Benutzer Diskussion:Ahandrich/Vorbereitung

Herleitung

Hallo Ahandrich,

von mir ein paar erste Bemerkungen zu deinem Entwurf:

1. Wenn x, y und z Funktionen von a, b und c sind, dann erzeugt die Jacobi-Matrix nicht aus dX den Vektor dA, sondern aus dem Vektor dA den Vektor dX.

2. Mathematiker tun sich schwer mit diesem Gebrauch von Differentialen. Die Vektoren, auf die die Jacobi-Matrix wirkt, heißen in der Mathematik nicht dA oder ähnlich, sondern $v$ oder ${\vec {v}}$ oder $h$ oder ${\vec {h}}$.

3. Den Schritt, der meiner Meinung nach der schwierigste ist, nämlich

${\rm {d}}x(a,b,c)={\dfrac {\partial x}{\partial a}}{\rm {d}}a+{\dfrac {\partial x}{\partial b}}{\rm {d}}b+{\dfrac {\partial x}{\partial c}}{\rm {d}}c$

setzt du schon voraus. Der nächste Schritt, das "Zusammensetzen" zu einem Vektor und das Auseinanderziehen zu einem Matrixprodukt, ist demgegenüber eher trivial.

4. Eine Kleinigkeit: Eine lineare Abbildung kann allgemeiner sein als eine Drehstreckung.

5. Beim Rest geht es, wenn ich das richtig verstehe, um eine heuristische Herleitung der Transformationsformel. Das ist eine wichtige, aber nicht die einzige Anwendung der Funktionaldeterminante.

Viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 19:52, 6. Okt. 2012 (CEST)

Hallo Digamma,

Vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort. Den Punkt 1 habe ich gleich umgesetzt, das sehe ich genauso. Ist Punkt 2 eher kosmetischer Natur? Mir ist hier besonders wichtig, dass der Vektor eben als :${\begin{pmatrix}{\rm {d}}x(a,b,c)\\{\rm {d}}y(a,b,c)\\{\rm {d}}z(a,b,c)\end{pmatrix}}$ verstanden wird.

Totales Differential im einfachen Fall

Der dritte Punkt fragt ja nach dem totalen Differential; das ist in der ersten Abbildung zum gleichnamigen Artikel gut visualisiert. Genau der mathematisch triviale Punkt der Produktdarstellung ist für mich der Kern zur Motivation. Wie könnte man anders die Struktur der Jakobi-Matrix aufzeigen? Ich will nicht einfach mit einer "Zaubermatrix" arbeiten, sondern ihren Aufbau irgendwie rechtfertigen können.

Zu 4. fehlt mir gerade die Expertise, ich arbeite mich gleich ein. Ich hätte aber gedacht, dass jede quadratische Matrix mit vollem Rang so zu verstehen ist. Andernfalls wäre ja auch die Determinante nicht berechenbar oder eben gleich Null. (Aber es sollen sich auch solche exotischen Beispiele konstruieren lassen).

zu 5. Sicherlich gibt es auch zahlreiche andere Verwendungen der Jacobi-Matrix, der Artikel zur Transformationsformel ist mir allerdings zu hoch. Es gibt soviele Leute, die damit arbeiten müssen, aber wenn ich was von Diffeomorphsimen höre (und kein Mathematiker bin), dann wirft mich das eher zurück.

Daher Punkt 6. Ja, es soll vornehmlich eine heuristische (für Ingenieure ausreichend einführende) Erklärung sein. Ich fände mehr heuristische Erklärungen in der WP grundsätzlich wünschenswert. Als ich neulich mit einem Mathematiker zu tun hatte und ihm ein Problem schilderte, sagte er nur lapidar: Ist doch alles nur L2. Toll. :-)

Herzliche Grüße, --Ahandrich (Diskussion) 14:05, 7. Okt. 2012 (CEST)

Du schreibst: „Mir ist hier besonders wichtig, dass der Vektor eben als

${\begin{pmatrix}{\rm {d}}x(a,b,c)\\{\rm {d}}y(a,b,c)\\{\rm {d}}z(a,b,c)\end{pmatrix}}$

verstanden wird.“

Was genau meinst du damit? Wie wird denn

${\begin{pmatrix}{\rm {d}}x(a,b,c)\\{\rm {d}}y(a,b,c)\\{\rm {d}}z(a,b,c)\end{pmatrix}}$

verstanden? --Digamma (Diskussion) 20:23, 7. Okt. 2012 (CEST)

Ergänzung: Zu 4.: Drehungen und Streckungen bilden Quader auf Quader ab. Eine lineare Abbildung kann einen Quader aber auch zu einem Spat verzerren. Auch in diesem Fall hat die Matrix vollen Rang. --Digamma (Diskussion) 20:33, 7. Okt. 2012 (CEST)

Sobald eine Funktion von mehreren Variablen abhängt (z.B. x(a,b,c)) ist dx als das totale Differential auszuführen. Und im (erstmal willkürlich eingeführten) Vektor dX, oder wie auch immer man ihn lieber nennen mag (das meinte ich mit Kosmetik), stehen drei dieser totalen Differentiale übereinander. Das rechtfertigt auch schonmal die Matrix-Darstellung. Ohne den Vektor komme ich gar nicht erst auf eine Matrix, bzw. auf deren Bedeutung. Ich verstehe den Vektor auch als die im Artikel genannte Linearkombination. Im Grunde geht es mir dann um die relative Volumenänderung des Spates aus (dx,0,0),(0,dy,0) und (0,0,dz) zu (da,0,0),(0,db,0) und (0,0,dz), welche durch die Determinante der "Transformationsmatrix" quantifiziert wird.

Ahandrich (Diskussion) 21:20, 7. Okt. 2012 (CEST)

Sorry, ich habe die Frage falsch gestellt. Mir ging es eher um den ursprünglichen Vektor

$\mathrm {d} A={\begin{pmatrix}\mathrm {d} a\\\mathrm {d} b\\\mathrm {d} c\end{pmatrix}}$.

Mein Punkt war weniger, dass Mathematiker die entsprechenden Vektoren anders bezeichnen, sondern dass sie unter $\mathrm {d} a$ etc. etwas anderes verstehen, nämlich nicht die Komponente eines Vektors, sondern eine Funktion, die einem Vektor die entsprechende Koordinate zuordnet. Das wird im Artikel totales Differential erklärt. --Digamma (Diskussion) 06:58, 8. Okt. 2012 (CEST)

Hm, erstmal habe ich das mit der linearen Abbildung als "Drehstreckung und Verzerrung" korrigiert. Ich vermute, du meinst, dass ein totales Differential als Vektor verstehbar ist. Ich hatte das bisher nicht so aufgefasst, sondern einfach nur als Summe von Termen. Kannst du bitte ausführen was du genau meinst? Ahandrich (Diskussion) 11:00, 8. Okt. 2012 (CEST)