Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind projektive Objekte eine Verallgemeinerung des Begriffs der Freiheit in der Algebra.

Definition

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Ein Objekt P einer Kategorie C heißt projektiv, wenn es zu jedem Epimorphismus   und jedem   ein   gibt, so dass   ist. Das heißt, nebenstehendes Diagramm ist kommutativ. Also ist   genau dann projektiv, wenn für alle Epimorphismen   die induzierte Abbildung

  surjektiv ist.

Beispiele

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Eigenschaften

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Ist in der Kategorie   jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt   einen Epimorphismus  , in dem   projektiv ist, so sagt man auch,   besitze genügend projektive Objekte. Diese Eigenschaft spielt eine Rolle im Zusammenhang mit abgeleiteten Funktoren. Beispielsweise besitzt die Kategorie der Gruppen genügend projektive Objekte, weil jede Gruppe Quotient einer freien Gruppe ist (Darstellung durch Erzeugende und Relationen).

Projektiver Modul

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In der Kategorie der Moduln kann man genaueres über projektive Moduln sagen.

Für einen Modul   sind folgende Aussagen äquivalent.

  •   ist projektiv.
  • Zu jedem Epimorphismus   gibt es  , so dass   gilt. Das heißt, jeder Epimorphismus mit Ziel   ist eine Retraktion.
  • Jeder Epimorphismus   zerfällt. Das heißt,   ist direkter Summand in  .
  •   ist isomorph zu einem direkten Summanden eines freien Moduls.
  • Der Funktor   ist exakt.

Die direkte Summe einer Familie   von Moduln ist genau dann projektiv, wenn jedes   projektiv ist. Insbesondere ist jeder direkte Summand eines projektiven Moduls projektiv. Das Produkt projektiver Moduln ist im Allgemeinen keineswegs projektiv. So ist beispielsweise   nicht projektiv.

Beispiele projektiver Moduln

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Dualbasislemma

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Ein Modul   werde erzeugt von  . Der Modul   ist genau dann projektiv, wenn es eine Familie   von Homomorphismen aus dem Dualraum   gibt mit:

  1. Für jedes   ist   nur für endlich viele  .
  2. Für jedes   ist  .

Folgerungen aus dem Dualbasislemma

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  • Für jeden Rechtsmodul   ist   ein Linksmodul über dem Ring  . Dieser Modul heißt der zu   duale Modul. Der Modul   ist wieder ein Rechtsmodul. Man hat den natürlichen Homomorphismus  . Ist   projektiv, so ist   injektiv.
  • Ist   projektiv und endlich erzeugt, so ist   ein Isomorphismus. Man sagt   ist reflexiv.

Siehe auch

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Literatur

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