Der klassifizierende Raum der -ten orthogonalen Lie-Gruppe klassifiziert -Prinzipalbündel (auch -Hauptfaserbündel genannt). Das bedeutet, dass ein -Prinzipalbündel über einem parakompakten topologischen Raum eineindeutig einer Homotopieklasse einer stetigen Abbildung von diesem nach entspricht. ist selbst der Basisraum (eng. base space) eines -Prinzipalbündels, woraus sich die Notation ergibt.

Definition

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Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch  . Deren direkter Limes ist:[1]

 

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

 

überträgt sich die Gruppenstruktur auf  .

Grundlegender Zusammenhang

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Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum   der  -ten orthogonalen Lie-Gruppe   ist schwach zusammenziehbar[2] und verfügt über eine Gruppenwirkung von  , wobei der Orbitraum   genau   ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle  -Prinzipalbündel   mit Faser  , welches universelles  -Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes  -Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum   lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung   erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche  -Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion:[3][4][5]

 

Kleinster klassifizierender Raum

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Es ist  , wobei   der unendliche reelle projektive Raum ist und   die  -Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen   beziehungsweise  . Erstaunlicherweise ist die  -Sphäre   wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar und sogar zusammenziehbar,[6] obwohl keine der Sphären   (schwach) zusammenziehbar ist.

Kohomologie

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Für den Kohomologiering von   gilt:[7][8][9]

 

Unendlicher klassifizierender Raum

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Die kanonische Inklusionen   induzieren kanonische Inklusionen   auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

 
 

bezeichnet.   ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von  .

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Mitchell 01, Seite 14
  2. Krl. 2.13. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch).
  3. Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Thrm. 1.16 (cornell.edu [PDF]).
  4. Prop. 2.16. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch).
  5. stable unitary group. Abgerufen am 19. Februar 2024 (englisch).
  6. Hatcher 02, Aufgabe 16 auf Seite 19 (ohne Beweis)
  7. Milnor & Stasheff, Theorem 7.1 auf Seite 83
  8. Hatcher 02, Theorem 4D.4.
  9. Stiefel-Whitney class. Abgerufen am 18. Februar 2024 (englisch).