Antiparallelität (Geometrie)

Antiparallelität ist ein Begriff aus der Elementargeometrie, der die Lage zweier Geraden bezüglich eines Winkel oder eines weiteren Geradenpaars beschreibt. Er findet insbesondere in der Dreiecksgeometrie Anwendung.

g₁ und g₂ sind antiparallel h₁ und h₂, aus der Gleichheit der roten Winkel folgt die Gleichheit der übrigen Winkel aufgrund der Eigenschaften von Nebenwinkeln und Scheitelwinkeln

g₁ und g₂ sind antiparallel bezüglich des Winkels in A, gleichfarbige Winkel sind gleich groß

g₁ und g₂ sind antiparallel bezüglich h

Definition

Gegeben sind zwei Geradenpaare $g_{1},g_{2}$ und $h_{1},h_{2}$, dabei schneidet $g_{1}$ $h_{1}$ in $P$ und $h_{2}$ in $Q$ und $g_{2}$ schneidet $h_{1}$ in $R$ und $h_{2}$ in $S$. Die Geraden $g_{1},g_{2}$ werden dann als antiparallel bezüglich $h_{1},h_{2}$ bezeichnet, wenn sie an $P$ und $S$ die gleichen Schnittwinkel bilden jedoch in umgekehrter Reihenfolge (siehe Zeichnung).

Schneiden sich die Geraden $h_{1},h_{2}$ in einem Punkt $A$ und besitzen damit einen Schnittwinkel, dann bezeichnet man $g_{1},g_{2}$ auch als antiparallel bezüglich des Winkels in $A$, sofern die vier Schnittpunkte $P,Q,R,S$ auf den Schenkeln des Winkels liegen. Betrachtet man die Winkelhalbierenden des Winkels in $A$, so bilden $g_{1},g_{2}$ mit ihr die gleiche Schnittwinkelfolge jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

Diese Eigenschaft der Schnittwinkel von $g_{1},g_{2}$ mit der Winkelhalbierenden kann man verwenden, um die die Antiparalletität von $g_{1},g_{2}$ bezüglich einer einzelnen Geraden anstatt eines Geradenpaars zu definieren. Das heißt, $g_{1},g_{2}$ sind antiparallel bezüglich einer Geraden $h$, wenn sie mit dieser die gleichen Schnittwinkel in umgekehrter Reihenfolge bilden. Diese Definition erhält man auch aus der Eingangsdefinition, wenn man dort zulässt, dass die Geraden $h_{1},h_{2}$ identisch sein können.

Die Bedingung für die Schnittwinkel in der Eingangsdefinition ist äquivalent dazu, dass die vier Schnittpunkte $P,Q,R,S$ auf einem gemeinsamen Kreis liegen, also ein Sehnenviereck bilden.

Man beachte, dass ein Geradenpaar $g_{1},g_{2}$ gleichzeitig parallel und antiparallel zueinander sein kann, in diesen Fall ist das Sehnenviereck ein symmetrisches Trapez. Möchte man einen solchen Fall ausschließen, das heißt zueinander parallele Geraden sollen nicht zueinander antiparallel sein, dann muss man in der Eingangsdefinition zusätzlich verlangen, dass sich die beiden Geraden eines Geradenpaars auch selbst schneiden.

Anwendungen und Eigenschaften

Rote winkel sind gleich groß, ED und die Tangente in B sind antiparallel zu AC und stehen senkrecht auf MB

Symmedian CF halbiert Strecken antiparallel zu AB, Median CD, Winkelhalbierende CE

Sind zwei Geraden $g_{1},g_{2}$ antiparallel bezüglich $h_{1},h_{2}$ , dann sind die beiden Geraden $h_{1},h_{2}$ auch antiparallel bezüglich $g_{1},g_{2}$. Sind die beiden Geradenpaare $g_{1},g_{2}$ und $h_{1},h_{2}$ jeweils antiparallel bezüglich eines dritten Geradenpaars $l_{1},l_{2}$, dann ist $g_{1},g_{2}$ auch antiparallel bezüglich $h_{1},h_{2}$ beziehungsweise $h_{1},h_{2}$ antiparallel bezüglich $g_{1},g_{2}$.

In einen Dreieck ist die Verbindungsgerade zweier Höhenfußpunkte antiparallel zur dritten Dreiecksseite (bezüglich des ihnen gegenüberliegenden Dreieckwinkels). Die Tangente an den Umkreis eines Dreiecks, die durch einen seiner Eckpunkte verläuft, ist antiparallel zur gegenüberliegenden Dreiecksseite. Die Verbindungsgerade von Umkreiskreismittelpunkt und einem Eckpunkt steht senkrecht auf allen Antiparallelen zur der dem Eckpunkt gegenüberliegenden Dreiecksseite.

Ein Symmedian durch den Eckpunkt eines Dreiecks halbiert alle Strecken, deren Enden sich auf den am Eckpunkt anliegenden Dreieckseiten befinden und die zur gegenüberliegenden Dreieckseite antiparallel sind.

Literatur

• Cristina Blaga, Paul A. Blaga: Directed Angles. In: Didactica Mathematica. 36. Jahrgang, 2018, S. 25–40 (ubbcluj.ro [PDF]). 
• Antiparallel. In: Otto Lueger: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 1 Stuttgart, Leipzig 1904., S. 244
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 172–173
• A.B. Ivanov: Anti-parallel straight lines. In: Encyclopaedia of Mathematics
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–88 (Digitalisat)

Weblinks

Commons: antiparallel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Antiparallel. In: MathWorld (englisch).
• What Is Antiparallel? auf cut-the-knot