P-Raum

Ein P-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum mit einem speziellen Verhältnis von offenen und abgeschlossenen Mengen.

Definition

Per Definition einer Topologie sind nur endliche Schnitte von offenen Teilmengen wieder offen und nur endliche Vereinigungen von abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen. Ein abzählbarer Schnitt von offenen Teilmengen (also nicht unbedingt offen) wird G_δ-Menge und eine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen (also nicht unbedingt abgeschlossen) wird F_σ-Menge genannt.

Ein topologischer Raum, in dem jede G_δ-Menge offen oder äquivalent jede F_σ-Menge abgeschlossen ist, wird P-Raum genannt.

Lemmata

• Alexandroff-diskrete Räume sind P-Räume. In Alexandroff-diskreten Räumen sind sogar beliebige Schnitte von offenen Mengen wieder offen.
• P-Räume sind abzählbar orthokompakt. Das folgt direkt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung eines P-Raumes innererhaltend ist.

Siehe auch

• G_δ-Raum, duales Konzept zum P-Raum

Weblinks

• P-space auf nLab (englisch)
• P-space auf PlanetMath (englisch)