Benutzer:Ahandrich/Vorbereitung/Skalarprodukt

Die Berechnung des Skalarproduktes aus der Summe der Komponentenprodukte erfolgt aus:

Kosinussatz:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos(\gamma )$

bzw. im n-dimensionalen Raum, mit $\gamma$ als Winkel zwischen den Vektoren, aus:

$|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2\,|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos(\gamma )$

Es folgt daraus:

${\begin{aligned}2\,|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos(\gamma )&=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-|{\vec {c}}|^{2}\\&=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}\\&=[a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}]+[b_{1}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}]-[(a_{1}-b_{1})^{2}+\ldots +(a_{n}-b_{n})^{2}]\\&=[\ldots ]+[\ldots ]-[a_{1}^{2}+b_{1}^{2}-2a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}^{2}+b_{n}^{2}-2a_{n}b_{n}]\\&=-[-2a_{1}b_{1}-\ldots -2a_{n}b_{n}]\\2\,|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos(\gamma )&=2a_{1}b_{1}+\ldots +2a_{n}b_{n}\end{aligned}}$