Zyklenmethode

ein mathematisches Verfahren, dient der Optimierung

Die Zyklenmethode bzw. Stepping-Stone-Methode ist ein numerisches Verfahren, mit dem man (bei gegebener Ausgangs-Basislösung) ein Standard-Transportproblem lösen kann.

Es sind für ein Gut eine bestimmte Anzahl Anbieter und eine bestimmte Anzahl Empfänger gegeben. Im Standardfall ist die gesamte nachgefragte Menge gleich der gesamten angebotenen. Für den Transport einer Einheit zwischen und fallen Kosten an. Das Problem besteht darin, die von nach gelieferte Menge so festzulegen, dass die Gesamttransportkosten minimiert werden.

Da es sich um ein Verbesserungsverfahren handelt, wird zunächst mit einem Eröffnungsverfahren (z. B. dem Matrixminimumverfahren, dem Nord-West-Ecken-Verfahren, dem Zeilen- oder Spaltenfolgeverfahren, der Zeilen-Spalten-Sukzession, der Vogelschen Approximationsmethode oder der Russell´schen Approximationsmethode) eine zulässige Anfangsbasislösung bestimmt. Variablen der Basislösung, die im Eröffnungsverfahren a priori gleich Null gesetzt wurden, sind die Nichtbasisvariablen, die restlichen die Basisvariablen des zu Grunde liegenden Gleichungssystems. Die Stepping-Stone-Methode verringert dann iterativ durch Austausch einer Nichtbasisvariablen mit einer Basisvariablen die Gesamtkosten. Kann keine Verbesserung mehr erzielt werden, ist eine Optimallösung gefunden.

Geschichte

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Als Urheber der Zyklenmethode gelten Abraham Charnes und William W. Cooper.[1]

Verfahren

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Das Optimierungsverfahren wird iterativ durchgeführt. In jedem Schritt werden alle Nichtbasisvariablen im Hinblick auf das Kostensenkungspotential überprüft. Für jede Nichtbasisvariable   wird dazu analysiert, wie sich die Gesamtkosten ändern würden, wenn eine Einheit des Gutes von   nach   transportiert werden würde. Dazu wird zu der Zelle   einer jeden Nichtbasisvariablen   zusammen mit den Zellen der Basisvariablen ein elementarer Kreis bestimmt. Die Zellen   bis     bilden dabei einen elementaren Kreis, wenn  , zwei aufeinanderfolgende Zellen   und   in der gleichen Zeile oder Spalte des Tableau liegen und in jeder Spalte und Zeile höchstens zwei Zellen des elementaren Kreises sind. Seien jetzt die Zellen   der Basisvariablen, die zusammen mit der Zelle   der Nichtbasisvariablen   einen elementaren Kreis beschreiben, bestimmt. Dann lassen sich die Gesamtkosten um   pro zusätzlicher von   nach   transportierter Einheit verbessern. Ist   positiv, würde dies zu einer Erhöhung der Gesamtkosten führen, ist   gleich Null, würden sich die Gesamtkosten nicht ändern. Um mit möglichst wenig Iterationen zur Optimallösung zu kommen wird deswegen die Nichtbasisvariable   mit dem negativsten   als neue Basisvariable aufgenommen und mit der wertmäßig kleinsten Basisvariable  , deren Kosten bei der Bestimmung von   mit negativem Faktor einging, ersetzt. Die Nichtbasisvariable   wird neue Basisvariable mit dem Wert von   und   wird neue Nichtbasisvariable mit Wert Null. Damit die neue Basislösung zulässig bleibt, werden die übrigen Basisvariablen des elementaren Kreises um den Wert der ursprünglichen Basisvariable   erhöht bzw. (wenn die zugehörigen Kosten bei der Bestimmung von   mit negativem Faktor eingingen) verringert. Alle anderen Variablen   bleiben unverändert. Das Verfahren wird solange wiederholt, bis alle (in jeder Iteration neu zu bestimmenden)   größer oder gleich Null sind, die Gesamtkosten also nicht mehr verringert werden können und die Lösung damit optimal ist.

Beispiel

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Es liegt folgendes, tabellarisch zusammengefasstes Transportproblem vor, wobei es zwei Angebote   und   und drei Bedarfsanmeldungen  ,   und   gibt und   hier die von   nach   gelieferte Menge bezeichnet.

