Alexandroff-Topologie

Ein Alexandroff-Topologie ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum mit einem speziellen Verhältnis von offenen und abgeschlossenen Mengen.

Definition

Ein topologischer Raum, in dem jeder beliebige Schnitt von offenen Teilmengen wieder offen ist oder äquivalent jede Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen ist, hat eine Alexandroff-Topologie.

Lemmata

• Unterräume von Alexandroff-diskreten Räumen sind Alexandroff-diskret.
• Quotientenräume von Alexandroff-diskreten Räumen sind Alexandroff-diskret.
• Endliche Produkte von Alexandroff-diskreten Räumen sind Alexandroff-diskret.
• Bilder von Alexandroff-diskreten Räumen unter stetigen und offenen Abbildungen sind Alexandroff-diskret.
• Alexandroff-diskrete Räume sind P-Räume. In P-Räumen sind nur abzählbare Schnitte von offenen Mengen wieder offen.
• Alexandroff-diskrete Räume sind erstabzählbar.
• Alexandroff-diskrete Räume sind lokal wegzusammenhängend.
• Alexandroff-diskrete Räume sind lokalkompakt (in dem Sinne, dass jeder Punkt eine lokale Basis aus kompakten Umgebungen hat).
• Alexandroff-diskrete Räume sind orthokompakt. Das folgt direkt daraus, dass jede offene Überdeckung eines Alexandroff-diskreten Raumes innererhaltend ist.

Beispiele

• Bilder von Alexandroff-diskreten Räumen unter stetigen Abbildungen müssen nicht Alexandroff-diskret sein. Etwa ist eine bijektive Abbildung $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Q}$ aufgrund der diskreten Topologie auf $\mathbb {N}$ immer stetig, aber ihr Bild $\mathbb {Q}$ ist nicht Alexandroff-diskret.

  $\bigcap _{n\geq 1}\mathbb {Q} \cap \left(-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=\{0\}$

Weblinks

• specialization topology auf nLab (englisch)