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gawiki
Bearbeiten- w:ga:Dlí Dalton 33 P_i =\frac{P_{total}C_i}{1,000,000}
glwiki
Bearbeiten- w:gl:Relatividade especial 65 \begin{align} & \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7} \\ & \varepsilon _{0}=8,8542\cdot 10^{-12} \\ \end{align}
- w:gl:Relatividade especial 69 \mu _{0}\varepsilon _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\cdot 8,8542\cdot 10^{-12}\approx 11,1265\cdot 10^{-18}=\frac{1}{\left( 299,792\cdot 10^{6} \right)^{2}}\approx \frac{1}{c^{2}}
- w:gl:Son 75 \beta= 0,606\ \mbox{m/(s}^\circ\mbox{C)}
- w:gl:Terra 396 \begin{smallmatrix} \sqrt[3]{\frac{1}{3 \cdot 332,946}}= 0.01 \end{smallmatrix}
- w:gl:Raíz cadrada 18 \sqrt{2} = 1,4142...
- w:gl:Usuario:Stoni/Probas2 20 P(>20) = 1 - 0,3936 = 0.6064
- w:gl:Raios X 69 1,938 x 10^{-3}
- w:gl:Espazo-tempo 33 \gamma = \frac{1}{ \sqrt(1 - \frac{16^2}{300000^2}) } = \frac{1}{ 0,99999999857777777676 } = 1,00000000142222222526
- w:gl:Espazo-tempo 36 \frac{v}{c^2} = \frac{16}{300000^2} = 0,00000000017777777777
- w:gl:Lei de Titius-Bode 126 \log a =0,2417 \times n +5,0724
- w:gl:Lei de Titius-Bode 132 a =e^{0,55992 \times n +11,6796}
- w:gl:Lei de Titius-Bode 134 a =118137,8 \times (1,75053)^n
- w:gl:Lei de Titius-Bode 136 a =1,6524 \times (1,75053)^n
- w:gl:Lei de Titius-Bode 144 \log a =0,169036\times n +4,9432
- w:gl:Lei de Titius-Bode 147 a =87738 \times (1,47583)^n
- w:gl:Lei de Titius-Bode 150 a =3,5505524 \times (1,47583)^n
- w:gl:Lei de Titius-Bode 159 \log a =0,11564\times n +5,0305
- w:gl:Lei de Titius-Bode 163 a =107272,6 \times (1,30509)^n
- w:gl:Lei de Titius-Bode 166 a =1,79157 \times (1,30509)^n
- w:gl:Eneadecágono 22 A = \frac{19(l^2)}{4 \tan(\frac{\pi}{19})} = \frac{19}{4}l^2 \cot \frac{\pi}{19} \simeq 28,4652 l^2
- w:gl:Momento magnético 36 -0,966.236.45(24) \times 10^{-26}
- w:gl:Lámpada compacta fluorescente 55 ( 75\,\mathrm{W}) \times ( 8000\,\mathrm{h}) \times \left( \frac{0,063\; EU\!R}{1000\,\mathrm{W} \cdot \mathrm{h}} \right) = 37,80\; EU\!R
- w:gl:Lámpada compacta fluorescente 58 \left( 20\,\mathrm{W} \right) \times \left( 8000\,\mathrm{h} \right) \times \left( \frac{0,063\; EU\!R}{1000 \,\mathrm{W} \cdot \mathrm{h}} \right) = 10,08\; EU\!R
- w:gl:Neper 29 \frac{V_1}{V_2}= e=2,71828182846
- w:gl:Neper 32 1\text {Np} = 20 \log e \approx 8,686 \text {dB}
- w:gl:Núcleo atómico 36 \rho(r) = \frac{\rho_0}{1+\exp \left( \frac{r-R_n}{0,228 a} \right) }
- w:gl:Arma nuclear 74 {}^2\mathrm{H (D)} + {}^3\mathrm{H (T)} \rightarrow {}^4\mathrm{He} + \mathrm{n} + 17,588\ \mathrm{MeV}
- w:gl:Arma nuclear 75 \mathrm{D + D \rightarrow {}^3He + n + 3,268\ MeV}
- w:gl:Fórmula de Stirling 55 {e}^{\frac{1}{12 \; 29 + 1}} = 1,002869438...
- w:gl:Fórmula de Stirling 56 {e}^{\frac{1}{12 \; 29}} = 1,002877696...
- w:gl:Fórmula de Stirling 57 29! = \sqrt{2 \pi 29} \; \left(\frac{29}{e}\right)^{29} 1,002877577...
- w:gl:Atmosfera 174 \rho_0 = \frac {28,96}{22,4} \cdot \frac {g}{litro}= 1,293 \frac {g}{litro}=1,293 \cdot \frac {kg}{m^3}
- w:gl:Atmosfera 178 \rho=1,293 \cdot P \frac {g}{litro}
- w:gl:Atmosfera 197 R=8,314 \cdot \frac {xullos}{K \cdot kmol}
- w:gl:Atmosfera 199 1 atmosfera=1,013 \cdot 10^5 \cdot \frac {N}{m^2}
- w:gl:Atmosfera 267 1-\frac {1}{e}=0,632= 63,2%
- w:gl:Efecto Doppler 83 \ f' = 494,353 Hz
- w:gl:Número áureo 19 \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988749894848204586834365638...
- w:gl:Número áureo 63 x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1,61803
- w:gl:Número áureo 65 x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi} \approx -0,61803
- w:gl:Número áureo 231 \textstyle \frac{21}{13}= 1,61538461...
- w:gl:Notación posicional 57 5,0333... = 5 \cdot 10^0 + 0 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^{-2} + 3 \cdot 10^{-3} + 3 \cdot 10^{-4} ...
- w:gl:Notación posicional 67 \mbox{5B2,E}_{(16)} = [5 \cdot 16^2 + 11 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 + 14 \cdot 16^{-1}]_{(10)} = [1280 + 176 + 2 + 0,875]_{(10)} = 1458,875_{(10)}
- w:gl:Âryabhata 36 \frac{1 582 237 500}{57 753 336} = 27,3964693572
- w:gl:Âryabhata 41 \pi = \frac{62832}{20000} = 3,1416
- w:gl:Âryabhata 41 |\pi-3,1416|\leq 0.0000075
- w:gl:Sonar 65 c = 1448,96 + 4,591T - 5,304\cdot10^{-2}T^2 + 2,374\cdot10^{-4.2}T^3 + 1,430(S-35) + 1,630\cdot10^{-2}D +
- w:gl:Sonar 67 1,675\cdot10^{-7}D^2 - 1,025\cdot10^{-2}T(S-35) - 7,139\cdot10^{-13}TD^3
- w:gl:Perda de carga 34 \ J = 0,000857 \cdot \left(1 + \frac {2 \gamma} {\sqrt D}\right)^2 \cdot \frac {q^2} {D^5}
- w:gl:Perda de carga 42 \ J = 0,0019 \cdot q^2 \cdot D^{-5,32}
- w:gl:Perda de carga 45 \ J = 0,0012 \cdot q^2 \cdot D^{-5,26}
- w:gl:Perda de carga 46 \ J = 0,0016 \cdot q^2 \cdot D^{-5,26}
- w:gl:Perda de carga 47 \ J = 0,0020 \cdot q^2 \cdot D^{-5,26}
- w:gl:Fórmula de Manning 61 \ V(h) = \frac{1,486} {n} * {\left ( \frac{A(h)} {P(h)}\right )}^{2/3} * S^{1/2}
- w:gl:Fórmula de Manning 63 \ Q(h) = \frac{1,486} {n} * \frac{{A(h)}^{5/3}} {{P(h)}^{2/3}} * S^{1/2}
- w:gl:Fórmula de Manning 78 V =\frac{1,486} {n} * R^{2/3} * S^{1/2}
- w:gl:Tempo de reverberación 25 TR = \frac{0,161 V}{Aa}
- w:gl:Tempo de reverberación 31 TR = \frac{0,161 V}{Aa + Vx}
- w:gl:Lei dos gases ideais 23 \rm 8,314472 \quad \frac{J}{K \cdot mol}
- w:gl:Lei dos gases ideais 25 \rm 0,08205746 \quad \frac{L \cdot atm}{K \cdot mol}
- w:gl:Lei dos gases ideais 27 \rm 8,205746 \cdot 10^{-5} \quad \frac{m^3 \cdot atm}{K \cdot mol}
- w:gl:Lei dos gases ideais 29 \rm 8,314472 \quad \frac{L \cdot kPa}{K \cdot mol}
- w:gl:Lei dos gases ideais 31 \rm 62,36367 \quad \frac{L \cdot mm Hg}{K \cdot mol}
- w:gl:Lei dos gases ideais 33 \rm 62,36367 \quad \frac{L \cdot Torr}{K \cdot mol}
- w:gl:Lei dos gases ideais 35 \rm 83,14472 \quad \frac{L \cdot mbar}{K \cdot mol}
- w:gl:Lei dos gases ideais 37 \rm 1,98721 \quad \frac{cal}{K \cdot mol}
- w:gl:Lei dos gases ideais 39 \rm 10,7316 \quad \frac{ft^3 \cdot psi}{^\circ R \cdot lbmol}
- w:gl:Resistencia eléctrica 259 \alpha = 0,00393\;
- w:gl:Jean Fouquet 77 \Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618\,
- w:gl:Separador decimal 62 \pi = 3,1416
- w:gl:Tamaño efectivo de poboación 58 = {0,1945 \over 6}
- w:gl:Tamaño efectivo de poboación 61 = 0,032416667
- w:gl:0,999... 15 0,\dot{9}
- w:gl:0,999... 15 0,(9 )\,\!
