Der Fixpunktsatz von Lawvere, benannt nach dem Mathematiker William Lawvere, ist eine mathematische Aussage aus der Kategorientheorie. Er gibt eine Bedingung, wann Objekte einer Kategorie die Fixpunkteigenschaft erfüllen, und verallgemeinert damit Sätze wie den Satz von Cantor oder den Rekursionssatz.

Es sei   eine Kategorie mit endlichen Produkten und   ein  -Objekt.

Wenn es ein Objekt   und einen Pfeil   mit der Eigenschaft

 

gibt, dann hat   die Fixpunkteigenschaft: für jedes   gibt es einen „Fixpunkt“, d. h. einen Pfeil   mit  .

Es gebe   und   mit der geforderten Eigenschaft und   sei beliebig. Es gibt dann den speziellen Pfeil  , definiert durch

 .

Für ihn wiederum gibt es ein  , für das gilt

 .

Das heißt,   ist Fixpunkt von  .

Folgerungen

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  • Wenn   kartesisch abgeschlossen ist, kann statt   dessen transponierte Version   herangezogen werden. Für diese wird die geforderte „Eigenschaft“ zu einer gewissen Form der Surjektivität, die mittels globalen Elementen definiert ist. Lawvere nennt sie weakly point-surjective. Die Aussage des Satzes ist dann: Wenn es ein weakly point-surjective   gibt, haben alle Endomorphismen auf   einen Fixpunkt.
  • Im Fall   und   erhält man den Satz von Cantor per Kontraposition: Da   keinen Fixpunkt hat, gibt es für keine Menge   eine surjektive Funktion  .

Literatur

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  • William Lawvere: Diagonal arguments and cartesian closed categories. In: Lecture Notes in Mathematics, 92. 1969, S. 134–145 (reprint).
  • Noson S. Yanofsky: A Universal Approach to Self-Referential Paradoxes, Incompleteness and Fixed Points. 2003, arxiv:math/0305282.