Ausgewogene Menge

Art von Teilmengen eines Vektorraumes aus der Funktionalanalysis

Eine ausgewogene Menge bezeichnet in der Funktionalanalysis eine Teilmenge eines Vektorraumes, die sich dadurch auszeichnet, dass zu jedem Element der Menge auch das negative dieses Elementes in der Menge enthalten ist und die gesamte Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Elementen. Bei vielen Autoren finden sich auch die Bezeichnungen kreisförmig (engl. circled), scheibenförmig oder balanciert (engl. balanced).

Verwendung finden ausgewogene Mengen zum Beispiel bei der Definition von lokalkonvexen Räumen, wo Ausgewogenheit eine Eigenschaft der definierenden Nullumgebungsbasis ist.

Definition

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Gegeben sei ein reeller oder komplexer Vektorraum  . Eine Menge   heißt eine ausgewogene Menge, wenn für alle Skalare   mit   und alle   immer auch   ist. Für alle   liegt die Strecke von   nach   also in  .

Eigenschaften

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Ist   ausgewogen und nicht leer, so muss   den Nullvektor enthalten, denn ist   in  , so ist  .

In einem topologischen Vektorraum enthält jede Umgebung der Null auch eine ausgewogene Nullumgebung. Ist nämlich   eine Nullumgebung, so gibt es wegen der Stetigkeit der Skalarmultiplikation ein   und eine Nullumgebung  , so dass   für alle   und alle   in  . Dann ist   eine in   enthaltene ausgewogene Nullumgebung.

In einem topologischen Vektorraum gibt es also stets eine Nullumgebungsbasis aus ausgewogenen Mengen. Hat man umgekehrt auf einem algebraischen Vektorraum ein System   von absorbierenden und ausgewogenen Mengen mit den Eigenschaften

  • Für alle   gilt  ,
  •   enthält mit je zwei Mengen auch deren Durchschnitt,
  • Für jedes   gibt es ein   mit  ,
  •  ,

so wird der Vektorraum mit   als Nullumgebungsbasis zu einem topologischen Vektorraum. Die Ausgewogenheit wird benötigt, um die Stetigkeit der skalaren Multiplikation zu zeigen.

Ausgewogene konvexe Mengen nennt man auch absolutkonvex. Sie spielen in der Theorie der lokalkonvexen Räume eine wichtige Rolle.

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Literatur

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  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8