- w:gl:0,999... 15 0,\widehat{9}
- w:gl:0,999... 15 0,\bar{9}
- w:gl:0,999... 19 0,999...=1
- w:gl:Distribución de Poisson 90 \!P(5;8)= \frac{8^5e^{-8}}{5!}=0,092.
- w:gl:Lei de Hardy-Weinberg 223 = 0,954
- w:gl:Lei de Hardy-Weinberg 233 = 1 - 0,954
- w:gl:Lei de Hardy-Weinberg 236 = 0,046
- w:gl:Lei de Hardy-Weinberg 242 \mathrm{Esp}(AA) = p^2n = 0,954^2 \times 1612 = 1467,4
- w:gl:Lei de Hardy-Weinberg 247 \mathrm{Esp}(Aa) = 2pqn = 2 \times 0,954 \times 0,046 \times 1612 = 141,2
- w:gl:Lei de Hardy-Weinberg 252 \mathrm{Esp}(aa) = q^2n = 0,046^2 \times 1612 \leq 3,4
- w:gl:Lei de Hardy-Weinberg 266 = 0,001 + 0,073 + 0,756
- w:gl:Lei de Hardy-Weinberg 360 = 0,023.\,
- w:gl:Triángulo de Reuleaux 17 {1\over2}(\pi - \sqrt3)a^2 = 0,70477...\ a^2
- w:gl:Triángulo de Reuleaux 17 {\pi \over 4} a^2 = 0,78539...\ a^2
- w:gl:Sucesión de Fibonacci 17 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597\ldots \,
- w:gl:Algoritmo de Euclides 53 \mathrm{mcd}(2366,273)=\mathrm{mcd}(273,182)
- w:gl:Algoritmo de Euclides 55 \mathrm{mcd}(273,182)=\mathrm{mcd}(182,91)
- w:gl:Algoritmo de Euclides 59 \mathrm{mcd}(2366,273)=91
- w:gl:Algoritmo de Euclides 59 \mathrm{mcd}(2366,273)=\mathrm{mcd}(273,182)=\mathrm{mcd}(182,91)=\mathrm{mcd}(91,0)
- w:gl:Algoritmo de Euclides 59 \mathrm{mcd}(2366,273)=\mathrm{mcd}(91,0)
- w:gl:Función gamma 243 \begin{array}{lll}\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2,363 \\\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3,545 \\\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1,772 \\\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0,886 \\\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1,329 \\\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3,323 \\\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\\end{array}
- w:gl:Media (estatística) 38 \tfrac{34+27+45+55+22+34}{6}\ = \tfrac{217}{6}\approx 36,167
- w:gl:Media (estatística) 57 (34\cdot27\cdot45\cdot55\cdot22\cdot34)^{1/6} = 1699493400^{1/6} \approx 34,545
- w:gl:Media (estatística) 64 \frac{6}{\frac{1}{34}+\frac{1}{27}+\frac{1}{45} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22}+\frac{1}{34}}\approx 33,018
- w:gl:Tetraedro 92 R= \frac{ \sqrt{6} }{4} \cdot a \approx 0,6124 \cdot a
- w:gl:Tetraedro 94 r=\frac{ \sqrt{6} }{12} \cdot a \approx 0,2041 \cdot a
- w:gl:Tetraedro 96 \rho = \frac{ \sqrt{2} }{4} \cdot a \approx 0,3536 \cdot a
- w:gl:Tetraedro 101 H = \frac{\sqrt{6} }{3} \cdot a \approx 0,8165 \cdot a
- w:gl:Tetraedro 107 V=\frac{\sqrt{2}}{12} \cdot a^3 \approx 0,1179 \cdot a^3
- w:gl:Tetraedro 113 A=4 \cdot A_c=4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 =\sqrt{3} \cdot a^2 \approx 1,732 \cdot a^2
- w:gl:Tetraedro 124 \omega = \frac {A_c} {H^2} = \frac {\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2}{\left( \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot a \right)^2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}sr \approx 0,650\ \text{sr}
- w:gl:Metalicidade 111 X_\mathrm{Sol} = 0,7381
- w:gl:Metalicidade 113 Y_\mathrm{Sol} = 0,2485
- w:gl:Metalicidade 115 Z_\mathrm{Sol} = 0,0134
- w:gl:Raio de Schwarzschild 169 \frac{ 9,80665 \ \mathrm{m} / \mathrm{s}^2 }{ 8,870056 \ \mathrm{mm} } \left( \frac{6375416 \ \mathrm{m} }{299792458 \ \mathrm{m} / \mathrm{s} } \right)^2 = \left( 1105,59 \ \mathrm{s}^{-2} \right) \left( 0,0212661 \ \mathrm{s} \right)^2 = \frac{1}{2}.
- w:gl:Raio de Schwarzschild 196 \frac{1 \,\mathrm{AU}}{2953,25\,\mathrm m} \left( \frac{2 \pi \,\mathrm{AU}}{\mathrm{ano \,luz}} \right)^2 = \left(50 655 379,7 \right) \left(9,8714403 \times 10^{-9} \right)= \frac{1}{2}.
glwikibooks
Bearbeiten- b:gl:Termodinámica/Ecuación de estado dos gases/Ecuación de estado de Van der Waals 92 Z_c\;=\frac{P_cV_c}{nRT_c}\;=\;\frac{3}{8}\;=\;0,375
- b:gl:Termodinámica/Ecuación de estado dos gases/Outras ecuacións de estado 21 P_r\;=\;\frac{8T_r}{3V_r-1}-\frac{3}{T_rV_r^2}\qquad\qquad Z_c\;=\;\frac{3}{8}\;=\;0,375
- b:gl:Termodinámica/Ecuación de estado dos gases/Outras ecuacións de estado 29 P_r\;=\;\left(\frac{e^2\;T_r}{2V_r-1}\right) \;\; e^\frac{-2}{T_rV_r}\qquad Z_c\;=\;\frac{2}{e^2}\;=\;0,2706
guwiki
Bearbeiten- w:gu:પૃથ્વી 998 \begin{smallmatrix} \left ( \frac{1}{3 \cdot 332,946} \right )^{\frac{1}{3}} = 0.01 \end{smallmatrix}
- w:gu:વૈશ્વિક સ્થળનિર્ધારણ પ્રણાલી 356 \frac {(0.01*300,000,000 \ m/sec)} {(10.23*10^6/sec)}
hewiki
Bearbeiten- w:he:פאי 63 \pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]
- w:he:RSA 150 \phi=\mbox{lcm}(5580,8058)=7493940
- w:he:RSA 152 \ \mbox{gcd}(7493940,257)=1
- w:he:זיכרון גישה אקראית 55 \ 4,294,967,296=2^{32}
- w:he:מחלק משותף מקסימלי 33 \ \mbox{gcd}(495,525)=\mbox{gcd}(3^2\cdot 5\cdot 11,3\cdot 5^2\cdot 7)=3\cdot 5=15
- w:he:פירוק לגורמים של מספר שלם 52 \ 75,168,263,360,459,560,...
- w:he:פירוק לגורמים של מספר שלם 58 \ 75=3\cdot5^2,168=2^3\cdot3\cdot7,360=2^3\cdot3^2\cdot5
- w:he:פירוק לגורמים של מספר שלם 62 \ (1416-311,2041)
- w:he:בסיס (אריתמטיקה) 21 \!\,1\times 10^3+0\times 10^2+3\times 10^1+5\times 10^0+4\times 10^{-1}+3\times 10^{-2} = 1,035.43
- w:he:בסיס (אריתמטיקה) 25 \!\,1\times 7^3+0\times 7^2+3\times 7^1+5\times 7^0+4\times 7^{-1}+3\times 7^{-2} = 1,035.43_7
- w:he:לחץ אטמוספירי 15 \ 1_{atm}=760_{mmHg}=1.013_{bar}=101,325_{Pa}
- w:he:לחץ אטמוספירי 23 100,000Pa
- w:he:לחץ אטמוספירי 27 101,325Pa=101,325 {N \over m^2}
- w:he:לחץ אטמוספירי 29 101,325Pa
- w:he:סדרת פיבונאצ'י 15 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...
