Benutzer:Ahandrich/Vorbereitung/Vierleiterschaltung

Messfehlerbetrachtung für die Zwei- und Vierleiterschaltung:

Untersuchungswiderstand (rot) und Leitungswiderstände in Stromkreis.

Zweileiterschaltung mit (realem) Voltmeter (endlicher Widerstand im Messgerät). Der Widerstand des Voltmeters ist in dieser Schaltung nicht ausschlaggebend, weil er parallel liegt. Allerdings ist der Messfehler groß. So werden 10 V gemessen, obwohl am Untersuchungwiderstand nur 8,333 V abfallen.

Zweileiterschaltung mit (idealem) Voltmeter (unendlicher Widerstand im Messgerät). Der Messfehler ist groß. So werden 10 V gemessen, obwohl am Untersuchungwiderstand nur 8,333 V abfallen.

Vierleiterschaltung mit (realem) Voltmeter (endlicher Widerstand im Messgerät). Der Widerstand des Voltmeters wirkt sich auf die am Untersuchungswiderstand (rot) abfallende Spannung aus. Der gemessene und der tatsächliche Wert unterscheiden sich (geringfügig).

Vierleiterschaltung mit (idealem) Voltmeter (unendlicher Widerstand im Messgerät). Der gemessene und der tatsächliche Wert unterscheiden sich nicht.

Ausschnitt aus der Vierleiterschaltung mit (realem) Voltmeter (endlicher Widerstand im Messgerät). Der Widerstand des Voltmeters wirkt sich auf die am Untersuchungswiderstand (rot) abfallende Spannung aus. Der gemessene und der tatsächliche Wert unterscheiden sich (geringfügig).

Typische Werte für die genannten Widerstände sind:

${\begin{aligned}R_{Ltg}&=1\,\Omega \cdots 10\,\Omega \\R_{t}&=100\,\Omega \cdots 1000\,\Omega \\R_{Mess}&=10\,M\Omega \cdots 100\,M\Omega \\U_{Versorgung}&=10\,V\\\end{aligned}}$

Der Messfehler steigt mit wachsendem Leitungswiderstand, mit kleinerem Messwiderstand und kleinerem Untersuchungswiderstand $R_{t}$. Besonders deutlich werden die Messfehler also bei den Werten:

${\begin{aligned}R_{Ltg}&=10\,\Omega \\R_{t}&=100\,\Omega \\R_{Mess}&=10\,M\Omega \\U_{Versorgung}&=10\,V\\\end{aligned}}$

Zweileitermessung: Gemessen wird nicht die Spannung über dem Widerstand R_t , sondern über der Summe der Widerstände bzw. an der Stromquelle.

Vierleitermessung: Gemessen wird die Spannung über dem Widerstand R_t alleine.

An den Kontaktstellen der Spannungsquelle liegen noch die 10 Volt Versorgungsspannung an. Bis zum eigentlichen Messwiderstand kommen aber, wegen der Leitungsverluste über $R_{Ltg}$ nicht die vollen 10 Volt an. Das Messgerät (Voltmeter) zeigt den Spannungswert an, der über seinem Messwiderstand $R_{Mess}$ abfällt. Je nach Verwendung einer Zwei- oder Vierleiterschaltung verfälschen Leitungswiderstand und Messwiderstand im Voltmeter das Ergebnis.

Es sei $R_{Ersatz}$ der Widerstand des Systems $R_{t},R_{Mess}$ inklusive der beiden Leitungen $R_{Ltg}$ zum Spannungsmessgerät. Er berechnet sich aus:

${\begin{aligned}R_{Ers}&=R_{t}||(R_{Mess}+2R_{Ltg})={\frac {R_{t}\cdot (R_{Mess}+2R_{Ltg})}{R_{t}+R_{Mess}+2R_{Ltg}}}={\frac {100\cdot (10\,M+2\cdot 10)}{100+10\,M+2\cdot 10}}\Omega =99,999\,\Omega \,(exakt)\\\end{aligned}}$

Die Spannung, die über dem Ersatzwiderstand abfällt berechnet sich aus:

$U_{Ers}=U_{Versorgung}-2\,U_{Ltg}$

Aus dem Spannungsteiler ergibt sich:

${\frac {U_{Ers}}{U_{Versorgung}}}={\frac {R_{Ers}}{R_{Ers}+2\,R_{Ltg}}}$ und damit

$U_{Ers}={\frac {R_{Ers}}{R_{Ers}+2\,R_{Ltg}}}\cdot U_{Versorgung}={\frac {99,999}{99,999+2\cdot 10}}\cdot 10\,V=8,3333194443287\,V\,(exakt)$

Von den 10 Volt Versorgungsspannung kommen also nur etwa 8,3333 Volt am Untersuchungswiderstand an. Wäre Das Voltmeter (mit seinem endlich großen Widerstand) nicht angeschlossen, betrüge die Spannung über dem Untersuchungswiderstand genau $8,{\overline {333}}\,V$. Das Spannungsmessgerät verfälscht also auch selbst in gewissem Ausmaß (etwa 1,67 ppm) die Messung.