Diagonalfunktor

Begriff aus der mathematischen Kategorientheorie

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Diagonalfunktor ein Funktor, der es erlaubt, eine Kategorie in die Kategorie der Funktoren für eine beliebige nichtleere (kleine) Kategorie einzubetten. Der Name rührt daher, dass für ein diskretes mit zwei Elementen der Diagonalfunktor gerade die Abbildung ist.

Definition und Funktorialität

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Sei   eine Kategorie und   eine kleine Kategorie. Dann ist der Diagonalfunktor   definiert als Abbildung, die jedem Morphismus   eine natürliche Transformation   zuordnet, wobei   dadurch gegeben sei, dass sie jedem Objekt und damit jedem Morphismus in   den Morphismus   zuweise. Für ein Objekt   ist   offensichtlich ein Funktor. Um nun einzusehen, dass   tatsächlich Funktor ist, betrachte man für Morphismen   und   aus der Kategorie   die Verkettung der natürlichen Transformationen   und  , dies ergibt per Definition für jedes   in   das folgende kommutative Diagramm:

 

Dieses ist nichts anderes als:

 

Dies entspricht der natürlichen Transformation  , womit bewiesen ist, dass  . Für nichtleeres   ist   offensichtlich injektiv, bettet also   in die entsprechende Funktorkategorie ein. Unter einer bestimmten Voraussetzung ist   auch voll: Sei   natürliche Transformation, d. h., dass für jedes   in   das Diagramm

 

kommutiert (denn   und  ). Was nichts anderes heißt, als dass  , wann immer ein Morphismus zwischen   und   existiert. Falls die Kategorie   als Graph aufgefasst schwach zusammenhängend ist, ist   also konstant und somit im Bild von  , womit   voll ist.[1] Dies ist beispielsweise für eine Pfeilkategorie   oder allgemeiner für   mit Anfangs- oder Endobjekt erfüllt, nicht dagegen für ein Produkt   für diskretes   mit mindestens zwei Elementen.

Zusammenhang mit Limites

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Ein Kegel bezüglich eines Funktors   ist nichts anderes als ein Objekt in   versehen mit einer natürlichen Transformation von   nach  . Ein Limes von   ist dabei ein spezieller Kegel, nämlich eine  -kouniverselle Lösung für  . Dual dazu ist ein Kolimes von   ein spezieller Kokegel, nämlich eine  -universelle Lösung für  . Besitzt   einen rechtsadjungierten Funktor, so ist   vollständig bezüglich Limites auf  , die Umkehrung gilt ebenfalls. Dieser adjungierte Funktor ist gerade der Limesfunktor. Entsprechend ist der Kolimesfunktor (wenn er existiert) linksadjungiert zum Diagonalfunktor.[2]

Der Diagonalfunktor ist stetig, d. h., er erhält alle Limites, die in   existieren. Ebenso erhält er alle Kolimites.[3]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Pumplün, S. 105–106
  2. Mac Lane, S. 233
  3. Pumplün, S. 169