Auslander-Reiten-Köcher

Der Auslander-Reiten-Köcher – benannt nach Maurice Auslander (1926–1994) und Idun Reiten (* 1942) – ist ein Translationsköcher, der zur kombinatorischen Beschreibung von abelschen Kategorien benutzt wird. Eingeführt wurde er ursprünglich, um die Kategorie der Darstellungen eines Köchers oder – allgemeiner – von Moduln über Artin-Algebren zu beschreiben.

Definition für die Kategorie der Darstellungen eines Köchers

Sei $k$ ein Körper und $Q$ ein azyklischer Köcher. Sei $C$ die Kategorie der Darstellungen des Köchers über dem Körper $k$. Dann sind die Punkte des Auslander-Reiten-Köchers $\Gamma _{C}$ die Isomorphieklassen der unzerlegbaren Darstellungen in $C$. Zwischen zwei Punkten $x$ und $y$ sind die Pfeile wie folgt definiert: Aus $x$ wähle einen Repräsentanten $X$ und aus $y$ einen Repräsentanten $Y$. Die Pfeile von $X$ nach $Y$ bilden eine Basis des Raumes der irreduziblen Abbildungen von $X$ nach $Y$. Die Translation $\tau$ ist eine Abbildung einer Teilmenge der Punkte in $\Gamma _{C}$ in die Menge der Punkte $\Gamma _{C}$. Für jeden Punkt $z$, dessen Elemente nicht projektiv sind, gibt es eine Auslander-Reiten-Folge (fast zerfallende, kurze exakte Folge) der Form $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ mit $Z\in z$. Dann ist $\tau (z)=x$.

Entsprechend gibt es auch für jeden Punkt $x$, dessen Elemente nicht injektiv sind, eine Auslander-Reiten-Folge der Form $0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$ mit $X\in x$.

Erläuterungen

Der Auslander-Reiten-Köcher liefert auf Grund des Satzes von Krull-Remak-Schmidt (jede nicht-triviale Darstellung eines Köchers ist die direkte Summe von unzerlegbaren Darstellungen) eine Beschreibung der Objekte in der Kategorie $C$.

Falls $C$ darstellungsendlich ist, lässt sich jede nicht-triviale Abbildung als Komposition endlich vieler irreduzibler Abbildungen zerlegen. Daher liefert in diesem Fall der Auslander-Reiten-Köcher auch eine Beschreibung der Morphismen.

Literatur

• M. Auslander, I. Reiten: Representation theory of artin algebras III. Almost split sequences, Comm. Algebra 3 (1975), 239–294
• M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalø: Representation theory of artin algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press (1994)
• Karsten Schmidt: Auslander-Reiten theory for simply connected differential graded algebras. Dissertation, Universität Paderborn 2007