Quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeiten ein Forschungsgebiet der Differentialgeometrie.

Definition

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Eine zusammenhängende, orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension   ist eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn ihre Holonomiegruppe in   enthalten ist. Im Fall   verlangt man zusätzlich noch, dass es sich um eine selbstduale Einstein-Mannigfaltigkeit handelt.

Hierbei bezeichnet   die (kompakte) symplektische Gruppe und   wirkt auf   durch Linksmultiplikation von   und Rechtsmultiplikation (als Diagonalmatrizen) von  , wodurch   als Untergruppe von   aufgefasst wird.

Eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit heißt positiv bzw. negativ, wenn die Riemannsche Metrik vollständig ist und positive bzw. negative Skalarkrümmung hat.

Eigenschaften

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  • Eine quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit ist genau dann hyperkähler, wenn ihre Skalarkrümmung verschwindet.

Alle bekannten Beispiele positiver quaternionischer Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Wolf-Räume; Die LeBrun-Salamon-Vermutung besagt, dass alle positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeiten symmetrische Räume und damit (nach der Klassifikation symmetrischer Räume) insbesondere Wolf-Räume sind. (Für n=1 wurde die Vermutung von Hitchin und für n=2 von Poon-Salamon bewiesen.)

Twistorraum

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Zu jeder quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeit assoziiert man einen sogenannten „Twistorraum“ wie folgt.   wird von   zweifach überlagert und lokal lässt sich das  -Bündel zu einem  -Bündel heben. Die  -Wirkung auf   kann man dann benutzen, um lokal ein assoziiertes quaternionisches Linienbündel   zu definieren. Auch wenn dieses nicht global definiert sein muss, ist jedenfalls seine komplexe Projektivisierung global definiert und man erhält ein Bündel

 .

Der Raum   wird als Twistorraum der quaternionischen Kählermannigfaltigkeit   bezeichnet.

Beispiel: Der Twistorraum des quaternionischen projektiven Raumes   ist der komplexe projektive Raum   und das Bündel

 

ist die kanonische Projektionsabbildung.

Satz (LeBrun-Salamon): Der Twistorraum einer positiven quaternionischen Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine Fano-Kontaktmannigfaltigkeit, außerdem kompakt, einfach zusammenhängend, Kählersch und Einsteinsch.

Weiterhin ist eine positive quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit genau dann ein symmetrischer Raum, wenn ihr Twistorraum ein (unter biholomorphen Abbildungen) homogener Raum ist.

Literatur

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  • Salamon, Simon: Quaternionic Kähler manifolds. Invent. Math. 67 (1982), no. 1, 143–171.
  • Poon, Y. S.; Salamon, S. M.: Quaternionic Kähler 8-manifolds with positive scalar curvature. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 2, 363–378.
  • LeBrun, Claude; Salamon, Simon: Strong rigidity of positive quaternion-Kähler manifolds. Invent. Math. 118 (1994), no. 1, 109–132.
  • Salamon, Simon: Quaternionic Kähler Geometry. Proceedings of the University of Cambridge VI, 1999, 83–121.