- w:he:פונקציה מעריכית 16 \ f(4)=16, f(10)=1,024
- w:he:פונקציה מעריכית 17 \ f(2)=100, f(6)=1,000,000
- w:he:ריבית 48 1,180 = 1,000 \cdot (1 + 3 \cdot 0.06)
- w:he:ריבית 49 \frac{K*%*T}{100*(1,12,365)}
- w:he:ריבית 61 1,191.02 = 1,000 \cdot (1 + 0.06)^3
- w:he:ריבית 72 1196.68 = 1,000 \cdot \left(1 + \frac {0.06} {12}\right)^{12 \cdot 3}
- w:he:ריבית 90 \ 20% = 100 \cdot \frac{2,000}{10,000}
- w:he:ריבית 93 \ 20% = 100 \cdot \frac{2,000}{10,000}
- w:he:מגדלי האנוי 68 \ 2^{64}-1=18,446,744,073,709,551,615
- w:he:קובייה הונגרית 53 \ \frac{1}{2}3^{8-1}8!\cdot 2^{12-1}12! = 43,252,003,274,489,856,000
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 131 \color{green}{\mathbf{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}}
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 137 \color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 143 \color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 149 \color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 155 \color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 161 \color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 167 \color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 174 \color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}
- w:he:הגרסה החלשה של השערת גולדבך 180 \color{green}{e^{e^{16.038}}\approx 8\cdot 10^{4,008,659}}
- w:he:חלוקת סוד 84 u= \{ 267,687,250,1009,616 \}
- w:he:חלוקת סוד 84 p= \{991,1049,1249,1423,1553 \}
- w:he:חלוקת סוד 86 x \equiv 687 \ (\mbox{mod} \ 1,049)
- w:he:חלוקת סוד 87 x \equiv 250 \ (\mbox{mod} \ 1,249)
- w:he:חלוקת סוד 88 x \equiv 616 \ (\mbox{mod} \ 1,553)
- w:he:חלוקת סוד 91 x=2,538,218 \ (\mbox{mod}\ p' = 2,034,742,153)
- w:he:מספר מרסן 23 \ 2^{77,232,917}-1
- w:he:מספר מרסן 28 \ 2^{76,333,099}-1
- w:he:מספר מרסן 31 \ 2^{43,112,609}-1
- w:he:מספר מרסן 32 \ 2^{37,156,667}-1
- w:he:מספר מרסן 33 \ 2^{4,253}-1
- w:he:מספר מרסן 33 \ 2^{4,423}-1
- w:he:מספר מרסן 33 \ 2^{4,253}-1
- w:he:שיחה:מספר מרסן 21 \ 2^{25,964,951}-1
- w:he:שיחה:מספר מרסן 42 \ 2^{21,466,729 }-1
- w:he:שיחה:מספר מרסן 52 \ 2^{21,466,729 }-1
- w:he:מספר סמית 21 4,22,27,58,85,94,121,166,202,265,274,319,346,355,378,382,391,438,454,483,517,526,535,562,576,588,627,634,
- w:he:מספר סמית 21 636,645,648,654,663,666,690,706,728,729,762,778,825,852,861,895,913,915,922,958,985,1086...
- w:he:מספר סמית 30 (10^{3,914,241}-10^{1031})\times(1+10^{2,297}\times3+10^{4,594})^{1,476}
- w:he:מספר פרמה 23 \ F_5 = 2^{2^5}+1=4,294,967,297 = 641 \cdot 6,700,417
- w:he:מספר פרמה 24 \ F_6 = 2^{2^6}+1 = 18,446,744,073,709,551,617 = 274,177 \cdot 67,280,421,310,721
- w:he:13 (מספר) 32 13 \times 76923 = 999,999
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 47 10^3 \cdot 10^4 = 10^{3+4} = 10^7 = 10,000,000
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 51 {(10^2)}^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1,000,000
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 53 {(2 \cdot 5)}^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1,000
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 59 \ 2^{10} = 1,024
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 59 \ 1,000 = 10^3
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 190 \ {^{4}2}=2^{2^{2^2}}=65,536
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 195 \ ^33 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 281 \ 3^8 = 81^2 = 6,561
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 283 \ 3^{16} = 6,561^2 = 43,046,721
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 285 \ 3^{32} = 43,046,721^2 = 1,853,020,188,851,841
- w:he:חזקה (מתמטיקה) 289 \ 3^{37} = 3^{32+4+1} = 3^{32}\times3^4\times3^1 = 1,853,020,188,851,841\times81\times3 = 450,283,905,890,997,363
- w:he:הומאופתיה 281 \ \frac{c}{q} = \frac{\log_{10}{50,000}}{2} = 2.349485
- w:he:מילה (מחשב) 23 \ 4,294,967,296=2^{32}
- w:he:סודוקו 99 \ 9! \times 72^2 \times 2^7 \times 27,704,267,971
- w:he:פרוטוקול דיפי-הלמן 81 P=(920,303)
- w:he:פרוטוקול דיפי-הלמן 84 A=1194P=(2067,2178)\in E(\mathbb{F}_{3851})
- w:he:פרוטוקול דיפי-הלמן 86 B=1759P=(3684,3125)\in E(\mathbb{F}_{3851})
- w:he:פרוטוקול דיפי-הלמן 89 aB=1194\cdot (3684,3125)=(3347,1242)\in E(\mathbb{F}_{3851})
- w:he:פרוטוקול דיפי-הלמן 91 bA=1759\cdot (2067,2178)=(3347, 1242)\in E(\mathbb{F}_{3851})
- w:he:פרוטוקול דיפי-הלמן 92 K=(3347,1242)
- w:he:שיחה:קילוגרם 68 h=\frac{6.626\cdot10^{-34}}{{299,792,458}^2}c^2kg\cdot \frac{9,192,631,770}{f_{Cs}}
- w:he:פארסק 24 => 1 pc = \frac {1 [AU]}{\tan {1''}} = \frac {1 [AU]}{\tan {\left( \frac{1}{60\cdot60} \right) }} = 206,265 [AU] = 3.08568 \times 10^16 [m] =
- w:he:משוואת נרנסט 22 96,484_{\frac{Coloumb}{mol}}
- w:he:שיחה:חזקה (מתמטיקה) 158 \ 2^{10} = 1,024\approx 1,000 = 10^3
- w:he:שיחה:חזקה (מתמטיקה) 158 \ 2^{10} = 1,024
- w:he:שיחה:חזקה (מתמטיקה) 158 \ 1,000 = 10^3
- w:he:מדד הפיתוח האנושי 56 \frac{\ln(\textrm{GNIpc}) - \ln(163)}{\ln(108,211) - \ln(163)}
- w:he:מבחני התחלקות 77 \ 100= 99+1 =33 \cdot 3100,000= 99,999+1 =33,333 \cdot 3+ 1
- w:he:מבחני התחלקות 81 \ 7,581= 7 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 1 \cdot 1
- w:he:מבחני התחלקות 85 \ 7,581= 7 \cdot (3 \cdot 333+1) + 5 \cdot (3 \cdot 33+1) + 8 \cdot (3 \cdot 3+1) + 1 \cdot (0+1)
- w:he:מבחני התחלקות 89 \ 7,581 =3 \cdot (7 \cdot 333 + 5 \cdot 33 + 8 \cdot 3) + (7+5+8+1)
- w:he:מבחני התחלקות 91 \ 7,581
