In der Mathematik werden mit Hilfe des klassifizierenden Raumes und des universellen Bündels einer topologischen Gruppe G die Prinzipalbündel mit G als Strukturgruppe klassifiziert. Der klassifizierende Raum und das universelle Bündel sind durch eine universelle Eigenschaft charakterisiert, eine explizite Konstruktion geht auf John Milnor zurück. Bündel und ihre Klassifikation spielen eine wichtige Rolle in Mathematik und Theoretischer Physik.

Universelles Bündel

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Ein  -Hauptfaserbündel   heißt universelles Bündel, wenn man alle (numerierbaren)  -Prinzipalbündel durch Zurückziehen des universellen Bündels gewinnen kann; formal: wenn es die folgende universelle Eigenschaft für numerierbare G-Prinzipalbündel[1] hat:

  • Für jedes numerierbare  -Prinzipalbündel   gibt es eine stetige Abbildung   so dass die Bündel   und   isomorph sind.
  • Für zwei Abbildungen   sind die Bündel   genau dann isomorph, wenn   homotop sind.

Man hat also eine Bijektion

 ,

wobei   die Homotopieklassen von Abbildungen   bezeichnet.

Die Basis eines universellen  -Bündels heißt klassifizierender Raum   der topologischen Gruppe  . Mittels allgemeinen Unsinns kann man leicht zeigen, dass   (wenn ein universelles Bündel existiert) bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt ist. Die folgende, auf Milnor zurückgehende Konstruktion beweist auch die Existenz des klassifizierenden Raumes.

Milnor-Konstruktion

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Der unendliche Verbund   abzählbar vieler Kopien der topologischen Gruppe   wird als Milnor-Raum bezeichnet. Die Elemente sind von der Form   mit   und nur endlich viele  . (Man beachte   auch für  .)

Die Gruppe   wirkt auf dem Milnor-Raum   durch  . Der Quotient   ist der klassifizierende Raum der Gruppe  , das Prinzipalbündel

 

ist das universelle Bündel.

Für verschiedene Lie-Gruppen, zum Beispiel   und   gibt es einfachere Realisierungen des klassifizierenden Raumes durch Graßmann-Mannigfaltigkeiten, siehe unten.

Allgemein gibt jede freie Wirkung von   auf einem zusammenziehbaren Raum   einen Quotienten  , der ein klassifizierender Raum   (und damit insbesondere zu obiger Konstruktion homotopieäquivalent) ist. Die Quotientenabbildung   ist dann ein universelles  -Prinzipalbündel.

Topologie des klassifizierenden Raumes

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  ist zusammenziehbar. Für die Homotopiegruppen von   gilt

 .

Insbesondere gilt für mit der diskreten Topologie versehene Gruppen  :

 
  für  .

Der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe ist also ein Eilenberg-MacLane-Raum.

Wenn   eine Homotopieäquivalenz ist, dann ist auch   eine Homotopieäquivalenz. Insbesondere ist   homotopieäquivalent zu  .

Beispiele klassifizierender Räume

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Die folgende Liste gibt Beispiele klassifizierender Räume   mit zugehörigem Totalraum (des universellen Bündels)  . Man beachte, dass für topologische Gruppen i.a.   nicht mit   (dem klassifizierenden Raum für dieselbe Gruppe mit der diskreten Topologie) übereinstimmt.

  •   mit Totalraum   (Insbesondere  )
  •   mit Totalraum  
  •   mit Totalraum  
  •   mit Totalraum   (unendlicher Baum vom Grad 4)
  •   mit Totalraum  
  •   mit Totalraum  
  •   mit Totalraum   (hyperbolische Ebene)
  •  

Vektorbündel

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Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang   hat man das Rahmenbündel als  -Bündel über derselben Basis. Insbesondere ist  , und wegen der Homotopieäquivalenz   auch  , ein klassifizierender Raum für reelle Vektorbündel vom Rang  . Entsprechend ist   ein klassifizierender Raum für komplexe Vektorbündel vom Rang  .

Die Graßmann-Mannigfaltigkeiten   für   bzw.   sind explizite Realisierungen der klassifizierenden Räume   bzw.  .

Analog können orientierte Vektorbündel vom Rang   durch das universelle Bündel über  , der Graßmann-Mannigfaltigkeit der orientierten Untervektorräume klassifiziert werden.

Charakteristische Klassen

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Kohomologieklassen eines klassifizierenden Raumes dienen zur Definition charakteristischer Klassen.

Zum Beispiel erhält man charakteristische Klassen orientierter Vektorbündel vom Rang   aus der Kohomologie von  . Für einen Körper F mit   gilt

 
 ,

wobei   die Euler-Klasse und   die Pontrjagin-Klassen bezeichnet. Für   ist

 ,

wobei   die Stiefel-Whitney-Klassen bezeichnet.

Siehe auch

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Literatur

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  • John Milnor: Construction of universal bundles. Teil I In: Ann. of Math. (2) 63 (1956), S. 272–284. pdf; Teil II In: Ann. of Math. (2) 63 (1956), S. 430–436. pdf
  • Dale Husemoller: Fibre bundles. McGraw-Hill Book Co., New York/ London/ Sydney 1966, OCLC 909937420.
  • Tammo tom Dieck: Topologie. (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012463-7.
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Einzelnachweise

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  1. Eine offene Überdeckung   eines topologischen Raumes heißt numerierbar, wenn es eine lokal endliche Zerlegung der Eins   mit   gibt. Ein Prinzipalbündel heißt numerierbar, wenn es eine numerable Überdeckung gibt, so dass die Einschränkungen des Bündels auf die   trivialisierbar sind. Vgl. Husemoller, op.cit., Section I.4.9.