Quaternionischer projektiver Raum

Konzept der Mathematik

Ein quaternionischer projektiver Raum ist in der Mathematik der projektive Raum eines quaternionischen Vektorraumes (definiert als Modul, da die Quaternionen nur einen Schiefkörper bilden), welcher sämtliche quaternionische Ursprungsgeraden (eindimensionale quaternionische Untervektorräume, also vierdimensionale reelle Untervektorräume) von diesem enthält. bezeichnet dabei den projektiven Raum von und wird -ter quaternionischer projektiver Raum genannt. Ein quaternionischer projektiver Raum ist ein Spezialfall einer Graßmann-Mannigfaltigkeit durch .

Konstruktion

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Auf dem quaternionischen Raum   ohne Ursprung ist die Relation  , wenn es einen quaterionischen Skalar   mit   gibt, eine Äquivalenzrelation.   ist der Faktorraum von   unter dieser Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse einer Koordinate   wird als   notiert. Dieser Raum ist eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit, was an der alternativen Definition durch die eindimensionalen Untervektorräume von  , also als Graßmann-Mannigfaltigkeit  , erkennbar ist. Dabei gilt:

 

Eine alternative Konstruktion ist die Einschränkung auf die Sphären   und   bei der Betrachtung dieser Äquivalenzrelation. Dadurch ergibt sich ein Faserbündel:[1][2]

 .

Niedrigdimensionale Beispiele

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  •   ist der einpunktige Raum.
  •   wird quaternionsiche projektive Linie genannt und ist homöomorph zur  -Sphäre  .[3] Die zusammen mit der Projektion   erzeugte Abbildung   zwischen Sphären ist die quaternionische Hopf-Faserung  .[4]
  •   wird quaternionsiche projektive Ebene genannt. Nach dem Arnold–Kuiper–Massey-Theorem ist der Quotientenraum unter Wirkung der ersten unitären Gruppe   die  -Sphäre:[5]
     

Eigenschaften

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  • Jede stetige Abbildung   mit   hat einen Fixpunkt (also   die Fixpunkteigenschaft für  ).[6]   hat jedoch nicht die Fixpunkteigenschaft, da die antipodale Abbildung   keinen Fixpunkt hat.

CW-Struktur

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Der quaternionische projektive Raum   ist ein CW-Komplex.   entsteht aus   durch Anklebung einer  -Zelle. Da   aus einer  -Zelle besteht, hat die CW-Struktur auf   daher eine Zelle in jeder geraden Dimension   mit  .[7]

Verbindung mit dem komplexen projektiven Raum

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Die komplexen projektiven Räume lassen sich mit den quaternionischen projektiven Räumen verbinden.   ist isomorph zu   als  -Vektorraum durch den  -Vektorraumisomorphismus:

 

Durch den Übergang auf die jeweiligen Äquivalenzklassen ihrer projektiven Räume ergibt sich eine stetige Abbildung:

 

Diese Abbildung ist wohldefiniert, denn für  , für die ein   mit   existiert (also   in  ), gilt   (also   in  ), da   ein  -Vektorraumisomorphismus ist. Es ergibt sich sogar ein Faserbündel:[8]

 

Für   ergibt sich dabei mit   der Spezialfall der Calabi–Penrose-Faserung (oder Twistor-Faserung):

 

Algebraische Topologie

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Homologie

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Die Homologiegruppen des quaternionischen projektiven Raumes   lassen sich über zelluläre Homologie aus dessen CW-Struktur berechnen und sind gegeben durch:[9]

 

Tautologisches Linienbündel

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Es gibt ein kanonisches (quaternionisches) Linienbündel über dem quaternionischen projektiven Raum  , da dessen Punkte per Konstruktion aus eindimensionalen (quaternionischen) Untervektorräumen bestehen, definiert durch:

 
 

Das ist ein Spezialfall des tautologischen Vektorbündels über Graßmann-Mannigfaltigkeiten.

Unendlicher quaternionischer projektiver Raum

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Die kanonische Inklusion   erzeugt eine wohldefinierte kanonische Inklusion  . Der direkte Limes dieser Kette an Inklusionen wird als

 

bezeichnet und unendlicher quaternionischer projektiver Raum genannt.

Die obigen Faserbündel   und   erzeugen durch direkten Limes jeweils Faserbündel   und  . Da die unendlich-dimensionale Sphäre   zusammenziehbar ist (also alle Homotopiegruppen verschwinden),[10] folgt aus der langen exakten Sequenz von Homotopiegruppen[11] für die des unendlichen quaternionischen projektiven Raumes  :

 

Da die Homotopiegruppen von Sphären für höhere Dimensionen ziemlich kompliziert sind, wird oft rationale Homotopietheorie benutzt:

 

Das tautologische Linienbündel lässt sich durch den direkten Limes   über die kanonischen Inklusionen   auf   fortsetzen und ist ein Spezialfall eines universellen Vektorbündels. Die Namensgebung kommt daher, dass sich jedes quaternionische Linienbündel als zurückgezogenes Vektorbündel aus diesem erhalten lässt, also für jedes quaternionische Linienbündel   mit   parakompakt (bis auf Homotopie) eine klassifizierende Abbildung   existiert, sodass  . Es gibt daher eine Isomorphie von Mengen:

 

  ist  , der klassifizierende Raum von  , der zweiten speziellen unitären Gruppe, und dadurch ebenso  , die Rationalisierung des vierten Eilenberg–MacLane-Raumes von   wie oben bereits gezeigt.

Der Kohomologiering des unendlichen projektiven quaternionischen Raumes   mit Koeffizienten in   ist gegeben durch:[12]

 

wobei   die zweite Chern-Klasse ist. Das folgt direkt aus dem allgemeineren Resultat:

 

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 378, Example 4.46. (englisch).
  2. Gregory L. Naber: Topology, Geometry and Gauge fields (= Texts in Applied Mathematics. Band 25). Springer, 2011, ISBN 978-1-4419-7254-5, Physical and Geometrical Motivation, S. 51, Exercise 1.2.4, doi:10.1007/978-1-4419-7254-5_0 (englisch, google.com – [1997]).
  3. projective space. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
  4. quaternionic Hopf fibration. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
  5. Arnold-Kuiper-Massey theorem. Abgerufen am 5. Februar 2024 (englisch).
  6. Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 180.
  7. cell structure of projective spaces. Abgerufen am 31. Januar 2024 (englisch).
  8. Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 392, Excercise 35 (englisch).
  9. Homology of quaternionic projective space. Abgerufen am 30. Januar 2024 (englisch).
  10. Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 19, Exercise 16.
  11. Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 376, Theorem 4.41.
  12. Allen Hatcher: Algebraic Topology. S. 222.