Approximationssatz von Dixmier

Der Approximationssatz von Dixmier, benannt nach Jacques Dixmier, ist ein Satz aus der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren. Er besagt, dass man mittels Konvexkombinationen der unitär Konjugierten eines Elementes einer Von-Neumann-Algebra ein Element des Zentrums approximieren kann.

Formulierung des Satzes

Es seien $U$ die Gruppe der unitären Elemente und $Z$ das Zentrum einer Von-Neumann-Algebra $A$. Dann gilt für jedes Element $a\in A$

${\overline {\mathrm {conv} (\{uau^{*}|\,u\in U\})}}\cap Z\not =\emptyset$.

Dabei bezeichnet $\mathrm {conv}$ die Bildung der konvexen Hülle und der Querstrich den Normabschluss.

Zusatz: Ist $A$ eine endliche Von-Neumann-Algebra, so ist obiger Durchschnitt einelementig. Er besteht aus dem Bild der Spur von $a$.

Anwendungen

• Die Tatsache, dass für endliche Von-Neumann-Algebren der Durchschnitt des Normabschlusses der konvexen Hülle der Elemente $uau^{*}$ mit dem Zentrum einelementig ist, kann verwendet werden, die Existenz der Spur zu zeigen. Jedes Element der Von-Neumann-Algebra wird auf das eindeutig bestimmte Element dieses Durchschnitts abgebildet, das definiert die Spur. Dieses Vorgehen ist im angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose ausgeführt.
• Mit Hilfe des Approximationssatzes von Dixmier kann man zeigen, dass für eine Von-Neumann-Algebra $A$ mit Zentrum $Z$ die Abbildung

$M\mapsto Z\cap M$

eine Bijektion von der Menge aller maximalen, zweiseitigen Ideale von $A$ auf die Menge der maximalen Ideale des Zentrums ist.