnegativ ist, bewiesen.^[4]^[5]^[6]

Literatur

E. Heintze, J.-H. Eschenburg: An elementary proof of the Cheeger-Gromoll splitting theorem, Ann. Glob. Anal. and Geom. 2 (1984), 141–151.

Einzelnachweise

↑ S. Cohn-Vossen: Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken. Матем. сб., 1(43):2 (1936), 139–164.
↑ V. A. Toponogov: Riemannian spaces containing straight lines. (Russisch) Dokl. Akad. Nauk SSSR 127 (1959), 977–979.
↑ Jeff Cheeger, Detlef Gromoll: The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature. Journal of Differential Geometry 6 (1971/72), 119–128.
↑ J.-H. Eschenburg: The splitting theorem for space-times with strong energy condition. J. Differential Geom. 27 (1988), no. 3, 477–491.
↑ Gregory Galloway: The Lorentzian splitting theorem without the completeness assumption. J. Differential Geom. 29 (1989), no. 2, 373–387.
↑ Richard P. A. C. Newman: A proof of the splitting conjecture of S.-T. Yau. J. Differential Geom. 31 (1990), no. 1, 163–184.

[1] S. Cohn-Vossen: Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken. Матем. сб., 1(43):2 (1936), 139–164.

[2] V. A. Toponogov: Riemannian spaces containing straight lines. (Russisch) Dokl. Akad. Nauk SSSR 127 (1959), 977–979.

[3] Jeff Cheeger, Detlef Gromoll: The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature. Journal of Differential Geometry 6 (1971/72), 119–128.

[4] J.-H. Eschenburg: The splitting theorem for space-times with strong energy condition. J. Differential Geom. 27 (1988), no. 3, 477–491.

[5] Gregory Galloway: The Lorentzian splitting theorem without the completeness assumption. J. Differential Geom. 29 (1989), no. 2, 373–387.

[6] Richard P. A. C. Newman: A proof of the splitting conjecture of S.-T. Yau. J. Differential Geom. 31 (1990), no. 1, 163–184.

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