Symmetrische monoidale Kategorie

In der Mathematik ist eine symmetrische monoidale Kategorie eine monoidale Kategorie (d. h. eine Kategorie, in der ein "Tensorprodukt" $\otimes$ definiert ist), deren Tensorprodukt symmetrisch ist (d. h. man hat einen natürlichen Isomorphismus zwischen $A\otimes B$ und $B\otimes A$ für alle Objekte $A$ und $B$ ).

Ein typisches Beispiele ist die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper.

Definition

Es sei $({\mathcal {C}},\otimes ,I)$ eine monoidale Kategorie mit Assoziativitätsisomorphismus $a$ sowie linken und rechten Einheitsisomorphismen $l$ bzw. $r$ . Die monoidale Kategorie heißt symmetrisch, wenn es zu je zwei Objekten $A,B$ aus ${\mathcal {C}}$ einen Isomorphismus

s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A

gibt, der natürlich in $A$ und $B$ ist, so dass die folgenden Diagramme kommutieren:

Kompatibilität mit dem Einheitsobjekt:

Kompatibilität mit dem Assoziativgesetz:

Umkehrregel:

Beispiele symmetrischer monoidaler Kategorien

Die Kategorie der Mengen mit dem Mengenprodukt als Tensorprodukt und einer einelementigen Menge als Einheitsobjekt.
Die Kategorie der topologischen Räume mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und einem einelementigen Raum als Einheitsobjekt.
Die Kategorie der Gruppen mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und der trivialen Gruppe als Einheitsobjekt.
Die Kategorie der Ringe mit dem direkten Produkt als Tensorprodukt und dem Nullring als Einheitsobjekt.
Die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper mit der direkten Summe als Tensorprodukt und dem Nullvektorraum als Einheitsobjekt.
Die Kategorie der Vektorräume über einem gegebenen Körper $K$ mit dem Tensorprodukt von Vektorräumen als Tensorprodukt und dem eindimensionalen Raum $K^{1}$ als Einheitsobjekt.
Für eine gegebene Gruppe $G$ die Kategorie der Darstellungen von $G$ über einem gegebenen Körper mit dem Tensorprodukt von Darstellungen als Tensorprodukt und der trivialen Darstellung als Einheitsobjekt.

Weblinks

symmetric monoidal category (nLab)