Bandgraph

Eine Sorte von Elementen der Graphentheorie

Im mathematischen Gebiet der Graphentheorie bezeichnet man Graphen, bei denen jeder Knoten mit einer zyklischen Anordnung der ausgehenden Kanten versehen ist, als Bandgraphen.

In der Topologie sind Bandgraphen bei der Untersuchung der Topologie von Flächen von Nutzen.

Definition

Bearbeiten
 
Ein Bandgraph: die Pfeile deuten die zyklische Ordnung der Kanten an.

Für einen Graphen   bezeichne   die Menge der Knoten,   die Menge der Kanten und   die Menge der gerichteten Kanten, wobei

 .

Für jeden Knoten   bezeichnen wir mit

 

die Menge der von   ausgehenden gerichtete Kanten.

Definition: Ein Bandgraph ist ein Graph   zusammen mit einer zyklischen Anordnung der gerichteten Kanten aus   für jedes  .

Das heißt, für jedes   hat man eine Permutation

 ,

so dass für jedes   sein Orbit unter   ganz   ist:

 .

Äquivalent kann man fordern, dass es eine Permutation

 

gibt, deren Zykel genau zyklischen Anordnungen auf den Mengen   mit   entsprechen. Der Zusammenhang zwischen den beiden äquivalenten Definitionen ergibt sich durch die Gleichung

 .

Zugeordnete Flächen

Bearbeiten

Einem Bandgraphen kann man eine Fläche mit Rand zuordnen, indem man jeder Kante des Graphen ein Rechteck und jedem Knoten eine Kreisscheibe zuordnet und die Rechtecke entsprechend der gegebenen zyklischen Ordnung an die Kreisscheiben anklebt.

Man kann dem Bandgraphen auch eine geschlossene Fläche zuordnen, indem man die Randkomponenten der oben konstruierten Fläche jeweils mit einer Kreisscheibe verklebt.

Diese Konstruktion ermöglicht einen elementaren Beweis der Klassifikation der Flächen und sie ist von Nutzen bei der Untersuchung der Abbildungsklassengruppen von Flächen.

Bezeichne   die Kategorie der zusammenhängenden Bandgraphen, in denen jeder Knoten mit mindestens 3 Kanten adjazent ist, dann ist die geometrische Realisierung   schwach homotopieäquivalent zur disjunkten Vereinigung der klassifizierenden Räume der Abbildungsklassengruppen für alle Flächen:[1][2][3][4][5]

 .

Literatur

Bearbeiten
Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Kevin Costello: A dual point of view on the ribbon graph decomposition of moduli space.
  2. Maxim Kontsevich: Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function. Commun. Math. Phys. (1992), no. 147, S. 1–23.
  3. Kiyoshi Igusa: Higher Franz Reidemeister torsion. IP Studies in Advanced Mathematics, American Mathematical Society, 2002.
  4. K. Strebel: Quadratic Differentials Springer, Berlin 1984, MR86a:30072.
  5. R. C. Penner: The decorated Teichmüller space of punctured surfaces. Commun. Math. Phys. 113 (2) (1987) S. 299–339.