Kronecker-Paarung

Begriff aus der algebraischen Topologie

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie definiert die Kronecker-Paarung eine Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.

Definition

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Es sei   ein topologischer Raum,   eine natürliche Zahl,   eine Homologieklasse und   eine Kohomologieklasse mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe  . Dann ist die Kronecker-Paarung von   und   durch

 

definiert, wobei   ein die Kohomologieklasse   repräsentierender Kozykel und   ein die Homologieklasse   repräsentierender Zykel ist.

Man kann zeigen, dass die Kronecker-Paarung wohldefiniert ist, dass also der Wert von   nicht von der Auswahl des die Kohomologieklasse repräsentierenden Kozykels   oder des die Homologieklasse repräsentierenden Zykels   abhängt.

Surjektivität

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Aus dem Universellen Koeffiziententheorem folgt, dass der durch die Kronecker-Paarung definierte Homomorphismus

 

ein Epimorphismus ist.

Literatur

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