Eine Komonade ist in der Kategorientheorie eine Struktur dual zu der der Monade.

Definition

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Eine Komonade ist ein Tripel   bestehend aus

  • einem Endofunktor  ,
  • einer natürlichen Transformation   und
  • einer natürlichen Transformation  ,

das folgende Bedingungen erfüllt:

  •   und
  •  .

Explizit auf der Ebene von Morphismen von   bedeutet dies, dass für jedes Objekt   aus   gilt

  •   und
  •  .

Koalgebren

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Eine Koalgebra für eine Komonade   auf einer Kategorie   ist ein Paar   bestehend aus einem Objekt   von   und einem Morphismus  , so dass   und  . Ein Homomorphismus von Koalgebren   ist ein Morphismus   in  , der   erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie  .

Es gibt einen kanonischen Funktor  , der auf Objekten   ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor  .

Komonade zu einem adjungierten Funktorpaar

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Es seien   Kategorien und  ,   Funktoren, so dass   rechtsadjungiert zu   ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien   bzw.  . Dann ist   eine Komonade auf  .

Man erhält einen induzierten Funktor  , so dass   und   gilt. Der Funktor   heißt komonadisch, wenn   eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.

Ist   eine Komonade auf einer Kategorie  , dann ist die zum adjungierten Funktorpaar   assoziierte Komonade wieder  .

Beispiel

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In der Kategorie Set sei der Endofunktor   derjenige der Bildung von  -indizierten Folgen, d. h. für jede Menge   ist  , und für Mengen   und   sowie Abbildungen   ist   gegeben durch  .

Die natürlichen Transformationen   und   seien durch die Familien von Abbildungen   und  ,

  •  
  •  

für beliebige Mengen   gegeben.

Das Tripel   ist nun eine Komonade in Set.

Die Koalgebren für   sind die Abbildungen  , die   und   erfüllen. Mit  ,   ist  , und man kann die Koalgebren mit Paaren   mit einer beliebigen Abbildung   identifizieren.

Ist   eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf   bijektiv den Monoidstrukturen auf  . Die Multiplikation auf   ist  . Für ein Monoid   kann die Strukturabbildung   einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz   mit anderen Abbildungen identifiziert werden:

  • einer Abbildung  , die eine Algebra für die Monade   ist
  • einem Monoidhomomorphismus  , d. h. einer Operation von   auf  .

Literatur

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  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, Berlin 1971, ISBN 3-540-90035-7 (englisch).