In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

Definition

Bearbeiten

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

Linksseitige Kan-Erweiterung

Bearbeiten

Seien  ,   und   Kategorien,   und   Funktoren und   und   natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors   entlang eines Funktors   ist ein Paar  , das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes   und jedes   gibt es genau ein   mit  , wobei  .

Rechtsseitige Kan-Erweiterung

Bearbeiten

Seien  ,   und   Kategorien,   und   Funktoren und   und   natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors   entlang eines Funktors   ist ein Paar  , das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes   und jedes   gibt es genau ein   mit  , wobei  .

Literatur

Bearbeiten