Äquivariante Abbildung

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Unter einer äquivarianten Abbildung versteht man in der Mathematik eine Abbildung, die mit der Wirkung einer Gruppe kommutiert.

Definition

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Es seien   eine Gruppe und   Mengen, auf denen Linksoperationen von  

  und  

definiert sind. Eine Funktion   heißt  -äquivariant,  -Abbildung oder auch kurz äquivariant, wenn gilt:

  für alle  .

Das bedeutet, dass für jedes   das Diagramm

 

kommutiert.

Eine äquivalente Definition lautet: Die Gruppe   operiere auf der Menge der Abbildungen   via

 .

Dann ist eine Abbildung   genau dann  -äquivariant, wenn sie unter dieser Operation fest bleibt.

ρ-Äquivarianz

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Häufig wird in der Mathematik auch der Begriff  -Äquivarianz für eine Darstellung

 

oder allgemeiner für eine Wirkung

 

verwendet. In diesem Kontext heißt eine Abbildung   einer G-Menge   nach    -äquivariant genau dann, wenn

  für alle   gilt.

Darstellungstheorie und Schurs Lemma

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Seien   und   Vektorräume über einem Körper   und sei die Wirkung von   auf   und   linear, d. h., es gebe Darstellungen

 

mit

 

für alle  .

Äquivariante Abbildungen sind dann also Abbildungen   mit

 

fūr alle   und  . Äquivariante Abbildungen werden im Kontext der Darstellungstheorie auch Vertauschungsoperatoren (englisch intertwining operator) genannt.

Äquivariante Abbildungen zwischen irreduziblen Darstellungen beschreibt das Lemma von Schur:

  • Wenn   und   zwei irreduzible Darstellungen sind, dann ist jede G-äquivariante Abbildung   entweder 0 oder ein Isomorphismus.
  • Falls   ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper  , z. B. den komplexen Zahlen  , ist und   und   wieder irreduzible Darstellungen sind, dann ist jede G-äquivariante Abbildung   die Multiplikation mit einem Skalar: es gibt  , so dass für alle   gilt:
 .

Analog gilt für Hilbertraum-Darstellungen topologischer Gruppen, wie sie in der harmonischen Analyse betrachtet werden, das heißt stetige Homomorphismen einer topologischen Gruppe in die unitäre Gruppe auf einem möglicherweise unendlichdimensionalen Hilbertraum versehen mit der schwachen Operatortopologie, dass jeder stetige lineare (eine Verallgemeinerung auf abgeschlossene dicht definierte ist möglich) Vertauschungsoperator (äquivariante Abbildung) zwischen zwei irreduziblen Darstellungen Vielfaches einer Isometrie ist. Die (stetigen) Vertauschungsoperatoren zwischen einer unitären Darstellung und sich selbst bilden eine Von-Neumann-Algebra.

Gruppenalgebren

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Darstellungen   einer Gruppe   auf einem  -Vektorraum   kann man linear fortsetzen zu einer Darstellung   der Gruppenalgebra  , damit wird   zu einem  -Modul. Wenn nun   zwei Darstellungen sind, die wir in diesem Sinne als  -Moduln auffassen, dann ist eine Abbildung    -äquivariant genau dann wenn sie  -linear ist.

Selbiges gilt für Darstellungen beliebiger Algebren (siehe auch hier).

Die  -äquivarianten Abbildungen zwischen zwei Darstellungen bilden einen Vektorraum.

Für eine feste Gruppe   und einen festen Körper   bilden die  -Darstellungen von   und die  -äquivarianten Abbildungen die Objekte und Morphismen einer angereicherten Kategorie über der Kategorie der  -Vektorräume versehen mit dem üblichen Tensorprodukt. Dabei ist

    gegeben durch     und
    ist gegeben durch    .

Topologie

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Ein G-Raum ist ein topologischer Raum X mit einer stetigen Wirkung der Gruppe G. Eine G-Abbildung ist eine äquivariante stetige Abbildung   zwischen zwei G-Räumen.

Beispiel:   wirke auf   durch Drehungen um den Nullpunkt. Die durch

 

gegebene Spiegelung   ist  -äquivariant.

Zwei G-Abbildungen   heißen G-homotop, wenn es eine G-Abbildung

 

mit

 

für alle   gibt. (Hierbei wirkt G auf   durch  .) Die Menge der G-Homotopieklassen von G-Abbildungen   wird mit   bezeichnet.

Die äquivarianten Homotopiegruppen eines G-Raumes X sind definiert durch

 .

Man hat einen Isomorphismus  , wobei   die Menge der Fixpunkte der G-Wirkung ist.

Die äquivarianten Homologiegruppen eines G-Raumes X sind definiert durch

 ,

wobei EG ein schwach kontrahierbarer topologischer Raum mit einer freien G-Wirkung ist. Wenn die G-Wirkung auf X ebenfalls frei ist, dann ist  .

Die äquivariante K-Theorie   eines kompakten G-Raumes X ist definiert als der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen von komplexen G-Vektorbündeln über X nach der von Elementen der Form   erzeugten Untergruppe.[1] Zum Beispiel ist   der komplexe Darstellungsring der Gruppe  .

Verallgemeinerungen

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Allgemeiner betrachtet man Gruppenoperationen auf Objekten beliebiger Kategorien, dies sind dann Homomorphismen von einer Gruppe in die Automorphismengruppe eines Objekts. Entsprechend betrachtet man auch Halbgruppenoperationen (dies schließt etwa Algebrendarstellungen mit ein) als Homomorphismen in die Endomorphismenhalbgruppe eines Objekts. Von einer  -äquivarianten Abbildung wird dann gefordert, ein Morphismus zwischen den beiden Objekten, auf denen die Gruppe wirkt, zu sein. Da es sich dabei nicht mehr notwendigerweise um Abbildungen handelt, spricht man im allgemeinen Fall auch von ( -)äquivarianten Morphismen.

Auf der anderen Seite kann eine Gruppe   als spezieller Monoid und mithin als spezielle Kategorie   mit einem einzigen Objekt   betrachtet werden. Ein Funktor   ist dann die Entsprechung einer  -Linksoperation auf   und natürliche Transformationen zwischen solchen Funktoren entsprechen äquivarianten Abbildungen.

Einzelnachweise

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  1. Graeme Segal: Equivariant K-theory (Memento vom 22. Juni 2010 im Internet Archive)