Köcher (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet ein Köcher (englisch Quiver) einen gerichteten Graphen, d. h., ein Köcher $Q$ besteht aus einer Menge $Q_{0}$ von Punkten und einer Menge $Q_{1}$ von Pfeilen sowie zwei Abbildungen $s,t:Q_{1}\rightarrow Q_{0}$, die jedem Pfeil seinen Startpunkt (s für source) und seinen Zielpunkt (t für target) zuordnen.

Die Bezeichnung eines gerichteten Graphen als Köcher ist nur in der Darstellungstheorie üblich.

Darstellung eines Köchers

In der Darstellungstheorie besteht eine Darstellung eines Köchers $Q$ aus einer Familie $\left\{V(i):i\in Q_{0}\right\}$ von Vektorräumen und einer Familie $\left\{(V(a):V(i)\rightarrow V(j)):(a:i\rightarrow j)\in Q_{1}\right\}$ von Vektorraumhomomorphismen. Die Vektorräume sollen dabei solche über einem fest gewählten Körper sein.

Ein Morphismus, $f:V\rightarrow V'$ zwischen zwei Darstellungen eines Köchers $Q$ ist eine Familie linearer Abbildungen $\left\{f(i):V(i)\rightarrow V'(i):i\in Q_{0}\right\}$, so dass für jeden Pfeil $a\in Q_{1}$ von $i$ nach $j$ gilt: $V'(a)f(i)=f(j)V(a)$.

Mit Hilfe dieser Definitionen bilden die Darstellungen eines Köchers eine Kategorie. In dieser ist ein Morphismus $f=\left\{f(i):V(i)\rightarrow V'(i):i\in Q_{0}\right\}$ genau dann ein Isomorphismus, wenn $f(i)$ für jeden Punkt $i$ des Köchers invertierbar ist.

Beispiel

$V_{1}{\overset {f}{\longrightarrow }}V_{2}$

Darstellung eines Köchers mit zwei Vektorräumen $V_{1},V_{2}$ und einem Vektorraumhomomorphismus $f\colon V_{1}\to V_{2}$.

Eigenschaften

Mit $\left|Q\right|$ wird der dem Köcher $Q$ zugrunde liegende ungerichtete Graph bezeichnet (d. h. anschaulich einfach: man macht die Pfeile zu Kanten). Ein Köcher heißt zusammenhängend, wenn der zugrunde liegende ungerichtete Graph zusammenhängend ist.

Eine Darstellung eines Köchers heißt zerlegbar, wenn sie entweder trivial ist (d. h. nur aus Nullvektorräumen und Nullmorphismen besteht) oder wenn sie als direkte Summe zweier nicht-trivialer Unterdarstellungen geschrieben kann. Andernfalls heißt die Darstellung unzerlegbar.

Ein Köcher ist von endlichem Darstellungstyp, wenn er bis auf Isomorphie nur endlich viele unzerlegbare Darstellungen hat.

Satz von Gabriel

Ein zusammenhängender Köcher $Q$ ist genau dann von endlichem Darstellungstyp, wenn $\left|Q\right|$ ein Dynkin-Diagramm vom Typ $A_{n},D_{n},E_{6},E_{7}$ oder $E_{8}$ ist (Pierre Gabriel 1972).

Auslander-Reiten-Theorie

Zu einer endlich-dimensionalen $K$-Algebra über einem Körper $K$ kann ein sogenannter Auslander-Reiten-Köcher definiert werden, wobei die Punkte des Köchers die Isomorphieklassen unzerlegbarer Moduln der $K$-Algebra und die Pfeile sogenannte irreduzible Abbildungen zwischen den Moduln sind. Die Auslander-Reiten-Theorie führt damit schließlich Methoden der Homologietheorie in die Darstellungstheorie von Köchern ein.

Literatur

• Maurice Auslander, Idun Reiten, Smalo: Representation Theory of Artin Algebras. Cambridge University Press, 1995. ISBN 978-0521411349
• Ibrahim Assem et al.: Elements of representation theory of associative algebras. Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-58423-X
• Harm Derksen, Jerzy Weyman: An Introduction to Quiver Representations, Vol. 184, American Mathematical Society, 2017, ISBN 978-1-4704-2556-2.