Basisfolge

Basisfolgen werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis zur Untersuchung von Banachräumen herangezogen. Es handelt sich dabei um Folgen, die eine Schauderbasis in dem von ihnen erzeugten Unterraum sind. Nicht jeder separable Banachraum hat eine Schauderbasis, aber es gibt stets Basisfolgen.

Definition

Eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in einem Banachraum $X$ heißt eine Basisfolge, wenn $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Schauderbasis in $[(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]$ ist, das heißt in der abgeschlossenen, linearen Hülle der Elemente $x_{n}$. Die Basisfolge heißt normalisiert, wenn alle $x_{n}$ die Norm 1 haben.

Zwei Basisfolgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in Banachräumen $X$ bzw. $Y$ heißen äquivalent, wenn für jede Folge $(\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Skalaren die Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}$ genau dann in $X$ konvergiert, wenn $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}y_{n}$ in $Y$ konvergiert. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen Banachraum-Isomorphismus $T:[(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]\rightarrow [(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }]$ gibt mit $Tx_{n}=y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Zwei Basisfolgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in Banachräumen $X$ bzw. $Y$ heißen kongruent, falls es einen Banachraum-Isomorphismus $T:X\rightarrow Y$ gibt mit $Tx_{n}=y_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Offenbar sind kongruente Basisfolgen äquivalent, die Umkehrung dieser Aussage scheitert daran, dass man einen Banachraum-Isomorphismus $T:[(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]\rightarrow [(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }]$ im Allgemeinen nicht zu einem solchen von $X$ auf $Y$ fortsetzen kann.

Beispiele

• Jede Schauderbasis in einem Banachraum ist eine Basisfolge, zum Beispiel die kanonischen Basen in den Folgenräumen $\ell ^{p}$ oder das Haar-System in den Räumen L^p([0,1]), wobei $1\leq p<\infty$.
• Die Folge der Rademacherfunktionen ist in jedem Raum L^p([0,1]), $1\leq p<\infty$, eine Basisfolge, die äquivalent zur kanonischen Basis in $\ell ^{2}$ ist, wie sich leicht aus der Chintschin-Ungleichung ergibt.

Das Grinblum-Kriterium

Das nach dem russischen Mathematiker Maximilian Michailowitsch Grinblum benannte Grinblum-Kriterium entscheidet für eine vorgelegte Folge in einem Banachraum, ob es sich um eine Basisfolge handelt. Demnach ist $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann eine Basisfolge in $X$, wenn alle $x_{n}$ von 0 verschieden sind und es eine Konstante $K>0$ gibt mit

$\left\|\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}x_{k}\right\|\,\leq \,K\,\left\|\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}x_{k}\right\|$

für jede Folge $(\alpha _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ von Skalaren und natürlichen Zahlen $m,n$ mit $m\leq n$.

Das kleinste $K$, das obige Ungleichung für alle Skalare $\alpha _{k}$ und $m<n$ erfüllt, heißt Basiskonstante der Basisfolge. Das ist nichts anderes als die Basiskonstante der Schauderbasis $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ im Banachraum $[(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }]$.

Existenz von Basisfolgen

Das Auswahlprinzip von Bessaga-Pelczynski besagt, dass in einem unendlichdimensionalen Banachraum jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\|x_{n}\|=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$, die schwach gegen 0 konvergiert, eine Teilfolge enthält, die Basisfolge ist. Daraus folgt insbesondere

• Jeder unendlichdimensionale Banachraum enthält einen abgeschlossenen Unterraum, der eine Schauderbasis hat.

Es stellt sich sofort die Frage, ob jeder unendlichdimensionale Banachraum sogar einen abgeschlossenen Unterraum mit unbedingter Schauderbasis besitzt. Dieses Problem war lange offen, bis William Timothy Gowers und Bernard Maurey 1993 ein negatives Beispiel vorlegten.

Blockbasisfolgen

Es sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Schauderbasis eines Banachraums $X$. Eine Blockbasisfolge von $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Folge $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Vektoren $u_{n}\not =0$ mit

$u_{n}=\sum _{k=p_{n-1}+1}^{p_{n}}\alpha _{k}x_{k}$   wobei $0=p_{0}<p_{1}<p_{2}<\ldots ,\quad \alpha _{k}\in \mathbb {R}$.

Die $u_{n}$ entstehen demnach aus $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ durch Bildung von Blöcken, woher der Name Blockbasisfolge rührt. Zudem kann man zeigen, dass $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ tatsächlich eine Basisfolge ist, deren Konstante nicht größer als die Basiskonstante von $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist.

Dies ist eine wichtige Methode, aus gegebenen Basisfolgen durch Blockbildung neue zu gewinnen. Man kann zeigen, dass die aus den kanonischen Basen von $c_{0}$ oder $\ell ^{p}$ gebildeten normalisierten Blockbasisfolgen zur Ausgangsbasis äquivalent sind. Das führt zu bedeutenden Konsequenzen über die Struktur dieser Folgenräume.