- w:he:מבחני התחלקות 93 \ 7,581
- w:he:מבחני התחלקות 93 7,581 = 3 \cdot 2527
- w:he:מבחני התחלקות 147 \ 1,000 = 8 \cdot 125
- w:he:מבחני התחלקות 149 2,064 = 2,000 + 64 = 2 \cdot 1,000 + 64
- w:he:מבחני התחלקות 153 2,064 = 2 \cdot (125 \cdot 8) + 64
- w:he:מבחני התחלקות 157 \ 2,064 = 258 \cdot 8
- w:he:מבחני התחלקות 171 \ 1,000= 999+1 =9 \cdot 111+ 1
- w:he:מבחני התחלקות 198 \ 1,000= 1001-1=11 \cdot 91 -1
- w:he:מבחני התחלקות 200 \ 10,000= 9,999+1 = 11 \cdot 909 +1
- w:he:מבחני התחלקות 202 \ 100,000= 100,001-1=11 \cdot 9091 -1
- w:he:מבחני התחלקות 204 \ 1,000,000= 999,999+1=11 \cdot 90,909 +1
- w:he:מבחני התחלקות 206 \ 10,000,000= 10,000,001 -1 =11 \cdot 909,091 -1
- w:he:מפעל הפיס 386 (10/1,000*271/1,000+270/1,000*271/1,000+720/1,000*273/1,000=0.27244)
- w:he:מפעל הפיס 389 (10/1,000*0.478+270/1,000*0.526+720/1,000*0.6=0.5788)
- w:he:שיחה:ברכת החמה 19 \left(1500\times (11+\frac{49}{60}) = 17,725\ sec \approx 12.3\ days\right)
- w:he:שיחה:שנייה 32 1 \over 9,192,631,770
- w:he:שיחה:שמות מספרים 161 \ ^{{5}+1}1,000
- w:he:שיחה:שמות מספרים 161 \ {}^{0.{3}}1,000,000
- w:he:ערך נוכחי 56 \ 90,073.45=1,000 \cdot \left(\frac{1-\frac{1}{1.005^{120}}}{0.005}\right)
- w:he:אזימוט 27 (276909,655437)
- w:he:אזימוט 67 (100,170)
- w:he:אזימוט 67 (150,120)
- w:he:אזימוט 75 (100,170)
- w:he:אזימוט 78 (150,120)
- w:he:שיחה:פולימר 74 20,800
- w:he:שיחה:פולימר 82 20,800\div104=200
- w:he:שיחה:פולימר 86 r=n\times l = 200 \times 400 = 8,000
- w:he:שיחה:פולימר 88 r=\sqrt{n}\times l = \sqrt{200} \times 400 = 5,656.85
- w:he:מגנוס הירשפלד 77 \ 3^{16}=43,046,721
- w:he:מספר ראשוני 78 \ 2^{77,232,917}-1
- w:he:מספר ראשוני 78 \ 2^{74,207,281}-1
- w:he:שיחה:מים 55 4,186\tfrac{\mbox{J}}{\mbox{Kg}^\circ\mbox{C}}
- w:he:מספר ריינולדס 39 \mbox{Re} = <nowiki>{{</nowiki>Qd} \over {\nu}A} \approx 4,246
- w:he:באג הפנטיום 18 \frac{4,195,835}{3,145,727}
- w:he:יחידות פלאנק 33 \,299,792,458\,\frac{m}{s}
- w:he:יחידות פלאנק 48 \,8,987,551,788\,\frac{kg\,m^3}{C^2\,s^2}
- w:he:Digital Signature Algorithm 86 \ \{4723,787,3045,4583\}
- w:he:חור שחור זעיר 25 \,1/10,000
- w:he:סימון אסימפטוטי 82 \ n=1,000,000
- w:he:עצמות נפייר 51 485\frac{16,364}{96,431}
- w:he:ממוצע משוקלל 40 \ \frac{2\times9000+3.5\times5000+2.5\times6000}{9000+5000+6000}=\frac{50,500}{20,000}=2.525
- w:he:נפה ריבועית 121 \begin{matrix}3,651,921 &=& 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^4 \cdot 11^0 \cdot 13^2 \cdot 17^0 &= & v(0,2,0,4,0,2,0) & \equiv & v(0,0,0,0,0,0,0) (mod 2)\\11,662 & = & 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^3 \cdot 11^0 \cdot 13^0 \cdot 17^1 &= & v(1,0,0,3,0,0,1) & \equiv & v(1,0,0,1,0,0,1) (mod 2)\\1,071 & = & \cdot 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \cdot 11^0 \cdot 13^0 \cdot 17^1 &= & v(0,2,0,1,0,0,1) & \equiv & v(0,0,0,1,0,0,1) (mod 2)\end{matrix}
- w:he:פאוורבול 159 \ E[X] = $3/68.96 + $4/126.88 +...+ $200,000/3,563,608.83 = 0.197115144
- w:he:הצפנת רבין 58 \ (211,227)
- w:he:שמות מספרים 97 \ 1,000,000^{0.0}
- w:he:שמות מספרים 102 \ 1,000,000^{0.5}
- w:he:שמות מספרים 107 \ 1,000,000^{{\mathbf 1}.0}
- w:he:שמות מספרים 112 \ 1,000,000^{{\mathbf 1}.5}
- w:he:שמות מספרים 117 \ 1,000,000^{{\mathbf 2}.0}
- w:he:שמות מספרים 122 \ 1,000,000^{{\mathbf 2}.5}
- w:he:שמות מספרים 127 \ 1,000,000^{{\mathbf 3}.0}
- w:he:שמות מספרים 132 \ 1,000,000^{{\mathbf 3}.5}
- w:he:שמות מספרים 139 \ 1,000,000^{{\mathbf 4}.0}
- w:he:שמות מספרים 146 \ 1,000,000^{{\mathbf 4}.5}
- w:he:שמות מספרים 153 \ 1,000,000^{{\mathbf 5}.0}
- w:he:שמות מספרים 160 \ 1,000,000^{{\mathbf 5}.5}
- w:he:שמות מספרים 167 \ 1,000,000^{{\mathbf 6}.0}
- w:he:שיחה:אנרגיה קינטית 37 \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \cdot 80 \cdot 18^2 = 12,960 \ \mathrm{joules}
- w:he:משתמש:ספקן/נוסחאות 28 x=1*299,792,458^2
- w:he:משתמש:ספקן/נוסחאות 30 x=89,875,517,873,681,764
- w:he:חתימה דיגיטלית רבין 42 \ (199,223)
- w:he:הצפנת בלום-גולדווסר 57 \ (643,859,171,-128)
- w:he:מספר שמח 54 \ 2^{42,643,801}-1
- w:he:ויקיפדיה:כיכר העיר/ארכיון 5 98 \ 2^{16} = 65,536
- w:he:ויקיפדיה:פרלמנט/ארכיון 37 87 \ 1,000,000^{0.0}
- w:he:ויקיפדיה:פרלמנט/ארכיון 37 92 \ 1,000,000^{0.5}
- w:he:ויקיפדיה:פרלמנט/ארכיון 37 97 \ 1,000,000^{{\mathbf 1}.0}
- w:he:ויקיפדיה:פרלמנט/ארכיון 37 102 \ 1,000,000^{{\mathbf 1}.5}
- w:he:ויקיפדיה:פרלמנט/ארכיון 37 107 \ 1,000,000^{{\mathbf 2}.0}
- w:he:ויקיפדיה:פרלמנט/ארכיון 37 112 \ 1,000,000^{{\mathbf 2}.5}
- w:he:ויקיפדיה:פרלמנט/ארכיון 37 117 \ 1,000,000^{{\mathbf 3}.0}
- w:he:פחת 57 \ 1,000 \times {4 \over 4+3+2+1} = 400
- w:he:פחת 59 \ 1,000 \times {3 \over 10} = 300
- w:he:פחת 61 \ 1,000 \times {2 \over 10} = 200
- w:he:פחת 63 \ 1,000 \times {1 \over 10} = 100
- w:he:פחת 66 \ {1,000 \over 4} = 250
- w:he:פחת 68 \ \left( 1 - \sqrt[4]{100 \over 1,000} \right) \times 100 = 43.77%
- w:he:פחת 73 \ 1,000 \times 43.77% = 437.7
- w:he:פחת 87 \ {(1,000 - 100) \over 4} = 225
- w:he:אריאבהטה 28 \ \frac{ 8 \cdot (4 + 100) + 62,000 }{20,000} = \frac{62,832}{20,000} = 3.1416 \approx \pi
- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון68 454 \frac{1}{10,000}
- w:he:שיחת משתמש:MathKnight/ארכיון 35 171 \ \frac{ 8 \cdot (4 + 100) + 62,000 }{20,000} = \frac{62,832}{20,000} = 3.1416 \approx \pi
- w:he:שיחה:התפלגות פרמי-דיראק 29 \ i = -100,100
- w:he:משחק פשוט 31 V(S) =\left\{\begin{matrix}1 &\mbox{if}\ \ (S \geq 500,000)\cup (won \geq 4) \\0 &\ else\end{matrix}\right.