 

Die Kosten  , die für den Transport einer Einheit von   nach   entstehen, sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

 

Für die praktische Durchführung werden die Transportmengen in die Tabelle eingetragen und die entsprechenden Kosten werden in jeder Zelle oben links mit aufgeführt. Es wurde hier als Anfangslösung das Nord-West-Ecken-Verfahren verwendet. Es ergibt sich also

 

und man erhält Gesamtkosten von

 .

Es wird nun versuchsweise der Inhalt von Zelle 13 (soll bedeuten: (A1|B3)) um Eins erhöht. Man sieht, wie sich die Änderungen kreisförmig fortpflanzen.

 

Ebenso ändern sich die Kosten pro Einheit:

 

Es würden also die Kosten um 2 Euro sinken, wenn   eine Einheit zu   transportieren würde.

Eine Analyse von Zelle 21 ergibt:

 

Die Kosten pro Einheit ändern sich um

 .

Es würden also die Kosten um 3 Euro sinken, wenn   eine Einheit zu   transportieren würde. Man sieht, dass die letztere Änderung die Kosten mehr senkt. Es wird nun so viel wie erlaubt in Zelle 21 transferiert, wobei die Vorzeichen der Einsen angeben, ob der Betrag addiert oder subtrahiert wird.

 

Es konnten nur maximal zwei Einheiten in die Zelle 21 transferiert werden, weil sonst die Zelle 22 negativ geworden wäre. Die Zelle 21 ist jetzt Basisvariable, die Zelle 22 Nichtbasisvariable.

Es werden nun wieder alle Nichtbasisvariablen untersucht. Für die Zelle 13 ergibt sich jetzt der Kreis der Zellen 13 - 11 - 21 - 23, denn Zelle 22 ist Nichtbasisvariable und kann nicht simultan mit Zelle 13 geändert werden. Zelle 22 wird also übersprungen. Man erhält dann

 

und

 .

Hier steigen die Kosten bei Änderung von Zelle 22. Es wird also Zelle 13 verändert. Es können maximal zwei Einheiten nach Zelle 13 transferiert werden und man erhält nun

 

Es werden wieder alle Nichtbasisvariablen untersucht. Für die Zelle 11 ergibt sich jetzt der Kreis der Zellen 11 - 13 - 23 - 21, denn Zelle 22 ist Nichtbasisvariable und wird übersprungen. Man erhält dann

 .

Die Nichtbasisvariable in Zelle 22 erzeugt hingegen

 .

Es wird also Zelle 22 verändert. Es können maximal vier Einheiten nach Zelle 22 transferiert werden und man erhält

 

Eine neue Iteration ergibt nur noch Kostensteigerungen, also ist das Verfahren beendet. Man erhält Gesamtkosten von

 

im Gegensatz zu 106 der Startlösung.

Bemerkungen

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  • Ist die gesamte nachgefragte Menge kleiner als die gesamte angebotene Menge, kann durch Einführen eines fiktiven Nachfragers  , der das überschüssige Angebot nachfragt und Transportkosten   für alle Anbieter   hat, das Transportproblem in ein Standardtransportmodell transformiert werden und damit ebenfalls mit der Stepping-Stone-Methode gelöst werden.
  • Ist bei der Optimallösung eine mögliche Kostenveränderung   bei Aufnahme der Variable   gleich Null, bedeutet dieses, dass der Wert der zugehörige Nichtbasisvariable mit dem einer Basisvariablen ausgetauscht werden kann, ohne dass sich die Gesamtkosten ändern und die Optimallösung damit nicht eindeutig ist.
  • Eine ähnliche Methode zur Verbesserung einer Anfangsbasislösung und finden der Optimallösung ist die MODI-Methode. Dabei werden die Kostenveränderungen   mit geringerem Rechenaufwand (aber identischen Werten) als bei der Stepping-Stone-Methode bestimmt.
  • Gibt es mehrere negative   kann statt des betragsmäßig größten auch jene zugehörige Nichtbasisvariable ausgewählt werden, die zu einer maximalen Verbesserung der Kostensumme führt oder eine zufällig davon ausgewählt werden.

Einzelnachweise

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  1. Theodor Ellinger: Operations Research: Eine Einführung, Auflage 6, S. 79.