In der Kategorientheorie ist der Begriff der angereicherten Kategorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der lokal kleinen Kategorie.

In lokal kleinen Kategorien hat man zu je zwei Objekten eine Menge von Morphismen , also ein Objekt in . Die Grundidee angereicherter Kategorien ist nun, dass statt auch andere Kategorien für die Morphismenmengen verwendet werden können sollen.

Zum Beispiel ist es manchmal nützlich, die Morphismenmengen als topologische Räume, also als Objekte in TOP zu betrachten. Allgemein können beliebige monoidale Kategorien zur Definition angereicherter Kategorien verwendet werden.

Definition

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  sei eine monoidale Kategorie, deren monoidale Struktur durch   und die Pfeilfamilien  ,  ,   gegeben ist.

Eine über   angereicherte Kategorie, bzw.  -Kategorie,   hat nun

  • Objekte  ,
  • für je zwei Objekte   ein Objekt  , das als Morphismenmenge dient,
  • für jedes Objekt   einen Pfeil   in  , der als Darstellung des Identitätspfeils in   gedacht ist, und
  • für je drei Objekte   einen Pfeil   in  , der für die Darstellung der Komposition in   gedacht ist.

(Indizes an   werden im Folgenden weggelassen, wenn es der Lesbarkeit dient.)

Für alle passenden Indizes hat dabei zu gelten:

  •  ,
  •  ,
  •  .

Beispiele und Spezialfälle

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  • Gewöhnliche lokal kleine Kategorien sind  -Kategorien, wobei die monoidale Struktur auf   durch das kartesische Produkt gegeben ist.
  • Präadditive Kategorien sind  -Kategorien, wobei   die Kategorie der abelschen Gruppen ist, mit dem Tensorprodukt abelscher Gruppen als monoidale Struktur.
  • Die Kategorie   mit zwei Objekten und genau einem Pfeil, der kein Identitätspfeil ist, hat alle endlichen Produkte.  -Kategorien sind Quasiordnungen.
  • Die partielle Ordnung   der nichtnegativen reellen Zahlen wird mit der Addition oder der Maximumsbildung zu einer monoidalen Kategorie   bzw.  .  -Kategorien sind dann verallgemeinerte metrische Räume und  -Kategorien sind verallgemeinerte ultrametrische Räume. Die Symmetrie der Abstandsfunktion, sowie die Eigenschaft, dass Punkte mit dem Abstand   identisch sein müssen, werden dabei nicht gefordert.
  • Für manche   ist   selbst eine  -Kategorie, oder kann als solche aufgefasst werden. Beispielsweise ist dies der Fall für die Kategorie der abelschen Gruppen, deren Morphismen mit der punktweisen Addition abelsche Gruppen sind, oder für die Kategorie der topologischen Räume, deren Morphismen mit der Kompakt-Offen-Topologie topologische Räume sind. Solche   heißen monoidal abgeschlossen. Wenn die monoidale Struktur die des kartesischen Produkts ist, ist   kartesisch abgeschlossen.
  • Zu einer  -Kategorie   mit genau einem Objekt   gibt es genau ein Morphismenobjekt  . Dieses ist ein Monoid-Objekt in  .

Weitere Definitionen

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V-Funktoren

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  seien  -Kategorien mit   bzw.   als Identitäten und Kompositionen. Ein  -Funktor   besteht aus

  • einer Objektabbildung  , die jedem Objekt von   ein Objekt von   zuordnet, und
  • einer Familie von Pfeilen   in  .

Unter Weglassung der Indizes an   hat hierbei zu gelten:

  •  ,
  •  .

Natürliche Transformationen

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  seien  -Kategorien mit   bzw.   als Identitäten und Kompositionen.   seien  -Funktoren. Die gewöhnliche Definition natürlicher Transformationen kann an  -Kategorien angepasst werden. Eine natürliche Transformation   muss für jedes Objekt   einen  -Pfeil   festlegen, der die  -Komponente von   darstellt. Es muss dann für alle  

 

gelten.

Ebenfalls möglich ist die Definition eines Objekts der natürlichen Transformationen  . Dies ist ein Objekt in  , nämlich das Ende

 .

"Elemente" von  , also Pfeile  , stellen dann natürliche Transformationen dar und ergeben per Komposition mit den Projektionen von   deren Komponenten.

Literatur

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  • G. M. Kelly: Basic Concepts of Enriched Category Theory. In: Lecture Notes in Mathematics 64. Cambridge University Press, 1982 (mta.ca [abgerufen am 30. Mai 2014]).