Verbund (Topologie)

in der Mathematik eine Konstruktion aus der Topologie

In der Mathematik ist der Verbund (engl.: join) topologischer Räume eine auf John Milnor zurückgehende Konstruktion aus der Topologie.

Konstruktion

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Der Verbund zweier Intervalle (blau und grün) ist ein 3-dimensionales Polytop (grau).

Verbund zweier topologischer Räume

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Es seien   und   zwei topologische Räume. Ihr Verbund   wird wie folgt definiert. Die Elemente von   sind die Paare

  mit  ,

wobei   eine abkürzende Bezeichnung für das Paar   ist und für alle   und alle  

  und  

gesetzt wird. (Anschaulich werden also alle Punkte aus   mit allen Punkten aus   durch Strecken der Länge   verbunden.)

Die Topologie auf   ist per definitionem die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Koordinatenabbildungen

 
 

und

 
 

stetig sind.

Beispiele

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  • Der Verbund eines Raumes   mit einem Punkt ist der Kegel   über  .
  • Der Verbund eines Raumes   mit dem 2-elementigen Raum   ist die Einhängung   von  .
  • Der Verbund zweier Sphären   und   ist die  -dimensionale Sphäre  .
  • Der Verbund von   Kreisen   ist die  -dimensionale Sphäre  .
  • Für das kartesische Produkt   zweier CAT(0)-Räume   und deren geodätische Ränder gilt  .

Sphärischer Verbund

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Auf dem Verbund zweier metrischer Räume   und   kann man eine Metrik wie folgt definieren[1]: Der Abstand   ist diejenige Zahl im Intervall  , für die

 

gilt. Man beachte, dass die Einschränkungen dieser Metrik auf   und   nicht die ursprünglichen Metriken  , sondern   geben.

Der metrische Raum   heißt sphärischer Verbund der metrischen Räume   und  .

Verbund unendlich vieler topologischer Räume

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Es sei   eine Familie topologischer Räume. Die Elemente des Verbundes   sind die  -Tupel

  mit   fast alle  .

Zwei Tupel   und   definieren genau dann dasselbe Element, wenn gilt:

  • Für alle   ist  .
  • Für alle   gilt:  .

Die Topologie auf   ist die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Koordinatenabbildungen

 
 

und

 
 

stetig sind.

Beispiele

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Literatur

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  • Tammo tom Dieck: Topologie. de Gruyter Lehrbuch. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1991, ISBN 3-11-013187-0; 3-11-012463-7
  • Martin R. Bridson; André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9

Einzelnachweise

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  1. Berestovskiĭ, V. N.: Borsuk's problem on metrization of a polyhedron. (russisch) Dokl. Akad. Nauk SSSR 268 (1983), no. 2, 273–277.