51-Eck

Vieleck definiert durch 51 Punkte

Das 51-Eck oder Pentakontahenagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch einundfünfzig Punkte und deren einundfünfzig Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Regelmäßiges 51-Eck
Regelmäßiges 51-Eck

Das – im Folgenden ausschließlich beschriebene – regelmäßige 51-Eck ist ein nicht überschlagenes Polygon mit 51 gleich langen Seiten auf einem gemeinsamen Umkreis. Es ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen () darstellbar ist.

Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmäßige 51-Eck.

Größen

Bearbeiten
Größen eines regelmäßigen 51-Ecks
Innenwinkel  

 

Zentriwinkel

(Mittelpunktswinkel)

 
Seitenlänge  
Umkreisradius  
Inkreisradius  
Höhe  
Flächeninhalt  

Innenwinkel

Bearbeiten

Der Innenwinkel   wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable   für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl   einzusetzen.

 

Zentriwinkel

Bearbeiten

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel   wird von zwei benachbarten Umkreisradien   eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable   die Zahl   einzusetzen.

 

Seitenlänge und Umkreisradius

Bearbeiten

Das 51-Eck ist in einundfünfzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge)  , der Hypotenuse (Umkreisradius)   und dem halben Zentriwinkel   erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge   wie folgt

 

durch Umformen erhält man den Umkreisradius  

 

Inkreisradius

Bearbeiten

Der Inkreisradius   ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge   des 51-Ecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius  

 

Die Höhe   eines regelmäßigen 51-Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius   und Umkreisradius  .

 
 

Flächeninhalt

Bearbeiten

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein  . Für die Berechnung des 51-Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge   und des Inkreisradius   herangezogen, worin   für die Höhe   eingesetzt wird.

 
  daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks
  zusammengefasst ergibt sich
 
 

und für die Fläche des gesamten 51-Ecks

 
 

Konstruktion

Bearbeiten

Wie oben in Regelmäßiges 51-Eck beschrieben, ist das 51-Eck als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Da sich die Anzahl seiner Ecken aus der Multiplikation der beiden Fermatschen Primzahlen   und   ergibt, kann das regelmäßige 51-Eck durch eine Erweiterung einer bereits bekannten Konstruktion des Siebzehnecks gefunden werden. Die zwei Polygone Dreieck und Siebzehneck (deren Anzahl der Seiten entspricht den Fermatschen Primzahlen   bzw.  ) werden im gemeinsamen Umkreis mit einem gemeinsamen Eckpunkt übereinander gelegt, so wie dies z. B. Johannes Kepler in seinem Werk WELT-HARMONIK in der Konstruktion des Fünfzehnecks aufzeigt[1].

Als Basis für die Konstruktion kann prinzipiell eine der drei in Siebzehneck beschriebenen Methoden ausgewählt werden. Aus Gründen des sehr geringen erforderlichen Aufwands wird die Methode von Duane W. DeTemple,[2] aus dem Jahr 1991, verwendet.

Vorüberlegungen

Bearbeiten
 
Bild 1: Siebzehneck nach DeTemple, Vorüberlegungen (gepunktete Linien)

In der Zeichnung des Siebzehnecks nach Duane W. DeTemple (Bild 1) ist gut erkennbar, die Mittelsenkrechte ab   schneidet nicht nur den Kreisbogen   sondern auch den Umkreis. Wird dieser Schnittpunkt als   markiert, liegt er direkt neben dem Eckpunkt   Damit ergibt sich der Zentriwinkel   mit der Winkelweite   eines gleichseitigen Dreiecks, der quasi zum Zentriwinkel des Siebzehnecks   geometrisch im Uhrzeigersinn addiert ist.

Folglich gilt für

Zentriwinkel   des Kreissektors  
 
Zentriwinkel   des Kreissektors  
  wegen
Zentriwinkel   des 51-Ecks
  gilt auch
 

Somit ist die Strecke   eine Seitenlänge   und   ein Eckpunkt des gesuchten 51-Ecks.

