Additionsverfahren (Mathematik)

Das Additionsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen. In der Schulmathematik wird es neben dem Einsetzungsverfahren und dem Gleichsetzungsverfahren standardmäßig zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen eingesetzt.^[1] Darüber hinaus basiert das wahrscheinlich bekannteste Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, das Gaußsche Eliminationsverfahren, auf dem Additionsverfahren.

Beim Additionsverfahren werden Gleichungen addiert. Dies geschieht in der Regel so, dass eine oder mehrere Variablen (Unbekannte) in den Gleichungen eliminiert werden.

Rechtfertigung (Anschaulich)

Als Beispiel soll das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden:

{\begin{matrix}({\text{I}})\quad &5x&+&3y&=&5\\({\text{II}})\quad &2x&-&3y&=&2\end{matrix}}

Man kann sich beide Gleichungen als ausgeglichene Waagen vorstellen. Waage 1 hat in der linken Schale $5x+3y$ und in der rechten $5$ liegen. Waage 2 hat in der linken Schale $2x-3y$ und in der rechten $2$ liegen.

Legt man die Inhalte der linken Schalen zusammen, müssen diese so viel wiegen wie die rechten Schalen zusammen. Als Gleichung erhält man:

{\begin{matrix}({\text{I}})+({\text{II}}):\quad &(5x+3y)&+&(2x-3y)&=&5+2\end{matrix}}

Sortiert man die linke Seite der Gleichung nach den Unbekannten, heben sich die Terme mit $y$ weg und man erhält eine Lösung für $x$ :

{\begin{matrix}5x+2x&+&3y-3y&=&7\\7x&+&0&=&7&|:7\\x&&&=&1\end{matrix}}

Auch das vorherige Vervielfachen einer Gleichung ändert nichts am Gleichgewicht der jeweiligen Waage. Ein Mehrfachadditionsverfahren wie $({\text{I}})+3\cdot ({\text{II}})$ oder ein Subtraktionsverfahren wie $({\text{I}})-({\text{II}})$ ist also lediglich eine abkürzende Schreibweise für eine Äquivalenzumformung mit anschließendem Additionsverfahren. Für $({\text{I}})+3\cdot ({\text{II}})$ wird die zweite Gleichung zunächst verdreifacht und dann beide Gleichungen addiert (ein ausführliches Beispiel dazu steht unten). Für $({\text{I}})-({\text{II}})$ wird die zweite Gleichung zunächst auf beiden Seiten mit $(-1)$ multipliziert und dann beide Gleichungen addiert.

Beispiel

Mit Hilfe des Additionsverfahrens soll das folgende Gleichungssystem gelöst werden:

{\begin{matrix}({\text{I}})&5x&+&3y&=&5\\({\text{II}})&3x&+&y&=&-1\end{matrix}}

Dazu muss eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel wird dazu Gleichung $({\text{II}})$ auf beiden Seiten mit $-3$ multipliziert und man erhält das gleichwertige Gleichungssystem