Benutzer:Ahandrich/Vorbereitung/Exponentialfunktion

Warum gilt ${\frac {{\rm {d}}(e^{x})}{{\rm {d}}x}}=e^{x}$ ?

Es sei bekannt, dass:

$\int {x^{n}}{dx}={\frac {1}{n+1}}x^{n+1},x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} _{0}$

wird die Integration mehrfach hintereinander ausgeführt (und alle enstehenden Integrationskonstanten gleich Null gesetzt), ergibt sich:

$\int {1}{dx}={\frac {x^{1}}{1!}},\int {\frac {x^{1}}{1!}}{dx}={\frac {x^{2}}{2!}},\int {\frac {x^{2}}{2!}}{dx}={\frac {x^{3}}{3!}}...\int {\frac {x^{n}}{n!}}{dx}={\frac {x^{n+1}}{n!\cdot (n+1)}}={\frac {x^{n+1}}{(n+1)!}}$

für (m-1)-fache Integration ergibt sich:

$\iint ...\int {1}{(dx)^{m-1}}={\frac {x^{m}}{m!}},m\in \mathbb {N}$

Nullfache Integration bedeutet, dass der Integrand unverändert bleibt. Da die Fakultät sehr viel schneller wächst, als der Exponent, werden die hinteren Terme vernachlässigbar klein. Die endliche Summe der einzelnen Integrationen ist:

$s(x)=\sum _{m=0}^{M}{\frac {x^{m}}{m!}}$

Wenn man diese Summe nach x ableitet, rutschen alle Terme (Monome) um einen Schritt nach vorn:

${\frac {{\rm {d}}s(x)}{{\rm {d}}x}}=\sum _{m=0}^{M-1}{\frac {x^{m}}{m!}}$

Es gilt:

$\lim _{M\to \infty }\sum _{m=0}^{M-1}{\frac {x^{m}}{m!}}=\lim _{M\to \infty }\sum _{m=0}^{M}{\frac {x^{m}}{m!}}=:S(x)$

Dieses unendliche Polynom S(x) reproduziert sich selbst und wird niemals 0, wenn es abgeleitet wird. Aus den Ableitungsregeln folgt aber auch:

${\frac {{\rm {d}}(k\cdot S(x))}{{\rm {d}}x}}=k\cdot S(x),k\in R$

für den Fall k=1 hat S(x) folgende Eigenschaften:

• $S(0)=1$,
• $S(1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m!}}={\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}...:=e$,
• noch ist nicht erkennbar, dass $S(x)=e^{x}$ ist.

Man versuche:

${\displaystyle }$

${\frac {{\rm {d}}{\sqrt[{a}]{S(a\cdot x)}}}{{\rm {d}}x}}={\frac {1}{a}}\cdot (S(a\cdot x))^{{\frac {1}{a}}-1}\cdot S'(a\cdot x)={\frac {1}{a}}\cdot (S(a\cdot x))^{{\frac {1}{a}}-1}\cdot a\cdot S(a\cdot x)={\sqrt[{a}]{S(a\cdot x)}}$

${\frac {{\rm {d}}{(S(1/b\cdot x)^{b})}}{{\rm {d}}x}}=b\cdot (S(1/b\cdot x))^{b-1}\cdot S'(1/b\cdot x)=b\cdot (S(1/b\cdot x))^{b-1}\cdot 1/b\cdot S(1/b\cdot x)={(S(b\cdot x))^{b}}$

Die auf die Potenz zugreifenden Wurzeln a und Exponenten b wirken, zusammen mit den Koeffizienten in der Funktion S(x) bei der Ableitung wie Konstanten. Daraus folgt, dass die a-te Wurzel die Kompensierende für a in S(ax) und die b-te Potenz die Kompensierende für b in S(1/b·x) ist. Diese Bedingung würde allerdings auch jedes Vielfache von S(x) erfüllen. Zusätzlich mit der Bedingung $S(1)=e$ müsste noch gezeigt werden:

$S(a)=e^{a},S(ax)=e^{ax}$

Zumindest den Vorschlag den Exponenten zu untersuchen, kann man so nachvollziehen.