Benutzer:Ahandrich/Vorbereitung

Gesucht sei eine Matrix, die den Vektor

${\rm {d}}X={\rm {d}}{\begin{pmatrix}x(a,b,c)\\y(a,b,c)\\z(a,b,c)\end{pmatrix}}$ aus dem Vektor

${\rm {d}}A={\rm {d}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

erzeugt. Da z.B. x von a, b, und c abhängig ist, ergibt sich für die erste Komponente von ${\rm {d}}X$

${\rm {d}}x(a,b,c)={\dfrac {\partial x}{\partial a}}{\rm {d}}a+{\dfrac {\partial x}{\partial b}}{\rm {d}}b+{\dfrac {\partial x}{\partial c}}{\rm {d}}c$

Verstanden als Drehsteckung und Verzerrung eines Vektors wird also eine Matrix $J_{F}$ (die sogenannte Jacobi-Matrix) verwendet:

${\rm {d}}X=J_{F}\cdot {\rm {d}}A$

beziehungsweise

${\rm {d}}X={\rm {d}}{\begin{pmatrix}x(a,b,c)\\y(a,b,c)\\z(a,b,c)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial a}}{\rm {d}}a+{\dfrac {\partial x}{\partial b}}{\rm {d}}b+{\dfrac {\partial x}{\partial c}}{\rm {d}}c\\[10pt]{\dfrac {\partial y}{\partial a}}{\rm {d}}a+{\dfrac {\partial y}{\partial b}}{\rm {d}}b+{\dfrac {\partial y}{\partial c}}{\rm {d}}c\\[10pt]{\dfrac {\partial z}{\partial a}}{\rm {d}}a+{\dfrac {\partial z}{\partial b}}{\rm {d}}b+{\dfrac {\partial z}{\partial c}}{\rm {d}}c\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial a}}&{\dfrac {\partial x}{\partial b}}&{\dfrac {\partial x}{\partial c}}\\[10pt]{\dfrac {\partial y}{\partial a}}&{\dfrac {\partial y}{\partial b}}&{\dfrac {\partial y}{\partial c}}\\[10pt]{\dfrac {\partial z}{\partial a}}&{\dfrac {\partial z}{\partial b}}&{\dfrac {\partial z}{\partial c}}\\\end{bmatrix}} _{J_{F}}\cdot {\rm {d}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$

Die Determinante einer Matrix hat die Eigenschaft, die relative Volumenänderung eines von (hier drei) linear unabhängigen Vektoren aufgespannten Spates zu quantifizieren. Das Vorzeichen der Determinante sagt aus, ob durch die Matrixmultiplikation auch die Händigkeit (z.B. von einem Rechtssystem in ein Linkssystem) verändert wird. Um allerdings nur die Volumenänderung zu beschreiben, genügt der Betrag der Determinante.

Der Vektor ${\rm {d}}X$ lässt sich als Linerkombination seiner Komponenten verstehen:

${\rm {d}}X={\rm {d}}{\begin{pmatrix}x(a,b,c)\\y(a,b,c)\\z(a,b,c)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\rm {d}}x(a,b,c)\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\{\rm {d}}y(a,b,c)\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\{\rm {d}}z(a,b,c)\end{pmatrix}}$

Beim Umgang mit kartesischen Koordinaten ergibt sich das Volumenelement aus dem Produkt der Seitenlängen

${\rm {d}}V={\rm {d}}x\cdot {\rm {d}}y\cdot {\rm {d}}z$

Die Umrechnung in die (z.B. krummlinigen) Koordinaten a, b und c kann also direkt mit dem Betrag der Jacobideterminante erfolgen:

${\rm {d}}x\cdot {\rm {d}}y\cdot {\rm {d}}z=\|J_{F}\|\cdot {\rm {d}}a\cdot {\rm {d}}b\cdot {\rm {d}}c$