Komonade

Eine Komonade ist in der Kategorientheorie eine Struktur dual zu der der Monade.

Definition

Eine Komonade ist ein Tripel $(T,\varepsilon ,\psi )$ bestehend aus

einem Endofunktor $T\colon C\to C$ ,
einer natürlichen Transformation $\varepsilon \colon T\to 1_{C}$ und
einer natürlichen Transformation $\psi \colon T\to T^{2}$ ,

das folgende Bedingungen erfüllt:

$T\psi \circ \psi =\psi T\circ \psi$ und
$\varepsilon T\circ \psi =T\varepsilon \circ \psi =1_{T}$ .

Explizit auf der Ebene von Morphismen von $C$ bedeutet dies, dass für jedes Objekt $X$ aus $C$ gilt

$T(\psi _{X})\circ \psi _{X}=\psi _{T(X)}\circ \psi _{X}$ und
$\varepsilon _{T(X)}\circ \psi _{X}=T(\varepsilon _{X})\circ \psi _{X}=1_{T(X)}$ .

Koalgebren

Eine Koalgebra für eine Komonade $(T,\varepsilon ,\psi )$ auf einer Kategorie $C$ ist ein Paar $(X,\alpha )$ bestehend aus einem Objekt $X$ von $C$ und einem Morphismus $\alpha \colon X\to TX$ , so dass $T\alpha \circ \alpha =\psi _{X}\circ \alpha$ und $\varepsilon _{X}\circ \alpha =1_{X}$ . Ein Homomorphismus von Koalgebren $(X,\alpha )\to (Y,\beta )$ ist ein Morphismus $f\colon X\to Y$ in $C$ , der $Tf\circ \alpha =\beta \circ f$ erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie $C^{T}$ .

Es gibt einen kanonischen Funktor $A_{T}\colon C\to C^{T}$ , der auf Objekten $X\mapsto (TX,\psi _{X})$ ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor $U_{T}\colon C^{T}\to C$ .

Komonade zu einem adjungierten Funktorpaar

Es seien $C,D$ Kategorien und $F\colon C\to D$ , $G\colon D\to C$ Funktoren, so dass $F$ rechtsadjungiert zu $G$ ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien $\eta \colon 1\to FG$ bzw. $\varepsilon \colon GF\to 1$ . Dann ist $T=(GF,\varepsilon ,G\eta F)$ eine Komonade auf $C$ .

Man erhält einen induzierten Funktor $A\colon D\to C^{T}$ , so dass $U_{T}\circ A=G$ und $A\circ F=A_{T}$ gilt. Der Funktor $G$ heißt komonadisch, wenn $A$ eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.

Ist $T$ eine Komonade auf einer Kategorie $C$ , dann ist die zum adjungierten Funktorpaar $(U_{T}\colon C^{T}\to C,A_{T}\colon C\to C^{T})$ assoziierte Komonade wieder $T$ .

Beispiel

In der Kategorie Set sei der Endofunktor $T$ derjenige der Bildung von $\mathbb {N}$ -indizierten Folgen, d. h. für jede Menge $X$ ist $T(X)=X^{\mathbb {N} }$ , und für Mengen $A$ und $B$ sowie Abbildungen $f\colon A\to B$ ist $T(f)\colon A^{\mathbb {N} }\to B^{\mathbb {N} }$ gegeben durch $T(f)(s):=f\circ s$ .

Die natürlichen Transformationen $\varepsilon$ und $\psi$ seien durch die Familien von Abbildungen $\varepsilon _{X}$ und $\psi _{X}$ ,

$\varepsilon _{X}\colon X^{\mathbb {N} }\to X,\varepsilon _{X}(s):=s(0)$
$\psi _{X}\colon X^{\mathbb {N} }\to (X^{\mathbb {N} })^{\mathbb {N} },\psi _{X}(s)(n)(m):=s(n+m)$

für beliebige Mengen $X$ gegeben.

Das Tripel $(T,\varepsilon ,\psi )$ ist nun eine Komonade in Set.

Die Koalgebren für $(T,\varepsilon ,\psi )$ sind die Abbildungen $\alpha \colon X\to X^{\mathbb {N} }$ , die $\alpha (x)(0)=x$ und $\alpha (x)(n+m)=\alpha (\alpha (x)(n))(m)$ erfüllen. Mit $\alpha _{1}\colon X\to X$ , $x\mapsto \alpha (x)(1)$ ist $\alpha (x)(n)=\alpha _{1}^{n}(x)$ , und man kann die Koalgebren mit Paaren $(X,\alpha _{1})$ mit einer beliebigen Abbildung $\alpha _{1}\colon X\to X$ identifizieren.

Ist $M$ eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf $T(X)=X^{M}$ bijektiv den Monoidstrukturen auf $M$ . Die Multiplikation auf $M$ ist $\psi _{M}(1_{M})\in (M^{M})^{M}$ . Für ein Monoid $M$ kann die Strukturabbildung $X\to X^{M}$ einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz $(A^{B})^{C}=A^{B\times C}=(A^{C})^{B}$ mit anderen Abbildungen identifiziert werden:

einer Abbildung $X\times M\to X$ , die eine Algebra für die Monade $T^{*}(X)=X\times M$ ist
einem Monoidhomomorphismus $M\to X^{X}$ , d. h. einer Operation von $M$ auf $X$ .

Literatur

Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, Berlin 1971, ISBN 3-540-90035-7 (englisch).