- w:he:ויקיפדיה:בודק/בקשות לבדיקה/ארכיון 9 499 \frac{1}{17,878,103,347,812,890,625}
- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון80 487 \ a * \left( {(1 + 0.06)^{40}-1 \over 0.06} \right)*(1+0.06) = 100,000
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 31 \frac {40} {52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \div 5!} = \frac {40}{2,598,960} \approx 0.0015%
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 33 \frac {13 \times 48} {2,598,960} \approx 0.024%
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 35 \frac {(13 \times 4) \times (12 \times 6)} {2,598,960} \approx 0.14%
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 37 \frac {5108} {2,598,960} \approx 0.20%
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 39 \frac {10,200} {2,598,960} \approx 0.39%
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 41 \frac {54,912} {2,598,960} \approx 2.1%
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 43 \frac {123,552} {2,598,960} \approx 4.8%
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 45 \frac {1,098,240} {2,598,960} \approx 42%
- w:he:משתמש:Stnr/רשימת ידיים בפוקר 47 \frac {1,302,540} {2,598,960} \approx 50%
- w:he:קבוצת המיקוח 25 \ (125,125)
- w:he:קבוצת המיקוח 25 \ (400,100)
- w:he:קבוצת המיקוח 28 \ (125,125)
- w:he:קבוצת המיקוח 30 \ (375,125)
- w:he:קבוצת המיקוח 30 \ (376,124)
- w:he:קבוצת המיקוח 30 \ (125,125)
- w:he:קבוצת המיקוח 30 \ (375,125)
- w:he:קבוצת המיקוח 30 \ (126,124)
- w:he:קבוצת המיקוח 32 \ (375,125)
- w:he:פורטל:מתמטיקה/חידה/70 53 135,914
- w:he:מפתח (קריפטוגרפיה) 46 2^{32}=4,294,967,296
- w:he:קריפטואנליזה דיפרנציאלית 163 [K_{5,5}...K_{5,8}, K_{5,13}...K_{5,16}]=[0010,0100]=[\text{0x2},\text{0x4}]
- w:he:מספרים גדולים 40 \ 123,000,000,000
- w:he:מספרים גדולים 47 \ {^{4}2}=2^{2^{2^2}}=65,536
- w:he:מספרים גדולים 71 3\uparrow^32 = 3\uparrow^2 3 = 3^{3^3} = 3^{27}=7,625,597,484,987
- w:he:מספרים גדולים 117 \ 2^{57,885,161}-1
- w:he:מספרים גדולים 125 \ 10!=3,628,800
- w:he:מספרים גדולים 139 \ 26^{130,000}
- w:he:מספרים גדולים 147 \ 7.76 \cdot 10^{206,544}
- w:he:מספרים גדולים 151 \ A(4,4)={^{7}2}-3={2^{2^{2^{65,536}}}} - 3
- w:he:סכום ספרות סופי 51 9 \times 4,664 = 41,976 = 87,654 - 45,678
- w:he:סכום ספרות סופי 55 9 \times 2,133 = 19,197 = 87,654 - 68,457
- w:he:מכפיל רווח 31 \frac{12*(4,000-100)}{7%-2%}=936,000
- w:he:מכפיל רווח 42 \frac{750,000}{90}=8,333
- w:he:מכפיל רווח 44 \frac{1,000,000}{85}=11,765
- w:he:מבצע מכירות 76 x=100*(1-\frac{Max(100,200)+Min(100,200)*(1-\frac{50}{100})}{100+200})=100*(1-\frac{200+100*(1-\frac{1}{2})}{300})=100*(1-\frac{250}{300})=100*(1-0.833)=16.6%
- w:he:מבצע מכירות 89 x=100*(1-\frac{Max(150,150)+Min(150,150)*(1-\frac{50}{100})}{150+150})=100*(1-\frac{150+150*(1-\frac{1}{2})}{300})=100*(1-\frac{225}{300})=100*(1-0.75)=25%
- w:he:100,000 19 2^5 \cdot 5^5
- w:he:100,000 20 \ \overline{C}
- w:he:100,000 24 \ 10^5
- w:he:2,147,483,647 26 2^{31}-1=2,147,483,647
- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון158 204 \alpha= 45,-45,135,-135
- w:he:שיחת משתמש:דניאל ב./ארכיון 15 560 \ 2^{10}=1,024
- w:he:שיחת משתמש:דניאל ב./ארכיון 15 560 \ 10^3=1,000
- w:he:משתמש:דניאל ב./גדל 67 |a| = 2^9\cdot 3^{11}\cdot 5^{19} = 1,729,951,171,875,000,000,000
- w:he:כתובת (זיכרון מחשב) 21 \ 4,294,967,296=2^{32}
- w:he:SHA-3 40 b\in\{25,50,100,200,400,800,1600\}
- w:he:מכרז הכל משלמים 35 [0,100]
- w:he:ויקיפדיה:דלפק ייעוץ/ארכיון157 135 \ 2^{57,885,161}-1
- w:he:משתמש:Ariking777/עיוות הזמן 26 60,000
- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון195 692 a=g=v^2/r\Rightarrow v=\sqrt{g*r}=\sqrt{9.8*6,400,000}=7920
- w:he:טטרציה 24 ^33=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987
- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/שאלות במדעים מדויקים/ארכיון1 1722 100k-1,100k-2,\ldots,100k-k
- w:he:אפקט ארובה 54 \Delta P ={101,325 \cdot 9.807 \over 287}\bigg(\frac {1}{T_o} - \frac {1}{T_i}\bigg)\Delta h=3474\bigg(\frac {1}{T_o} - \frac {1}{T_i}\bigg)\Delta h
- w:he:משתמש:דרקון/טיוטה 37 \ 1:100,000^7
- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/שאלות במדעים מדויקים/ארכיון 5 797 075\cdot70= 5,250
- w:he:קדם-כוכב 85 20,000K
- w:he:תהליך אדיאבטי 107 P V^{\gamma} = \operatorname{constant} = 100,000 \operatorname{pa} * 1000^{7/5} = 100 \times 10^3 * 15.8 \times 10^3 = 1.58 \times 10^9
- w:he:אופטימיזציית הגחלילית 206 \textrm{Sphere}(\boldsymbol{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} \quad\quad [-100,100]^n
- w:he:הצפנת קריימר-שופ 63 (20491,12522,8282,4870)
- w:he:ויקיפדיה:כיכר העיר/ארכיון 88 287 60 \times 800 = 48,000
- w:he:Salsa20 96 152,980,310
- w:he:Salsa20 96 1,447,763,456
- w:he:CCM 111 65,280
- w:he:CCM 115 65,280
- w:he:הצפנת פליאיי 45 \lambda=\text{lcm}(148,330)=24420
- w:he:מספר סטרוהאל 32 800<Re<200,000
- w:he:משתמש:RamiRey01/קרינה מגנטית 24 1T=10,000G
- w:he:חזקה של שתיים 133 2^{64}-1 = 18,446,744,073,709,551,615
- w:he:Threefish 24 N_w\in\{32, 64,128\}
- w:he:Skein 39 N_b\in\{32,64,128\}
- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון 249 387 0.001=1/1,000=
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- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון 249 395 \tfrac{7}{100}=\tfrac{70}{1,000}=
- w:he:שיחה:מתווה הגז 325 maximum(log(([621,281,55,32.0]))/log(max(...)*(250/2), 110)
- w:he:משתמש:T1D2MW/טיוטה 431 114-4,364
- w:he:תקן חשבונאות מספר 4 47 300,000/(300,000+600,000)=33%
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- w:he:קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י 20 \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2, \dots ] \!\, .
- w:he:GIMPS 27 \ 2^{78,011,201}-1
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- w:he:GIMPS 32 \ 2^{4,423}-1
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- w:he:NTRU 148 (N,p,q,d)=(503,3,256,55), \mathcal{L}_f=\mathcal{L}(216,215),\mathcal{L}_g=\mathcal{L}(72,72),\mathcal{L}_{\phi}=\mathcal{L}(55,55)
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- w:he:ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון 262 951 (191,155,48)
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- w:he:הצפנת תרמיל גב 75 =(89,243,212,150,245)
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- w:he:פוטנציאל אלקטרודה תקני 87 \ \mathrm {E^0=\frac{-\Delta G^0}{nF}}=\frac{-237,200 J/mol}{2 \centerdot 96,485 \ C/mol}=-1.23V
- w:he:SAFER (צופן) 51 [200,30]\cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\equiv[174,230]\text{ (mod }256)
- w:he:SAFER (צופן) 51 [174,230]\cdot\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix}\equiv[200,30]\text{ (mod }256)
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- w:he:CLEFIA 331 k\in\{128,192,256\}
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- w:he:אלגוריתם רו של פולרד ללוגריתמים 179 [a_1,b_1,R_1]=[79,163,(135,117)]
- w:he:אלגוריתם רו של פולרד ללוגריתמים 181 [a_3,b_3,R_3]=[87,109,(84,62)]
- w:he:אלגוריתם רו של פולרד ללוגריתמים 182 [a_4,b_4,R_4]=[219,68,(72,134)]
- w:he:אלגוריתם רו של פולרד ללוגריתמים 183 (c,d)=(54,175)
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- w:he:חתימה דיגיטלית של שנור 61 120,102
- w:he:חתימה דיגיטלית של שנור 63 50,175
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Bearbeiten- b:he:חשבון אינפיניטסימלי/סדרות 17 5,25,125
