Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren^[1] ist ein Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen. In der Schulmathematik wird es neben dem Einsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren standardmäßig zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen eingesetzt.^[2] Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Spezialfall des Einsetzungsverfahrens und insbesondere dann sinnvoll, wenn beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst vorliegen.^[3]

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst. Anschließend werden die beiden erhaltenen Terme gleichgesetzt. Dadurch entsteht eine neue Gleichung, die eine Variablen weniger als das ursprüngliche Gleichungssystem enthält. Durch Auflösen erhält man den oder die Werte der verbliebenen Variable und durch Einsetzen dieser Lösung(en) in eine der beiden Ausgangsgeichungen die zugehörigen Werte der zuvor eliminierten Variablen.^[4]

Beispiel

Es wird das folgende (nichtlineare) Gleichungssystem betrachtet:

{\begin{aligned}&(1)&x+y&=3\\&(2)&x\cdot y&=2\end{aligned}}

Umstellen

Die Gleichungen stellt man jeweils nach einer Variablen um, hier nach $x$ . Für $y\neq 0$ erhält man folgende Gleichungen:^{[A 1]}

{\begin{aligned}&(1')&x&=3-y\\&(2')&x&={\frac {2}{y}}\end{aligned}}

Gleichsetzen

Da die linken Seiten identisch sind, muss dies auch für die rechten Seiten gelten. Man setzt daher diese gleich und erhält eine Gleichung, die nur noch die Variable $y$ enthält:

{\begin{aligned}3-y&={\frac {2}{y}}\end{aligned}}

.

Lösen der entstandenen Gleichung

Bestimmen der y-Werte

{\begin{aligned}3-y&={\frac {2}{y}}&|&\cdot y\\y(3-y)&=2&|&{\text{ Klammer aufl}}{\ddot {\mathrm {o} }}{\text{sen}}\\3y-y^{2}&=2&|&-(3y-y^{2})\\0&=y^{2}-3y+2&|&{\text{ quadratische Gleichung in Normalform}}\rightarrow {\text{L}}{\ddot {\mathrm {o} }}{\text{sen}}\\y_{1}&=1&&\\y_{2}&=2&&\end{aligned}}

Man erhält hier zwei Lösungen für $y$ , was darauf hinweist, dass auch das System zwei Lösungspaare $(x\,|\,y)$ haben kann.

Bestimmen der x-Werte

Die Lösungen für $y$ setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen (oder deren umgestellte Variante) ein und berechnet aus dieser das zugehörige $x$ :

{\begin{aligned}x_{1}&=3-y_{1}=2\\x_{2}&=3-y_{2}=1\\\end{aligned}}

Zusammenfassung

Somit hat das Gleichungssystem zwei Lösungen $(x\,|\,y)$ :

\mathbb {L} =\{(2\,|\,1),(1\,|\,2)\}

Siehe auch

Literatur

Duden (Hrsg.): Mathematik (= Basiswissen Schule.). 4. Auflage. Duden Schulbuchverlag, 2010, ISBN 978-3-411-71504-6.

Weblinks

Das Gleichsetzungsverfahren (Memento vom 25. März 2010 im Internet Archive) im Online-Mathematikbuch.

Anmerkungen

↑ Der Fall $y=0$ kann ausgeschlossen werden, da die Gleichung $x\cdot y=2$ in diesem Fall nicht erfüllbar ist.

Einzelnachweise

↑ Basiswissen Schule Mathematik, S. 145.
↑ Hans-Georg Weigand, Alexander Schüler-Meyer, Guido Pinkernell: Didaktik der Algebra. 4. Auflage. Springer, 2022, ISBN 978-3-662-64659-5, S. 295.
↑ Basiswissen Schule Mathematik, S. 145–146.
↑ Man wird natürlich nur Lösungen für die beiden Variablen erhalten, wenn das ursprüngliche Gleichungssystem lösbar ist.

[5] Der Fall $y=0$ kann ausgeschlossen werden, da die Gleichung $x\cdot y=2$ in diesem Fall nicht erfüllbar ist.

[1] Basiswissen Schule Mathematik, S. 145.

[2] Hans-Georg Weigand, Alexander Schüler-Meyer, Guido Pinkernell: Didaktik der Algebra. 4. Auflage. Springer, 2022, ISBN 978-3-662-64659-5, S. 295.

[3] Basiswissen Schule Mathematik, S. 145–146.

[4] Man wird natürlich nur Lösungen für die beiden Variablen erhalten, wenn das ursprüngliche Gleichungssystem lösbar ist.

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[2]

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[4]

[A 1]