In der Mathematik ist die Weyl-Gruppe ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung von Lie-Gruppen und Lie-Algebren und allgemeiner von Wurzelsystemen. Sie ist nach Hermann Weyl benannt, der 1925 ihre Bedeutung erkannte.

Weyl-Gruppe einer Lie-Gruppe

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Es sei   eine halbeinfache Lie-Gruppe und

 

ihre Iwasawa-Zerlegung (K ist eine kompakte Untergruppe, A eine abelsche und N eine nilpotente). Es seien   der Normalisator von   in   und   der Zentralisator von   in  . Die Weyl-Gruppe ist definiert als

 .

Sie ist eine endliche Gruppe, die von Elementen der Ordnung 2 erzeugt wird.

Weyl-Gruppe einer kompakten Lie-Gruppe

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Für jeden maximalen Torus   sei   und   der Normalisator und Zentralisator von  , dann ist

 

die Weyl-Gruppe von  .

Weyl-Gruppe eines Wurzelsystems

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Es sei   ein Wurzelsystem in einem Vektorraum  , dann heißt die von den Spiegelungen an den von den Wurzeln erzeugten Hyperebenen

 

erzeugte Gruppe   die Weyl-Gruppe des Wurzelsystems.

Falls   eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra   ist, dann betrachtet man eine Cartan-Unteralgebra   und das dazugehörige Wurzelsystem  . Die Weyl-Gruppe von   stimmt mit der Weyl-Gruppe von   überein.

Längstes Element

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Das längste Element der Weyl-Gruppe (zu einem gegebenen Wurzelsystem) ist das Element maximaler Länge bzgl. des durch Spiegelungen an den von Wurzeln erzeugten Hyperebenen gegebenen Erzeugendensystems.

Beispiel

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Die Weyl-Gruppe der speziellen linearen Gruppe   ist die symmetrische Gruppe  . Das längste Element ist die Permutation  .

Literatur

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