Adjunktion (Kategorientheorie)

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Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren und zwischen Kategorien und heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.[1]

Definition

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Zwei Funktoren   und   zwischen Kategorien   und   bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren

 

und

 
In diesem Diagramm ist   linksadjungiert zu  .
 

von   in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funktoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)

  heißt rechtsadjungiert zu  ,   heißt linksadjungiert zu  .[2][3] Man schreibt dies kurz als   oder  , das Turnstile-Symbol zeigt auf den linksadjungierten Funktor. In Diagrammen wird dieses Symbol ebenfalls zur Kennzeichnung einer Adjunktionsbeziehung verwendet.

Einheit und Koeinheit der Adjunktion

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Ist   die natürliche Äquivalenz  , so heißen die natürlichen Transformationen

 
 

und

 
 

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

     und     

jeweils die Identität ergeben. Genauer sollen folgende Diagramme kommutativ sein:

 

Dabei sind   und   die identischen Transformationen und die natürlichen Transformationen   sind definiert durch   für Objekte   aus   und   aus  . Wegen der Form dieser kommutativen Diagramme nennt man die Beziehungen   und   auch die Dreiecksgleichungen.[4]

Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen, die diese Dreiecksgleichungen erfüllen, eine Adjunktion bestimmen, deren Einheit und Koeinheit sie sind.

Eigenschaften

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  • Sind   und   quasi-invers zueinander, so ist   rechts- und linksadjungiert zu  .
  • Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
  • Ist   rechtsadjungiert zu  ,   die Einheit, und   die Koeinheit der Adjunktion, so ist   mit   eine Monade in  .

Beispiele

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  • Der Funktor  , der eine Menge   auf  , den freien  -Vektorraum über  , dessen Elemente formale  -Linearkombinationen sind, abbildet, ist linksadjungiert zum Vergissfunktor  , der Vektorräumen ihre zugrundeliegende Menge zuordnet. Die  -Komponente der Einheit dieser Adjunktion,  , ist gerade die Familie der kanonischen Basisvektoren von  . Die  -Komponente der Koeinheit,  , ist die lineare Abbildung, die formale  -Linearkombinationen von Elementen von   mit den konkreten Operationen von   auswertet.
  • Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
  • Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
  • Der Funktor „statte eine Menge mit der trivialen Topologie aus“ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
  • Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top* → Top.
  • Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
  • Der Funktor „Vervollständigung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
  • Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
  • In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie   ist für jedes Objekt   der Funktor   linksadjungiert zum Funktor  . Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung   ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt  .
  • Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor  , mit   für Mengen   und   für Funktionen  . Der zu   rechtsadjungierte Funktor   ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen   die Funktion   zu. Die  -Komponente der Einheit der Adjunktion,  , ist  . Die  -Komponente der Koeinheit der Adjunktion,  , ist gerade die auf   beschränkte Elementrelation.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. D. M. Kan: Adjoint Functors. In: Transaction American Mathematical Society, 1958, Band 87, S. 294–329
  2. P. J. Hilton, U. Stammbach: A Course in Homological Algebra. Springer-Verlag, 1970, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel II, Absatz 7: Adjoint Functors
  3. H. Schubert: Kategorien II (= Heidelberger Taschenbuch. Band 66). Springer, Berlin 1970, ISBN 3-540-04866-9, doi:10.1007/978-3-642-95156-5.
  4. Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Definition 4.2.5, S. 123.