In vielen Gebieten der Mathematik spielen direkte Produkte und Koprodukte der betrachteten Objekte eine besondere Rolle. Die Konstruktion solcher Produkte von Objektfamilien fußt oft auf dem kartesischen Produkt von Mengen.

In der Mengenlehre wird das kartesische Produkt einer Familie von Mengen folgendermaßen definiert:

Sind die alles Rechtsmoduln über dem unitären Ring , so hat eine Modulstruktur. Dies ist ein Produkt von Moduln, das Produkt der Modulfamilie .

Definition des Produktes

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Produkt von Moduln

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Ist   eine Familie von Rechtsmoduln über dem Ring   so heißt   das Produkt der Moduln. Ist  , so heißt   die  -te Komponente von  . Das Produkt   erhält durch die folgenden beiden Verknüpfungen eine Modulstruktur.

 

Ist die Funktion  , so schreibt man dafür oft  , analog wie das bei reellen Zahlenfolgen üblich ist[1]. Dabei ist   die  -te Komponente. Man addiert also komponentenweise und mit den Skalaren wird komponentenweise multipliziert.

Universelle Eigenschaft des Produktes

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Ist   das Produkt der Moduln   so bilden die Funktionen   das Produkt   epimorph auf   ab. Sie heißen Projektionen. Das Paar   hat die folgende Eigenschaft:

Zu jedem Rechtsmodul   über   und jeder Familie von Homomorphismen   gibt es genau einen Homomorphismus  , so dass   für alle   gilt.

In der Kategorientheorie nennt man eine solche Eigenschaft universell, sie kennzeichnet das Produkt von Objekten bis auf Isomorphie, das heißt:

Ist   ein Modul und   eine Familie von Homomorphismen und gibt es zu jedem Modul   und jeder Familie   von Homomorphismen genau ein   mit  , so ist  . Ein Diagramm zu dieser Situation sieht so aus:

 

Die oben angegebene Konstruktion zusammen mit dem Nachweis der universellen Eigenschaft fasst man auch kurz so zusammen: In der Kategorie der Moduln gibt es Produkte.

Produkt und Hom Funktor

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Ist   eine Familie von Homomorphismen, so ist   genau dann ein Produkt der Familie  , wenn der Homomorphismus

 

für alle Rechtsmoduln   ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist:

 

eine natürliche Transformation, die für jeden Modul   ein Isomorphismus ist.   ist ein funktorieller Isomorphismus.

Beispiele, Bemerkungen, Bezeichnungen

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  1. Ist für alle  , so schreibt man   und nennt dies eine Potenz von  .
  2. Für jede Indexmenge   ist   sogar ein Ring, wenn man komponentenweise multipliziert.   ist auf der linken und rechten Seite ein Modul über dem Ring  . Die Diagonalabbildung  ist ein Homomorphismus der Ringe und der Moduln. Dabei sind alle Komponenten von   gleich r.
  3. Ist   eine Familie von Untermoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus   mit  . Dabei ist   die Familie der kanonischen Homomorphismen von   auf die Faktormoduln  . Der Kern dieses Homomorphismus ist  .
  4. Sind   und   zwei Familien von Moduln und ist   eine Familie von Homomorphismen, so ist die Abbildung   ein Homomorphismus. Es ist  . Weiter ist  .
  5. Ist auch   eine Familie von Moduln und ist für alle   die Folge   exakt, so ist   exakt.
  6. Sind   Rechtsmoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus   mit   für alle  . Es ist  . Ist   der Endomorphismenring von  , so ist   auf der linken Seite ein S– Untermodul von  . Ist   so koerzeugt der Modul   den Modul  . Ein Modul, der alle Rechtsmoduln koerzeugt heißt Kogenerator. Der Modul   ist daher ein Kogenerator, wenn es zu jedem Rechtsmodul   einen Monomorphismus   gibt, für eine gewisse Indexmenge  [2].
  7. Ist   eine abelsche Gruppe, so ist   torsionsfrei genau dann, wenn   von   koerzeugt wird.[3]
  8.   ist ein Kogenerator in der Kategorie der abelschen Gruppen. Dies ist nicht mehr ganz einfach. Es setzt die Theorie der injektiven Moduln voraus. Siehe dazu zum Beispiel[4]

Koprodukt von Moduln

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Eine Funktion   heißt endlichwertig, wenn   nur für endlich viele   gilt. Man meint dasselbe, wenn man sagt   für fast alle  . Die Menge der endlichwertigen Abbildungen aus   wird Koprodukt (oder äußere direkte Summe) der Familie   genannt und mit   bezeichnet.   ist ein Untermodul des Produktes.

Ist  , so sei   die folgende Abbildung aus  :

 

Schreibt man die Abbildung   als Tupel, so ist  . An allen Stellen des Tupels steht 0 nur an der j-ten Stelle steht a.

  ist der einzige Homomorphismus  , welcher folgende Bedingung erfüllt:
 

Dies ergibt sich aus der universellen Eigenschaft des Produktes. Die   sind alles Monomorphismen und es ist   die direkte Summe der   in dem Produkt der  .

