Es sei
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
eine monoidale Kategorie mit dem Funktor
−
⊗
−
:
C
×
C
→
C
{\displaystyle {-}\otimes {-}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
, dem Einheitsobjekt
I
∈
|
C
|
{\displaystyle I\in |{\mathcal {C}}|}
,
der natürlichen Transformation
α
{\displaystyle \alpha }
mit den Komponenten
α
A
,
B
,
C
:
(
A
⊗
B
)
⊗
C
→
A
⊗
(
B
⊗
C
)
{\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)}
, sowie den natürlichen Transformationen
λ
:
(
I
⊗
−
)
→
I
d
C
{\displaystyle \lambda \colon (I\otimes {-})\to \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}
und
ρ
:
(
−
⊗
I
)
→
I
d
C
{\displaystyle \rho \colon ({-}\otimes I)\to \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}}
gegeben.
Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt
M
∈
|
C
|
{\displaystyle M\in |{\mathcal {C}}|}
zusammen mit zwei Pfeilen
η
:
I
→
M
{\displaystyle \eta \colon I\to M}
und
μ
:
M
⊗
M
→
M
{\displaystyle \mu \colon M\otimes M\to M}
, für die die Gleichungen
μ
∘
(
μ
⊗
M
)
=
μ
∘
(
M
⊗
μ
)
∘
α
M
,
M
,
M
:
(
M
⊗
M
)
⊗
M
→
M
{\displaystyle \mu \circ (\mu \otimes M)=\mu \circ (M\otimes \mu )\circ \alpha _{M,M,M}\ \colon (M\otimes M)\otimes M\to M}
,
μ
∘
(
M
⊗
η
)
=
ρ
M
:
M
⊗
I
→
M
{\displaystyle \mu \circ (M\otimes \eta )=\rho _{M}\ \colon M\otimes I\to M}
und
μ
∘
(
η
⊗
M
)
=
λ
M
:
I
⊗
M
→
M
{\displaystyle \mu \circ (\eta \otimes M)=\lambda _{M}\ \colon I\otimes M\to M}
gelten.
Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen , welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
Ist
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie
C
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}}
mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in
C
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}}
sind Monaden .
Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician . 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997, S. 170 f .