Zufällige Menge

Menge, deren Charakteristika auch vom Zufall abhängen

Eine zufällige Menge ist eine Menge, deren Charakteristika (z. B. Größe, Gestalt, Lage) auch vom Zufall abhängen, z. B. die raum-zeitliche Entwicklung einer Epidemie, oder eines Ölteppiches auf dem Ozean. Zufällige Mengen sind auch grundlegend für die stochastische Geometrie.

Definition

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Eine zufällige Menge   ist eine mengenwertige Zufallsvariable, d. h. eine messbare Abbildung   von einem Wahrscheinlichkeitsraum   in einen messbaren Raum  . Häufig ist   die Menge aller kompakten Teilmengen eines lokalkompakten separablen Hausdorff-Raumes   und   die von   erzeugte Sigma-Algebra. Dann spricht man von einer zufälligen kompakten Menge, siehe z. B.[1]

Verteilung einer zufälligen kompakten Menge

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Sei   eine zufällige kompakte Menge. Die Verteilung von   ist eindeutig festgelegt durch die Wahrscheinlichkeiten, mit denen   beliebige  's aus   "trifft" (sog. hit-probabilities), d. h.

 

  ist eine vollständig alternierende Kapazität.

Erwartungswert einer zufälligen kompakten Menge

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Sei   eine zufällige kompakte Menge. Ihr Erwartungswert   wird häufig Aumann-Erwartungswert genannt[2]. Er ist definiert als die Menge aller Erwartungswerte von Zufallsgrößen  , die fast sicher in   liegen, d. h.

 .

Die   werden auch Selektoren von   genannt. Für ein zufälliges Intervall ergibt sich z. B.

 .

Der Aumann-Erwartungswert ist linear bzgl. der Minkowski-Summe  , d. h.

 .

Literaturhinweise

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  • Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
  • Molchanov, I. (2005) The Theory of Random Sets. Springer, New York.
  • Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.

Einzelnachweise

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  1. Matheron, G. (1975) Random Sets and Integral Geometry. J.Wiley & Sons, New York.
  2. Aumann.J.(1965). Integral of set valued functions. Journ.Math.Anal.Appl.12, 1-22.