Endliche Von-Neumann-Algebra

Endliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um Von-Neumann-Algebren, deren Projektionen einer gewissen Endlichkeitsbedingung genügen.

Definitionen

Es sei $A$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$. Projektionen sind Elemente aus $A$ mit der Eigenschaft $e=e^{*}=e^{2}$. Den Arbeiten von Murray und von Neumann über die heute sogenannten Von-Neumann-Algebren lag die Idee zu Grunde, Projektionen in Analogie zu Mengen zu untersuchen. Die Äquivalenz zweier Projektionen wird in Analogie zur Gleichmächtigkeit von Mengen definiert: $e_{1}$ und $e_{2}$ heißen äquivalent, wenn es ein $v\in A$ gibt mit $e_{1}=v^{*}v$ und $e_{2}=vv^{*}$; man schreibt $e_{1}\sim e_{2}$. Der Teilmengenbeziehung entspricht die Teilmengenbeziehung der projizierten Räume, das heißt man definiert $e_{1}\leq e_{2}$ als $e_{1}(H)\subset e_{2}(H)$. Da eine Menge genau dann endlich ist, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, definiert man im Sinne der hier verfolgten Analogie:

Eine Projektion $e\in A$ heißt endlich, falls $e\sim e_{1}\leq e$ nur für $e=e_{1}$ möglich ist. Man beachte, dass dieser Endlichkeitsbegriff von $A$ abhängt, da der Äquivalenzbegriff von $A$ abhängt.

Eine Von-Neumann-Algebra $A$ heißt endlich, wenn das Einselement $1=\mathrm {id} _{H}$ als Projektion aus $A$ endlich ist.

Beispiele

• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind endlich, denn für diese ist die Äquivalenz von Projektionen mit deren Gleichheit gleichbedeutend.
• Die endlichdimensionalen Algebren $A=L(\mathbb {C} ^{n})$ über einem endlichdimensionalen Hilbertraum sind endlich, denn äquivalente Projektionen haben gleiche Dimension.
• Die Algebra $L(\ell ^{2})$ über dem Folgenraum $\ell ^{2}$ ist nicht endlich, denn ist $s\in L(\ell ^{2})$ der Shiftoperator, so ist $1=s^{*}s\sim ss^{*}<1$.
• Es sei $G$ eine diskrete Gruppe. Jedes Element $g\in G$ operiert als Linksoperator $l_{g}$ und als Rechtsoperator $r_{g}$ auf dem Hilbertraum $\ell ^{2}(G)$ in dem man $(l_{g}(x))(h):=x(g^{-1}h)$ und $(r_{g}(x))(h):=x(hg^{-1})$ definiert. Es seien $L_{G}$ und $R_{G}$ die von $\{l_{g};\,g\in G\}$ bzw. $\{r_{g};\,g\in G\}$ erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind $L_{G}$ und $R_{G}$ endlich und gegenseitige Kommutanten.

Die Spur auf einer endlichen Von-Neumann-Algebra

Ist $A$ eine endliche Von-Neumann-Algebra mit Zentrum $Z$, so gibt es genau eine lineare Abbildung $\tau :A\rightarrow Z$ mit folgenden Eigenschaften:

• $\tau$ ist positiv, das heißt aus $a\geq 0$ folgt $\tau (a)\geq 0$
• $\tau$ ist eine Spur, das heißt $\tau (ab)=\tau (ba)$ für alle $a,b\in A$
• $\tau$ ist eine Projektion auf $Z$, das heißt $\tau (z)=z$ für alle $z\in Z$.

Die eindeutig bestimmte Spur heißt die kanonische Spur auf $A$. Sie hat zusätzlich folgende Eigenschaften:

• $\tau$ ist strikt positiv, das heißt $a>0$ folgt $\tau (a)>0$
• $\tau$ ist $Z$-Morphismus, das heißt $\tau (za)=z\tau (a)$ für alle $a\in A,z\in Z$.
• $\tau$ ist eine Kontraktion, das heißt $\|\tau (a)\|\leq \|a\|$ für alle $a\in A$
• $\tau$ ist ultraschwach stetig.

Ist umgekehrt $A$ eine Von-Neumann-Algebra mit Zentrum $Z$ und einer strikt positiven Spur $\tau :A\rightarrow Z$, so ist $A$ endlich. Ist nämlich $e_{1}\sim e_{2}\leq e_{1}$, so gibt es $v\in A$ mit $e_{1}=v^{*}v$ und $e_{2}=vv^{*}$. Daraus folgt $e_{2}-e_{1}\geq 0$ und $\tau (e_{2}-e_{1})=\tau (vv^{*})-\tau (v^{*}v)=0$ wegen der Spureigenschaft und dann $e_{2}-e_{1}=0$ wegen der strikten Positivität. Daher ist jede Projektion in $A$ endlich, woraus sich die Endlichkeit von $A$ ergibt.

Weitere Charakterisierungen

Typen endlicher Von-Neumann-Algebren

In der Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren sind genau die Typ I_n Algebren mit $n<\infty$ und die Typ II₁ Algebren endlich.

Unitäre Äquivalenz von Projektionen

Zwei Projektionen $e_{1},e_{2}$ einer Von-Neumann-Algebra $A$ heißen unitär äquivalent, wenn es ein unitäres Element $u\in A$ (d. h. $1=u^{*}u=uu^{*}$) gibt mit $e_{1}=u^{*}e_{2}u$. Aus der unitären Äquivalenz folgt die gewöhnliche, oben definierte Äquivalenz, denn aus der definierenden Gleichung folgt $e_{1}=u^{*}e_{2}u=(e_{2}u)^{*}(e_{2}u)$ und $(e_{2}u)(e_{2}u)^{*}=e_{2}uu^{*}e_{2}=e_{2}1e_{2}=e_{2}^{2}=e_{2}$. Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn Äquivalenz und unitäre Äquivalenz übereinstimmen.

Stetigkeit der Involution

Die Involution auf einer Von-Neumann-Algebra ist im Allgemeinen nicht stetig bzgl. der starken Operatortopologie, wie man am Beispiel des unilateralen Shiftoperators $s\in L(\ell ^{2})$ zeigen kann, denn für alle $\xi =(\xi _{n})_{n}\in \ell ^{2}$ gilt $\|{s^{n}}^{*}\xi \|=\|(\xi _{n+1},\xi _{n+2},\ldots )\|\rightarrow 0$, aber $\|s^{n}\xi \|=\|\xi \|$, was für von 0 verschiedenes $\xi$ nicht gegen 0 konvergiert. In endlichen Von-Neumann-Algebren kann so etwas nicht passieren.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn die Involution auf allen beschränkten Mengen stark-stetig ist.