Der klassifizierende Raum der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe ist der Basisraum des universellen -Hauptfaserbündels . Das bedeutet, dass -Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in stehen. Die Bijektion ist durch das zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben.

Definition

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Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch  . Deren direkter Limes ist:[1]

 

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

 

überträgt sich die  -Wirkung auf  .

Kleinster klassifizierender Raum

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  • Es ist   die triviale Gruppe und daher   der triviale topologische Raum.
  • Es ist   und daher   der unendliche komplexe projektive Raum.

Klassifikation von Hauptfaserbündeln

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Für einen topologischen Raum   sei   die Menge der  -Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist   ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

 

bijektiv.[2]

Kohomologiering

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Der Kohomologiering von   mit Koeffizienten in   wird von den Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:[3][4]

 

Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik  .

Der Kohomologiering von   mit Koeffizienten im Körper   der rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:

 
 

Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik  .

Unendlicher klassifizierender Raum

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Die kanonische Inklusionen   induzieren kanonische Inklusionen  auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

 
 

bezeichnet.   ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von  .

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Milnor & Stasheff 74, Sektion 12.2 The Oriented Universal Bundle auf Seite 151
  2. universal principal bundle. In: 𝑛Lab. Abgerufen am 14. März 2024 (englisch).
  3. Milnor & Stasheff, Theorem 12.4.
  4. Hatcher 02, Example 4D.6.