- b:he:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות 58 10^3=10\cdot10\cdot10=1000\ne3^{10}=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=59,049
- b:he:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות 164 10^3\cdot10^4=10^{3+4}=10^7=10,000,000
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- b:he:חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ' 69 (-100,100)
- b:he:ביוטכנולוגיה/שלבים בהתפתחותה של אוכלוסיה מיקרוביאלית 77 150*2^5=60,000bac
- b:he:ביוטכנולוגיה/שלבים בהתפתחותה של אוכלוסיה מיקרוביאלית 88 \begin{align}&a=100bac\\&time=60*2_{hr}=120_{min}\\&\downarrow\\&n={120}{30}=4\\&\downarrow\\&100*2^4=1,600bac\\\end{align}
- b:he:ביוטכנולוגיה/שלבים בהתפתחותה של אוכלוסיה מיקרוביאלית 99 \begin{align}&a=200bac\\&time=60*3_{hr}=180_{min}\\&\downarrow\\&n={180}{30}=6_{gem}\\&\downarrow\\&200*2^6=12,800bac\end{align}
- b:he:חשבון/חיבור/תרגילים 21 \ 2,937 + 3,753
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- b:he:חשבון/חיסור/תרגילים 27 \ 2,486 - 1,297 = 1,189
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- b:he:חשבון/כפל/תרגילים 25 \ 56 \times 29 = 1,624
- b:he:חשבון/כפל/תרגילים 26 \ 583 \times 869 = 506,627
- b:he:חשבון/כפל/תרגילים 27 \ 3,364 \times 8,535 = 28,711,740
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- b:he:פיזיקה תיכונית/מכניקה/כבידה 91 40,075.78\ km
- b:he:פיזיקה תיכונית/מכניקה/כבידה 92 2\pi R_e=40,075.78\cdot 10^6\ m\implies R_e\approx 6378.258\ km
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 15 סעיף 6 86 \begin{align}&\color{blue}V_B=V_B\\&\frac{S}{10}=\frac{4}{t+\frac{1}{30}}\\&\frac{S(t+\frac{1}{30}}{10}=4\\&\frac{s(\frac{30t+1}{30})}{10}=4\\&\frac{s(30t+1)}{300}=4\\&30ts+s=1,200\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 15 סעיף 6 101 \begin{align}&30ts+s=1,200\\&\frac{30*40}{S+100}*S+S=1,200\\&\frac{1,200S}{S+100}+S=1,200\\&1,200S+S(S+100)=1,200(S+100)\\&1,200S+S^2+100S=1,200S+120,000\\&S^2+100S-120,000=0\\&S_{1,2}=\frac{-100\pm\sqrt{100^2+4*120'000}}{2}\\&\frac{-100\pm{700}}{2}\\&S_1=300, S_2=-400\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 16 סעיף 7 59 \begin{align}&A: tV=100 \rightarrow t=\frac{100}{v}\\&B: (V+5)(t-2-\frac{1}{3})=100-2v\\&(v+5)(t-\frac{7}{3})=100-2v\\&Vt-\frac{7v}{3}+5t-\frac{35}{5}=100-2V\\&\frac{-7V}{3}+5t-\frac{35}{3}=-2V\\&-7v+15t-35=-6v/+6v\\&-v+\frac{1,500}{v}-35=0\\&V^2+35V-1,500=0\\&\frac{-3\pm \sqrt{35^2+4*1500}}{2}\\&\frac{-3\pm 85}{2}\\&V_1=25, V_2= -\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 16 סעיף 8 66 \begin{align}&A: tV=100 \rightarrow t=\frac{100}{v}\\&B: (V+5)(t-2-\frac{1}{3})=100-2v\\&(v+5)(t-\frac{7}{3})=100-2v\\&Vt-\frac{7v}{3}+5t-\frac{35}{5}=100-2V\\&\frac{-7V}{3}+5t-\frac{35}{3}=-2V\\&-7v+15t-35=-6v/+6v\\&-v+\frac{1,500}{v}-35=0\\&V^2+35V-1,500=0\\&\frac{-3\pm \sqrt{35^2+4*1500}}{2}\\&\frac{-3\pm 85}{2}\\&V_1=25, V_2= -\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 16 סעיף 12 67 \begin{align}&T_2 = t_1+t_2+t_3=T_1+\frac{1}{4}\\&=\frac{60}{v+20}+\frac{1}{2}+\frac{120}{\frac{(v+20)3}{4}}=\frac{180}{v} +\frac{1}{4}\\&=\frac{160}{v+20}+\frac{1}{2}+\frac{60}{v+20}=\frac{720+v}{4v}/*4v(v+20)\\&=4*160v+2v(v+20)+4*60v=(720+v)(v+20)\\&=640v+2v^2+40v+240v=720v+14,400+v^2+20v\\&=v^2+920v=740+14,400\\&v^2+180v-14,400=0\\&\frac{-180\pm\sqrt{180^2+4*14,4000}}{2}\\&\frac{-180\pm300}{2}\\&V_1=60, v_2=-\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 17 סעיף 14 26 \begin{align}&{\color{green}y^2}+{\color{Purple}(45-x)}={\color{Brown}30^2}\\&y^2+x^2-90x+2,025=900\\&y^2=-x^2+90x-1,125\\&y=\sqrt{-x^2+90x-1125}\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 17 סעיף 14 84 \begin{align}&V_2=\frac{16x}{27}=\frac{2\sqrt{-x^2+90x-1,125}}{3}\\&16x=18\sqrt{-x^2+90x-1,125}/:2\\&8x=9\sqrt{-x^2+90x-1,125}\\&64^2=81*(-x^2+90x-1,125)\\&-81x^2+7290x-91,125=64x^2 \\&-145x^2+7290x-91,125=0\\&-29X^2+1,458X-18,225=0\\&\frac{-1,458\pm \sqrt{1,458^2-4*18,225*29}}{-29*2}\\&\frac{-1,458\pm \sqrt{108}}{-29*2}\\&X_1=\frac{-1,458-108}{-58}=27, X_2=\frac{-1,458+108}{-58}=23\frac{8}{29}\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 17 סעיף 16 66 \begin{align}&AB^2+AC^2=BC^2 \\&(\frac{8x}{3})^2+(\frac{8x+12}{3})^2=400\\&\frac{64x^2}{9}+\frac{64x^2+192x+144}{9}=400 \\&128x^2+192x+144=3,600\\&128x^2+192x-3456=0\\&2x^2+3x-54=0\\&\frac{-3\pm\sqrt{9+4*54*2}}{4}\\&X_1=\frac{18}{4} , X_2=\frac{-24}{4}=-\\&V_A=4*\frac{18}{4}=18\frac{km}{hr}\\&V_B=4x+6=4*\frac{18}{4}+6=24\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 18 סעיף 21 55 \begin{align}&\frac{300}{2x-10}+\frac{3}{2}=\frac{300}{x+10}/:3\\&\frac{100}{2x-10}+\frac{1}{2}=\frac{100}{x+10}/2(2x-10)(x+10)\\&2*100(x+10)+(2x-10)(x+10)=100*2(2x-10)/:2\\&100(x+10)+(x-5)(x+10)=100(2x-10)\\&100x+1,000+x^2+5x-50=200x-1,000\\&x^2-95x+1,950\\&x_{1,2}=\frac{95\pm \sqrt {95^2-4*1,950}}{2}\\&x_1=65>50 , X_2=30\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 77 47 \begin{align}&\frac{10^{3k+7}-3}{7}=\mathbb{Z}\\&\frac{10^{3k+1}*10^6-3}{7}=\mathbb{Z}\\&\frac{10^{3k+1}*(1+999,999-3}{7}=\mathbb{Z}\\&\underbrace{\frac{10^{3k+1}-3}{7}}_{=\mathbb{Z}} + \frac{10^{3k+1}*999,999}{7}=\mathbb{Z}\\&\mathbb{Z}+10^{3k+1}*142857=\mathbb{Z}\\&\mathbb{Z}+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 77 76 \begin{align}&\frac{10^{3K+7}+3}{7}=\mathbb{Z}\\&\frac{10^{3k+1}*10^6+3}{7}=\mathbb{Z}\\&\frac{10^{3k+1}*(1+999,999)+3}{7}=\mathbb{Z}\\&\underbrace{\frac{10^{3k+1}+3}{7}}_{=\mathbb{Z}} + \frac{10^{3k+1}*999,999}{7}=\mathbb{Z}\\&\mathbb{Z}+10^{3k+1}*142857=\mathbb{Z}\\&\mathbb{Z}+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 19 סעיף 25 78 \begin{align}&(\frac{2t-3}{2})a=150\\&\color{blue}t=\frac{150}{V}\\&\downarrow\\&[2*\frac{150}{v}-3]a=300\\&[\frac{300}{v}-3]a=300\\&\color{blue}v=\frac{150-3a}{2}\\&\downarrow\\&[\frac{2*300}{150-3a}-3]a=300\\&[\frac{200}{50-a}-3]a=300\\&[200-3(50-a)]a=300(50-a)\\&(200-150+3a)a=15,000-300a\\&50a+3a^2-15,000+300s=0\\&3a^2+350a-15,000=0\\&a=3;b=350;c=-15,000\\&\frac{-350\pm\sqrt{350^2+4*3*15,000}}{2*3}\\&a=33\frac{1}{3}; a=-\\&\downarrow\\&v=\frac{150-3*33\frac{1}{3}}{2}=25\frac{km}{hr}\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 125 סעיף 8 78 \begin{align}&50^2(50+1)=12,7500\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 125 סעיף 8 85 \begin{align}&20^2(20+1)=8,400\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 125 סעיף 8 88 \ 127,500-8,400=119,100
- b:he:חשבון/שברים/המרה של שברים פשוטים ועשרונים 19 \frac{17}{500} = \frac{17 \times 2}{500 \times 2} = \frac{34}{1,000} = 0.034
- b:he:חשבון/שברים/המרה של שברים פשוטים ועשרונים 23 -\frac{625}{1,000} = -\frac{625 : 125}{1,000: 125} = -\frac{5}{8}
- b:he:חשבון/שברים/המרה של שברים פשוטים ועשרונים 32 25\frac{7347}{10,000}
- b:he:חשבון/שברים/המרה של שברים פשוטים ועשרונים 34 3.593 = 3\frac{593}{1,000}
- b:he:אוטומטים ושפות פורמליות/שפות פורמליות 64 \Sigma^* =\{\varepsilon, 0,1,00,01,10,11,000,\ldots \}
- b:he:שיחה:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום 20 \ 2*4+5*16+8+64+\cdots+26*262,144
- b:he:שיחה:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום 25 \ n=26*262,144
- b:he:שיחה:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום 32 \underbrace{(6n-1)}_{26}*\underbrace{4^{2n}}_{262,144}
