Der Darstellungsring einer Gruppe ist in der Mathematik vor allem in der Darstellungstheorie, aber auch in Algebra, Topologie und K-Theorie von Bedeutung.

Definition

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Der Darstellungsring einer Gruppe   wird definiert als die abelsche Gruppe der formalen Differenzen von Darstellungen, mit direkter Summe und Tensorprodukt als Addition und Multiplikation.

Für endliche oder kompakte Gruppen kann man den Darstellungsring äquivalent definieren als die abelsche Gruppe

 

die mit komponentenweiser Addition sowie der durch die Zerlegung des Tensorprodukts als direkte Summe irreduzibler Darstellungen als Multiplikation zum Ring wird. Die Elemente von   heißen virtuelle Darstellungen.

Operationen

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Direkte Summe

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Seien   und   zwei Darstellungen einer Gruppe  . Die direkte Summe von Darstellungen definiert eine Addition

 

auf  .

Tensorprodukt

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Seien   und   zwei Gruppen mit jeweiligen Darstellungen   und   dann ist   eine Darstellung des direkten Produkts  , das Tensorprodukt der beiden Darstellungen. Das definiert einen Homomorphismus

 

wobei   das Tensorprodukt der Darstellungsringe als  -Moduln ist. Für   erhält man durch Verknüpfung mit dem durch die Diagonaleinbettung   definierten Homomorphismus   insbesondere eine Multiplikation

 .

Äußeres Produkt

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Für jede Darstellung einer Gruppe   und jede natürliche Zahl   kann man das  -te äußere Produkt definieren, welches wiederum eine Darstellung von   ist. Dies definiert eine Folge von Operationen

 ,

die   zu einem λ-Ring machen.

Adams-Operationen

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Die Adams-Operationen   auf dem Darstellungsring einer kompakten Gruppe werden durch ihre Wirkung auf Charakteren definiert:

 .

Sie definieren Ringhomomorphismen und ihre Wirkung auf  -dimensionalen Darstellungen lässt sich beschreiben durch

 

wobei   die äußeren Potenzen von   sind und   die  -te Potenzsumme als Summe der elementarsymmetrischen Funktionen in   Variablen ausdrückt.

Beispiele

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  • Für die zyklische Gruppe   ist
 ,
wobei   einer 1-dimensionalen Darstellung entspricht, die den Erzeuger von   auf eine  -te primitive Einheitswurzel abbildet.
 ,
wobei   der 1-dimensionalen alternierenden Darstellung und   der 2-dimensionalen irreduziblen Darstellung von   entspricht.
  • Für die Kreisgruppe   ist
 .
 ,
wobei   der Darstellung entspricht, die eine Diagonalmatrix auf ihren  -ten Diagonaleintrag abbildet.

Darstellungsringe kompakter Gruppen

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Im Folgenden sei   eine kompakte (z. B. endliche) Gruppe.

Charaktere und Darstellungsringe

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Der Charakter definiert einen Ringhomomorphismus in die Menge aller Klassenfunktionen auf   mit komplexen Werten

 

wobei   die zu   gehörigen irreduziblen Charaktere sind.

Für kompakte Gruppen   wird eine Darstellung durch ihren Charakter festgelegt, demzufolge ist   injektiv. Die Bilder von   heißen virtuelle Charaktere.
Da die irreduziblen Charaktere eine Orthonormalbasis von   bilden, induziert   einen Isomorphismus

 

indem man die Abbildung auf einer Basis aus reinen Tensoren   definiert durch   bzw.   und dann bilinear fortsetzt.

Wir schreiben   für die Menge aller Charaktere auf   und   für die von   erzeugte Gruppe, d. h., für die Menge aller Differenzen von zwei Charakteren. Es gilt

 

Damit gilt also   also entsprechen sich virtuelle Charaktere und virtuelle Darstellungen in optimaler Weise.

Da   ist   die Menge aller virtuellen Charaktere. Da das Produkt zweier Charaktere einen Charakter liefert, ist   ein Unterring des Rings   aller Klassenfunktionen auf   Da die   eine Basis von   bilden, erhalten wir, wie schon für   die Isomorphie  

Einschränkung und Induktion

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Sei   eine Untergruppe von   so definiert die Einschränkung einen Ringhomomorphismus

 

den wir mit   oder   bezeichnen. Ebenso definiert die Induktion auf Klassenfunktionen einen Homomorphismus abelscher Gruppen   der mit   bzw.   bezeichnet wird.
Nach der Frobeniusreziprozität sind die beiden Homomorphismen adjungiert zueinander bezüglich der bilinearen Formen   und   Weiterhin zeigt die Formel

 

dass das Bild von   ein Ideal des Ringes   ist.
Analog kann man über die Einschränkung von Darstellungen die Abbildung   und über die Induktion die Abbildung   für   definieren. Mit der Frobeniusreziprozität erhält man dann, dass die Abbildungen adjungiert zueinander sind und dass das Bild   ein Ideal in   ist.

Falls   ein kommutativer Ring ist, lassen sich die Homomorphismen   und   zu  -linearen Abbildungen fortsetzen:

 
 

wobei   die irreduziblen Darstellungen von   bis auf Isomorphie sind.

Mit   erhalten wir insbesondere, dass   und   Homomorphismen zwischen   und   liefern.

Maximale Tori

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Für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe   hat man einen durch Einschränkung definierten Isomorphismus

 ,

wobei   ein maximaler Torus und   die auf   wirkende Weyl-Gruppe ist.

Darstellungsring des Produkts kompakter Gruppen

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Alle irreduziblen Darstellungen von   sind genau die Darstellungen  , für die   irreduzible Darstellungen von   bzw.   sind. Dies überträgt sich auf den Darstellungsring als Identität

 

Satz von Artin

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Sei   eine Familie von Untergruppen einer endlichen Gruppe   Sei   der Homomorphismus, definiert durch die Familie der   Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

  • Der Kokern von   ist endlich.
  •   ist die Vereinigung der Konjugate der zu   gehörenden Untergruppen, also  

Beziehung zur K-Theorie

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Der Darstellungsring ist isomorph zur algebraischen K-Theorie der Gruppenalgebra:

 .

Der Darstellungsring einer kompakten Lie-Gruppe ist isomorph zur äquivarianten K-Theorie des Punktes:

 .

Literatur

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  • Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977.
  • Graeme Segal: The representation ring of a compact Lie group, Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques January 1968, Volume 34, Issue 1, pp 113–128
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