Endliche Von-Neumann-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um Von-Neumann-Algebren, deren Projektionen einer gewissen Endlichkeitsbedingung genügen.

Definitionen

Bearbeiten

Es sei   eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum  . Projektionen sind Elemente aus   mit der Eigenschaft  . Den Arbeiten von Murray und von Neumann über die heute sogenannten Von-Neumann-Algebren lag die Idee zu Grunde, Projektionen in Analogie zu Mengen zu untersuchen. Die Äquivalenz zweier Projektionen wird in Analogie zur Gleichmächtigkeit von Mengen definiert:   und   heißen äquivalent, wenn es ein   gibt mit   und  ; man schreibt  . Der Teilmengenbeziehung entspricht die Teilmengenbeziehung der projizierten Räume, das heißt man definiert   als  . Da eine Menge genau dann endlich ist, wenn sie zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist, definiert man im Sinne der hier verfolgten Analogie:

Eine Projektion   heißt endlich, falls   nur für   möglich ist. Man beachte, dass dieser Endlichkeitsbegriff von   abhängt, da der Äquivalenzbegriff von   abhängt.

Eine Von-Neumann-Algebra   heißt endlich, wenn das Einselement   als Projektion aus   endlich ist.

Beispiele

Bearbeiten
  • Abelsche Von-Neumann-Algebren sind endlich, denn für diese ist die Äquivalenz von Projektionen mit deren Gleichheit gleichbedeutend.
  • Die endlichdimensionalen Algebren   über einem endlichdimensionalen Hilbertraum sind endlich, denn äquivalente Projektionen haben gleiche Dimension.
  • Die Algebra   über dem Folgenraum   ist nicht endlich, denn ist   der Shiftoperator, so ist  .
  • Es sei   eine diskrete Gruppe. Jedes Element   operiert als Linksoperator   und als Rechtsoperator   auf dem Hilbertraum   in dem man   und   definiert. Es seien   und   die von   bzw.   erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind   und   endlich und gegenseitige Kommutanten.[1]

Die Spur auf einer endlichen Von-Neumann-Algebra

Bearbeiten

Ist   eine endliche Von-Neumann-Algebra mit Zentrum  , so gibt es genau eine lineare Abbildung   mit folgenden Eigenschaften[2][3]:

  •   ist positiv, das heißt aus   folgt  
  •   ist eine Spur, das heißt   für alle  
  •   ist eine Projektion auf  , das heißt   für alle  .

Die eindeutig bestimmte Spur heißt die kanonische Spur auf  . Sie hat zusätzlich folgende Eigenschaften:

  •   ist strikt positiv, das heißt   folgt  
  •   ist  -Morphismus, das heißt   für alle  .
  •   ist eine Kontraktion, das heißt   für alle  
  •   ist ultraschwach stetig.

Ist umgekehrt   eine Von-Neumann-Algebra mit Zentrum   und einer strikt positiven Spur  , so ist   endlich. Ist nämlich  , so gibt es   mit   und  . Daraus folgt   und   wegen der Spureigenschaft und dann   wegen der strikten Positivität. Daher ist jede Projektion in   endlich, woraus sich die Endlichkeit von   ergibt.

Weitere Charakterisierungen

Bearbeiten

Typen endlicher Von-Neumann-Algebren

Bearbeiten

In der Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren sind genau die Typ In Algebren mit   und die Typ II1 Algebren endlich.

Unitäre Äquivalenz von Projektionen

Bearbeiten

Zwei Projektionen   einer Von-Neumann-Algebra   heißen unitär äquivalent, wenn es ein unitäres Element   (d. h.  ) gibt mit  . Aus der unitären Äquivalenz folgt die gewöhnliche, oben definierte Äquivalenz, denn aus der definierenden Gleichung folgt   und  . Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn Äquivalenz und unitäre Äquivalenz übereinstimmen.[4]

Stetigkeit der Involution

Bearbeiten

Die Involution auf einer Von-Neumann-Algebra ist im Allgemeinen nicht stetig bzgl. der starken Operatortopologie, wie man am Beispiel des unilateralen Shiftoperators   zeigen kann, denn für alle   gilt  , aber  , was für von 0 verschiedenes   nicht gegen 0 konvergiert. In endlichen Von-Neumann-Algebren kann so etwas nicht passieren.

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann endlich, wenn die Involution auf allen beschränkten Mengen stark-stetig ist.[5]

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.7.2 – 6.7.4
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.2.8
  3. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.4 Existence and uniqueness theorems for operator traces
  4. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.9.11.
  5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Korollar 5.4.13