Die Position des Eckpunktes   des 51-Ecks ergibt sich auch aus der Anzahl der Seitenlängen   die im Zentriwinkel   enthalten sind

  daraus folgt
ausgehend von dem nicht mitgezählten Eckpunkt   entspricht der im Uhrzeigersinn 17. Eckpunkt dem Eckpunkt   der gegen den Uhrzeigersinn abgezählt ist.

Der 17. Eckpunkt des 51-Ecks liegt demnach, bezogen auf die Mittelachse  , genau gegenüber dem 34. Eckpunkt.

Konstruktionsbeschreibung

Bearbeiten

Die, im Vergleich zum Original, geänderten Bezeichner im Bild 2 entsprechen denen der heute üblichen.

 
Bild 2: Erweiterung der Konstruktion des 17-Ecks nach Duane W. DeTemple zur Konstruktion des 51-Ecks durch Ergänzung der Ecken des gleichseitigen Dreiecks (  -   -  ) und Abtragen der dann noch fehlenden Punkte
  • Zeichnen einer Geraden   (analytisch eine X-Achse) und bestimmen eines Punktes   darauf, den späteren Mittelpunkt des Polygons (analytisch ein Koordinatenursprung).
  • Zeichnen eines Kreises als Umkreis (analytisch ein Einheitskreis)   um  . Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, den Eckpunkt   des Polygons und der Gegenpunkt  .
  • Errichten der Senkrechten   (analytisch eine Y-Achse) auf der Gerade   in  . Es ergibt sich der Schnittpunkt  .
  • Halbierung der Strecke   in  .
  • Errichten der Senkrechte auf der Geraden in  . Die beiden Schnittpunkte mit   sind die Eckpunkte   und   des 51-Ecks.
  • Zeichnen des Kreisbogens   um   mit dem Radius  . Der Schnittpunkt mit der Senkrechten ist  .
  • Nun wird um   der erste Carlyle-Kreis   durch den Punkt   gezogen; die Schnittpunkte sind   und  .
  • Die Strecke   wird halbiert. Man erhält  .
  • Zeichnen eines zweiten Carlyle-Kreises   um   durch  . Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte   und   (letzterer nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
  • Die Strecke   wird halbiert. Man erhält  .
  • Zeichnen eines dritten Carlyle-Kreises   um   durch  . Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte   und   (letzterer ebenfalls nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
  • Abtragen der Strecke   auf   von   aus ab. Man erhält Punkt  
  • Verbinden der Punkte   und   mit einer Strecke.
  • Halbieren der Strecke  . Man erhält Punkt  .
  • Zeichnen eines vierten Carlyle-Kreises   um   durch  . Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte   und   (letzterer nicht beschriftet, da er nicht weiter benötigt wird).
  • Zeichnen eines Kreisbogens um   mit dem Umkreisradius  . Die Schnittpunkte mit dem Umkreis   sind die zwei zu   benachbarten Punkte des 17-Ecks und damit die Punkte   und   des 51-Ecks.
  • Durch wiederholtes Abtragen der Strecke   auf dem Umkreis  , beginnend mit  , erhält man die fehlenden Punkte eines regelmäßigen 17-Ecks. Bis hierhin entspricht die Konstruktion der des 17-Ecks.
  • Durch wiederholtes Abtragen der Strecke   auf dem Umkreis  , ausgehend von den Punkten   (blau) und   (rot), erhält man alle noch fehlenden Eckpunkte des 51-Ecks, welche miteinander zum 51-Eck verbunden werden können.

Vorkommen

Bearbeiten

Architektur

 
RWE-Turm in Essen

Der Querschnitt des RWE-Turms in Essen ist ein regelmäßiges 51-Eck.

Literatur

Bearbeiten
Bearbeiten
Commons: 85-Eck – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Johannes Kepler: WELT-HARMONIK. XLIV. Satz., Seite des Fünfzehnecks, Seite 44. In: Google Books. R. OLDENBURG VERLAG 2006, übersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939, S. 401, abgerufen am 21. Februar 2018.
  2. Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. (Memento vom 11. August 2011 im Internet Archive). The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), S. 101–104 (JSTOR:2323939) aufgerufen am 16. Februar 2018.