Monoid-Objekt

Begriff in der Kategorientheorie

Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.

Definition

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Es sei   eine monoidale Kategorie mit dem Funktor  , dem Einheitsobjekt  , der natürlichen Transformation   mit den Komponenten  , sowie den natürlichen Transformationen   und   gegeben.

Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt   zusammen mit zwei Pfeilen   und  , für die die Gleichungen

  •  ,
  •   und
  •  

gelten.

Beispiele

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  • Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
  • Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
  • In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
  • Ist   eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie   mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in   sind Monaden.

Literatur

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  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997, S. 170 f.