- b:he:שיחה:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום 46 \begin{align}&\frac{(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}\\&\frac{(6*5-2)*4^{2*5+1}+8}{3}-29*4^{10}\\&39,146840-29*4^{10}=8,738,136\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"א (ניסוי)/035806/תרגיל 2 26 \begin{align}&\ 2*4+5*16+8*64+\cdots+26*262,144\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"א (ניסוי)/035806/תרגיל 2 38 \ 2*4+5*16+8+64+\cdots+26*262,144
- b:he:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"א (ניסוי)/035806/תרגיל 2 43 \ n=26*262,144
- b:he:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"א (ניסוי)/035806/תרגיל 2 50 \underbrace{(6n-1)}_{26}*\underbrace{4^{2n}}_{262,144}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשע"א (ניסוי)/035806/תרגיל 2 64 \begin{align}&\frac{(6n-2)*4^{2n+1}+8}{3}\\&\frac{(6*5-2)*4^{2*5+1}+8}{3}-29*4^{10}\\&39,146840-29*4^{10}=8,738,136\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית/חישוב סכום והוכחת סכום 62 26\cdot262,144
- b:he:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ב/035302/תרגיל 4 88 \begin{align}&S_{50}=\frac{1}{4}*50^2(50+1)^2=1,625,625\\-\\& \underline{S_{5}=\frac{1}{4}*5^2(5+1)^2=225}\\&S_{6-50}=1,625,400\\\end{align}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ג/035302/תרגיל 3 95 \begin{align}&S_{7}=1+(7-1)3^7=13123\\-\\&\underline{S_{2}=1+(2-1)*3^2=10}\\&S_{5-7}=13,113\\\end{align}
- b:he:תורת החישוביות/כריעות שפות/משפט רייס 105 \{\varepsilon,0,1,00,11,000,111\} \in S
- b:he:תורת החישוביות/סיבוכיות קולמוגורוב/הסתברות אוניברסאלית 137 P_U^2(x_2) = P_U^2(x_1) = |\Sigma|^{-|\langle M_2 \rangle |} = 3^{-1,000,000,000}
- b:he:תורת החישוביות/סיבוכיות קולמוגורוב/הסתברות אוניברסאלית 145 n_2(x_2) = \left\lceil \log_{3} \left( \frac{1}{\frac{1}{3} + 3^{-1,000,000,000}} \right)\right\rceil= 1
- b:he:מבוא לתכנות ולמדעי המחשב בשפת C/רקורסיה (פיבונאצ'י, האנוי) 202 H(64) = 2^{64}-1 = 2^4 \cdot {2^{10}}^6 -1 > 16 \cdot 1000^6 = 16,000,000,000,000,000,000
- b:he:פיזיקה תיכונית/מבוא לפיזיקה/יחידות מדידה 33 \frac{1}{299,792,458}
- b:he:פיזיקה תיכונית/מבוא לפיזיקה/יחידות מדידה 43 9,192,631,770
- b:he:מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית e^x וכללי הגזירה 121 3^{1,000,000}
- b:he:מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקציה מעריכית e^x וכללי הגזירה 123 1,000,000^{2}+1
- b:he:מתמטיקה תיכונית/הסתברות/האם כדאי לעשות ביטוח? 132 1,000*1,000=1,000,000
- b:he:מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e 41 n=1,000
- b:he:מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e 41 e=\left(1+\frac{1}{1,000}\right)^{1,000}=2.7169
- b:he:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/אלגברה 4 ו-5 יחידות לימוד/עמוד 301 סעיף 18 74 80,120,180 \ \ \ \ 500,-300,180
- b:he:מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/חליפות/בחירה עם חשיבות לסדר ועם החזרה 40 \ 9\cdot 10^4=90,000
- b:he:פייתון/פייתון גרסה 3/לולאת for/תרגילים 48 L= [21,435,56,2,7,789,34,65]
- b:he:פייתון/פייתון גרסה 3/למצוא איבר מקסימלי ברשימה 15 lst=[1,23453,35,2354,5668]
hewikisource
Bearbeiten- s:he:מקור:כללי משק החשמל (אמות מידה לרמה, לטיב ולאיכות השירות שנותן ספק שירות חיוני) 1746 L = M - \left( \frac{THV*AC*K*1,000}{HVNC} \right)
- s:he:כללי משק החשמל (אמות מידה לרמה, לטיב ולאיכות השירות שנותן ספק שירות חיוני) 1859 L = M - \left( \frac{THV*AC*K*1,000}{HVNC} \right)
hiwiki
Bearbeiten- w:hi:वेब रंग 29 256 \times 256 \times 256 = 16,777,216
- w:hi:पारसैक 34 SD = \frac{\mathrm{ES}}{\tan 1^{\prime\prime}} \approx \frac{\mathrm{ES}}{1^{\prime\prime}} = \frac{360 \times 60 \times 60}{2 \pi} \, \mbox{AU} \approx 206,264.8 \mbox{ AU}.
- w:hi:एकीकृत परमाण्वीय द्रव्यमान मात्रक 19 m_u = 1 \, {\rm u} = 1,660 538 921(73) \cdot 10^{-24} \, {\rm g} = 1,660 538 921(73) \cdot 10^{-27} \, {\rm kg} = 931,494028(23) \, \frac{\rm MeV}{c^2}
- w:hi:एकीकृत परमाण्वीय द्रव्यमान मात्रक 22 1\ {\rm g} = 6,022 \, 141\, 29(27)\times 10^{23}\ {\rm u}
- w:hi:द्वयाधारी संख्या पद्धति 49 2^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1,024
- w:hi:द्वयाधारी संख्या पद्धति 53 2^{20} = 1024^2 = 1024 \cdot 1024 = 10,48,576
- w:hi:द्वयाधारी संख्या पद्धति 57 2^{30} = 1024^3 = 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 = 10,73,741
- w:hi:द्वयाधारी संख्या पद्धति 61 2^{40} = 1024^4 = 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 = 10,99,51,16,27,776
- w:hi:द्वयाधारी संख्या पद्धति 65 2^{50} = 1024^5 = 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 \cdot 1024 = 1,12,58,99,90,68,42,620
- w:hi:डायोफैंटीय समीकरण 80 4567x - 10,000y = 2166
- w:hi:गणितीय नियतांक 288 \scriptstyle \gamma \, \text{= Euler–Mascheroni Constant = 0,5772156649...}
- w:hi:गणितीय नियतांक 289 \scriptstyle \zeta '(2) \,\text{= Derivative of }\zeta(2) \,= \, - \!\!\sum \limits_{n = 2}^{\infty} \frac{\ln n}{n^2} \,\text{= −0,9375482543...}
- w:hi:गणितीय नियतांक 308 \lim_{n \to \infty}\frac {x_{n+1}-x_n}{x_{n+2}-x_{n+1}} \qquad \scriptstyle x \in (3,8284;\, 3,8495)
- w:hi:बख्शाली पाण्डुलिपि 74 \sqrt{889} = \sqrt{29^2 + 48} = 29 + 0,82758 - \frac{(0,82758)^2}{2 \cdot 29,82758} = 29,81609
- w:hi:बख्शाली पाण्डुलिपि 78 \sqrt{889} = \sqrt{30^2 + (-11)} = 30 + (-0,18333) - \frac{(-0,18333)^2}{2 \cdot (30 + (-0,18333))} = 29,816030704
- w:hi:बोडे आरेख 40 \ T = 0,0001
- w:hi:कोणीय विभेदन 22 \sin \theta = 1,220 \frac{\lambda}{D}
- w:hi:प्राकृतिक लघुगणक 42 \log e = 0,43429...
- w:hi:न्यूटन विधि 59 \begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = &0,5-\frac{\cos(0,5) - 0,5^3}{-\sin(0,5) - 3 \times 0,5^2} & \simeq & 1,112\,141\,637\,1 \\ x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & & \vdots & \simeq & 0,909\,672\,693\,736 \\ x_3 & & \vdots & & \vdots & \simeq & 0,866\,263\,818\,209 \\ x_4 & & \vdots & & \vdots & \simeq & 0,865\,477\,135\,298 \\ x_5 & & \vdots & & \vdots & \simeq & 0,865\,474\,033\,111 \\ x_6 & & \vdots & & \vdots & \simeq & 0,865\,474\,033\,101 \\ x_7 & & \vdots & & \vdots & \simeq & 0,865\,474\,033\,102\end{matrix}
- w:hi:संख्यात्मक समाकलन 68 e^{(\frac{1+0}{2})}\simeq 1,6487
- w:hi:संख्यात्मक समाकलन 68 \frac{1+e}{2}\simeq 1,8591
- w:hi:संख्यात्मक समाकलन 68 \frac{1+4e^{1/2}+e}{6}\simeq 1,7189
- w:hi:संख्यात्मक समाकलन 68 e-1\simeq 1,7183
- w:hi:संख्यात्मक समाकलन 70 \sqrt{1-0.5^2}\simeq 0,8660
- w:hi:संख्यात्मक समाकलन 70 \frac{1+4\frac{\sqrt{3}}{2}+0}{6}\simeq 0,7440
- w:hi:संख्यात्मक समाकलन 70 \frac{\pi}{4}\simeq 0,7854
- w:hi:रुंग-कुता विधियाँ 57 k_3 = -0,0501253132832
- w:hi:रुंग-कुता विधियाँ 58 k_4 = -0,100503778338
- w:hi:रुंग-कुता विधियाँ 60 x = 0,994987426585
- w:hi:उपयोगिता अनुपात 60 k_{w}=\frac{2}{\pi }\approx 0,637
- w:hi:तरंग प्रतिबाधा 36 c_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 299,792,458\text{ m/s}
- w:hi:तरंग प्रतिबाधा 40 Z_0 = \mu_0 c_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\text{ H/m} \times 299,792,458\text{ m/s} = 376.730313\ldots~\Omega \approx 120 \pi~\Omega
hrwiki
Bearbeiten- w:hr:Elektron 104 m_e =\,\,\, 9,109 \cdot 10^{-31}\ \mbox{kg}
- w:hr:Elektron 108 e =\,\,\, -\, 1,602\,177\,33(4\,9) \cdot 10^{-19}\ \mbox{C}
- w:hr:Relativna atomska masa 23 \qquad A_r = \frac {m_a}{u} \quad ili \quad m_a = A_r \cdot u \qquad u = 1,6605 \cdot 10^{-24} g \qquad u = \frac {1}{12} m_a(^{12}C)
- w:hr:Relativna atomska masa 25 A_r(H)=1,00794 \quad A_r(C)=12,0107 \quad A_r(O)=15,9994 \quad A_r(Cl)=35,453 \ ...