Universelle Eigenschaft des Koproduktes

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Ist   das Koprodukt der Moduln   so bilden die Funktionen

 

die   monomorph nach   ab. Sie heißen Injektionen. Das Paar   hat die folgende Eigenschaft:

Zu jedem Modul   und jeder Familie von Homomorphismen   gibt es genau einen Homomorphismus  , so dass   für alle   gilt.

In der Kategorientheorie kennzeichnet diese universelle Eigenschaft das Koprodukt von Objekten bis auf Isomorphie, das heißt:

Ist   ein Modul und   eine Familie von Homomorphismen und gibt es zu jedem Modul   und jeder Familie   von Homomorphismen genau ein   mit  , so ist  .

Die oben angegebene Konstruktion zusammen mit dem Nachweis der universellen Eigenschaft fasst man auch kurz so zusammen: In der Kategorie der Moduln gibt es Koprodukte.

Koprodukt und Hom Funktor

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Ist   eine Familie von Homomorphismen, so ist   genau dann ein Koprodukt der Familie  , wenn der Homomorphismus

 

für alle Rechtsmoduln   ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist:

 

ein   funktorieller Isomorphismus.

Bezeichnungen und Beispiele

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  1. Meist identifiziert man die   mit den   in  . Dann schreibt man   anstelle von  . Normalerweise ist keine Verwechslung zu befürchten.
  2. Ist   für alle   so schreibt man   anstelle von  .
  3. Ist   für alle  , so ist   ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie   mit  .
  4. Ist die Indexmenge   endlich, so sind direkte Summe und direktes Produkt identisch.
  5. Ist   eine endliche Teilmenge von   und  , so ist   direkter Summand in  . Der Homomorphismus   erfüllt die Bedingungen   und  . Für unendliche Mengen ist die direkte Summe normalerweise keineswegs direkter Summand im direkten Produkt. So ist   kein direkter Summand in  . Eine schwierige Frage ist: Für welche Moduln   ist   direkter Summand im Produkt  ? Ist beispielsweise   halbeinfach und endlich erzeugt, so ist dies der Fall.
  6. Sind   Rechtsmoduln, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus   mit   für alle  . Es ist  . Ist   der Endomorphismenring von  , so ist   auf der linken Seite ein S– Untermodul von  . Ist  , so erzeugt der Modul   den Modul  . Ein Modul, der alle Rechtsmoduln erzeugt heißt Generator. Der Modul   ist daher ein Generator, wenn es zu jedem Rechtsmodul   einen Epimorphismus   gibt, für eine gewisse Indexmenge  . Da jeder Modul das epimorphe Bild eines freien Moduls ist, ist   ein Generator.

Zwei wichtige Sätze

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Ein Zerlegungssatz Satz von Kaplansky

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Sei   eine unendliche Kardinalzahl. Ist der Modul   direkte Summe von   erzeugbaren Untermoduln, so ist jeder direkte Summand von   direkte Summe von   erzeugbaren Untermoduln.

Der wichtigste Fall ist: Ist   direkte Summe von abzählbar erzeugten Untermoduln, so hat jeder direkte Summand diese Eigenschaft. In dieser Form hat Irving Kaplansky den Satz ursprünglich bewiesen. Daraus folgt beispielsweise, dass jeder projektive Modul direkte Summe von abzählbar erzeugten Moduln ist. Will man daher Struktursätze über projektive Moduln beweisen, so kann man sich dank Kaplansky auf abzählbar erzeugte beschränken. Jeder projektive Modul ist ja direkter Summand in einem freien Modul.

Der Zerlegungssatz von Krull-Remak-Schmidt-Azmaya

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Seien   zwei Zerlegungen von  . Sind die Endomorphismenringe aller   lokal und sind alle   unzerlegbar, so gibt es eine Bijektion   mit   für alle  .

Dieser Satz verallgemeinert viele wichtige Sätze. So zum Beispiel:

  • Je zwei Basen eines Vektorraumes haben gleiche Mächtigkeit.
  • Die Zerlegung eines halbeinfachen Moduls in eine direkte Summe von einfachen Moduln ist im Sinne des Satzes eindeutig.
  • Der Zerlegungssatz von Satz von Krull-Remak-Schmidt für Moduln endlicher Länge.

Einzelnachweise

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  1. Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 77 ISBN 3-519-02211-7
  2. Robert Wisbauer, Grundlagen der Modul – und Ringtheorie, Verlag Reinhard Fischer, München 1988 Seite 112 ISBN 3-88927-044-1
  3. Frank W. Anderson, Kent R. Fuller, Rings and Categories of modules Springe, New York Berlin Heidelberg, 1992, Seite 106, ISBN 0-387-97845-3
  4. Friedrich Kasch Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 127 ISBN 3-519-02211-7

Literatur

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  • Frank W. Anderson and Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, New-York 1992, ISBN 0-387-97845-3
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
  • Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1