Neutrales Element

Ein neutrales Element (auch Einheitselement) ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur. Es ist dadurch gekennzeichnet, dass jedes Element durch die Verknüpfung mit dem neutralen Element auf sich selbst abgebildet wird.

Definition

Sei $(S,*)$ ein Magma (eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung). Dann heißt ein Element $e\in S$

linksneutral, falls $e*a=a$ für alle $a\in S$ ist,
rechtsneutral, falls $a*e=a$ für alle $a\in S$ ist,
neutral, falls $e$ linksneutral und rechtsneutral ist.

Ist die Verknüpfung kommutativ, dann stimmen die drei Begriffe überein. Falls sie aber nicht kommutativ ist, dann kann es ein rechtsneutrales Element geben, das nicht linksneutral ist, oder ein linksneutrales Element, das nicht rechtsneutral ist.^[1]

Eine Halbgruppe $S$ mit neutralem Element heißt Monoid. Hat zusätzlich jedes Element in $S$ ein inverses Element in $S$ , so ist $S$ eine Gruppe.

Häufig wird für die Verknüpfung $*$ das Symbol $\cdot$ benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Halbgruppe. Ein neutrales Element heißt dann Einselement und wird durch $1$ symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt $\cdot$ weggelassen werden.

Eine Halbgruppe lässt sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung $*$ das Symbol $+$ benutzt wird. Ein neutrales Element heißt dann Nullelement und wird durch $0$ symbolisiert.

Beispiele

In den reellen Zahlen ist $0$ (Null) das neutrale Element der Addition und $1$ (Eins) das neutrale Element der Multiplikation, denn $0+x=x+0=x$ und $1\cdot x=x\cdot 1=x$ für jede reelle Zahl $x$ .
Im Ring der $n\times n$ -Matrizen über einem Körper ist die Nullmatrix das neutrale Element der Matrizenaddition und die Einheitsmatrix das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.
In einem Funktionenraum ist die Nullfunktion das neutrale Element der Addition und die Einsfunktion das neutrale Element der Multiplikation.
Bei Vektoren ist der Nullvektor das neutrale Element der Vektoraddition.
Bei Abbildungen ist die Identität das neutrale Element der Komposition (Hintereinanderausführung).
In einer formalen Sprache ist das leere Wort das neutrale Element der Konkatenation von Wörtern.

Eigenschaften

Wenn eine Halbgruppe $S$ sowohl rechtsneutrale als auch linksneutrale Elemente hat, dann stimmen alle diese Elemente überein und $S$ hat genau ein neutrales Element. Denn ist $a*e=a$ und $f*a=a$ für alle $a\in S$ , dann ist $f=f*e=e$ .
Das neutrale Element eines Monoids ist also eindeutig bestimmt.
Hat eine Halbgruppe aber kein rechtsneutrales Element, dann kann sie mehrere linksneutrale haben. Einfachstes Beispiel ist eine beliebige mindestens zweielementige Menge mit der Verknüpfung $a*b:=b$ . Darin ist jedes Element linksneutral, aber keins rechtsneutral. Analog gibt es auch Halbgruppen mit rechtsneutralen, aber ohne linksneutrale Elemente.
Dies kann auch bei der Multiplikation in Ringen auftreten. Ein Beispiel ist der Teilring