- w:hr:Relativna atomska masa 35 \qquad M(H) = 1,00794 \quad g \cdot mol^{-1} , \quad M(O_2) = 2 \cdot 15,9994 = 31,9988 \quad g \cdot mol^{-1}
- w:hr:Relativna atomska masa 37 \quad M(H_2O) = [2A_r(H) + A_r(O)] g\cdot mol^{-1}= [2\cdot 1,00794 + 15,9994] g\cdot mol^{-1}= 18,01528\quad g\cdot mol^{-1}
- w:hr:Moment inercije 94 I_0 = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{8}{9\pi}\right)r^4 \approx 0,1098r^4
- w:hr:Gravitacija 75 G = 6,67259 \times 10^{-11} \ {\rm N}\, {\rm (m/kg)^2}
- w:hr:Barometar 76 c_2 = -\,0,002\,59 \cdot b \cdot \cos(2\cdot\phi)
- w:hr:Zvuk 111 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Zvuk 141 L = 10 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{1}{0,001}\right)\!~\mathrm{dB} = 10 \cdot \log_{10}\,10^3\!~\mathrm{dB} = 30\,\mathrm{dB}
- w:hr:Nafta 164 \beta_t = 1,825 - 0,001315 \cdot \rho_0
- w:hr:Električna struja 106 I =\frac{I_\mathrm{max}}{\sqrt{2}} = 0,707 \cdot I_\mathrm{max}
- w:hr:Avogadrov zakon 53 V_{\rm m} = \frac{V}{n} = \frac{RT}{p} = \frac{(8.314 \mathrm{ J} \mathrm{ mol}^{-1} \mathrm{ K}^{-1})(293,15 \mathrm{ K})}{101,325 \mathrm{ kPa}} = 24,05 \mathrm{ dm}^3 \mathrm{ mol}^{-1}
- w:hr:Akustika 47 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Akustika 77 L = 10 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{1}{0,001}\right)\!~\mathrm{dB} = 10 \cdot \log_{10}\,10^3\!~\mathrm{dB} = 30\,\mathrm{dB}
- w:hr:Apsolutna magnituda 126 m_{Mjesec} = 0,25 + 2,5 \log_{10}{(\frac{3}{2} 0,00257^2)} = -12,26\!\,
- w:hr:Apsolutna magnituda 129 m_{Mjesec} = 0,25 + 2,5 \log_{10}{(\frac{3\pi}{2} 0,00257^2)} = -11,02\!\,
- w:hr:Meteorologija 235 1\,\mbox{mmHg} = 133,322\,\mbox{Pa} = 1,333\,22\,\mbox{mbar}
- w:hr:Meteorologija 303 s = \frac{0,622 \cdot e}{p - 0,378 \cdot e}\
- w:hr:Meteorologija 310 m = \frac{0,622 \cdot e}{p - e}\
- w:hr:Avogadrov broj 25 \qquad L=6,022 1412 \cdot 10^{23}\ \mathrm{mol}^{-1}
- w:hr:Avogadrov broj 61 p \cdot V = n \cdot R \cdot T \qquad \qquad R=8,314 \ \mathrm {JK^{-1}mol^{-1}} \quad plinska \ konstanta
- w:hr:Avogadrov broj 68 V_m = \frac{V}{n} = \frac{R \cdot T}{p}= \mathrm {\frac{8,314\ JK^{-1}mol^{-1}\cdot 273,15K}{101,325\cdot10^3\ Pa} = 22,4 \ dm^3mol^{-1}}
- w:hr:Izmjenična električna struja 44 I =\frac{I_\mathrm{max}}{\sqrt{2}} = 0,707 \cdot I_\mathrm{max}
- w:hr:Izmjenična električna struja 58 I_{el\,sr} =\frac{2}{\pi} \cdot I_\mathrm{max} = 0,637 \cdot I_\mathrm{max}
- w:hr:Izmjenična električna struja 134 I =\frac{I_\mathrm{max}}{\sqrt{2}} = 0,707 \cdot I_\mathrm{max}
- w:hr:Izmjenična električna struja 140 U =\frac{U_\mathrm{max}}{\sqrt{2}} = 0,707 \cdot U_\mathrm{max}
- w:hr:Plutonij 72 \mathrm{^{238}_{\ 92}U\ +\ ^{1}_{0}n\ \longrightarrow \ ^{239}_{\ 92}U\ \xrightarrow[23,5 \ minuta]{\beta^-} \ ^{239}_{\ 93}Np\ \xrightarrow[2,3565 \ dana]{\beta^-} \ ^{239}_{\ 94}Pu}
- w:hr:Plutonij 78 \mathrm{^{238}_{\ 92}U\ +\ ^{2}_{1}D\ \longrightarrow \ ^{238}_{\ 93}Np\ +\ 2\ ^{1}_{0}n \quad;\quad ^{238}_{\ 93}Np\ \xrightarrow[2,117 \ dana]{\beta^-} \ ^{238}_{\ 94}Pu}
- w:hr:Električno polje 68 {\varepsilon_0}\approx 8,854 \cdot 10 ^ {-12}
- w:hr:Elektronvolt 51 p = 1\; GeV/c = \frac{(1 \times 10^{9}) \times (1,60217646 \times 10^{-19} \; C)\;\cdot\; V}{(2,99792458 \times 10^{8}\; m/s)} = 5,344286\times 10^{-19}\; kg\cdot m/s
- w:hr:Elektronvolt 69 {1 \mbox{ eV} \over k_{\mathrm{B}}} = {1,602\,176\,53(14) \times 10^{-19} \mbox{ J} \over 1,380\,6505(24) \times 10^{-23} \mbox{ J/K}} = 11\,604,505(20) \mbox{ K}.
- w:hr:Elektronvolt 77 E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}=\frac{(4,135 667 33\times 10^{-15}\,\mbox{eV}\,\mbox{s})(299\,792\,458\,\mbox{m/s})}{\lambda}
- w:hr:Atomska jedinica mase 18 u = \frac{1}{12}m_a(^{12}C) = 1,6605\cdot10^{-27} kg = 1,6605\cdot10^{-24} g
- w:hr:Atomska jedinica mase 25 \qquad m_a(X) = u\cdot A_r(X)\qquad m_a(H) = 1,6605\cdot10^{-27}kg\cdot1,008 = 1,6738\cdot10^{-27}kg
- w:hr:Atomska jedinica mase 41 \qquad A_r(H) = 1,00794 , \quad A_r(O) = 15,9994
- w:hr:Atomska jedinica mase 50 \qquad M_r(H_2O) = 2A_r(H) + A_r(O) = 2\cdot 1,00794 + 15,9994 = 18,01528
- w:hr:Beaufortova ljestvica 147 v = 0,836 \cdot \mbox{Bf}^{3/2}
- w:hr:Relativna molekulska masa 31 =2\cdot1,0079+32,066+4\cdot15,999
- w:hr:Relativna molekulska masa 34 =2,0158+32,066+63,996
- w:hr:Relativna molekulska masa 37 =98,078
- w:hr:Relativna molekulska masa 48 2\cdot1,0079+15,999
- w:hr:Relativna molekulska masa 51 =2,0158+15,999
- w:hr:Relativna molekulska masa 54 =18,0148
- w:hr:Planckova konstanta 16 h =\,\,\, 6,626\ 070\ 15 \cdot 10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} \,\,\, \approx \,\,\, 4,135\ 667\ 43 \cdot 10^{-15}\ \mbox{eV}\cdot\mbox{s}
- w:hr:Planckova konstanta 27 \hbar\equiv\frac{h}{2\pi} = \,\,\, 1,054\ 571\ 68\cdot10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} \,\,\, = \,\,\, 6,582\ 119\ 15 \cdot10^{-16}\ \mbox{eV}\cdot\mbox{s}
- w:hr:Bel (jedinica) 22 L = 10 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{1}{0,001}\right)\!~\mathrm{dB} = 10 \cdot \log_{10}\,10^3\!~\mathrm{dB} = 30\,\mathrm{dB}
- w:hr:Bel (jedinica) 76 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Decibel 30 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Decibel 58 L = 10 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{1}{0,001}\right)\!~\mathrm{dB} = 10 \cdot \log_{10}\,10^3\!~\mathrm{dB} = 30\,\mathrm{dB}
- w:hr:Kvant 33 h =\,\,\, 6,626\ 0693 \cdot 10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} \,\,\, = \,\,\, 4,135\ 667\ 43 \cdot 10^{-15}\ \mbox{eV}\cdot\mbox{s}
- w:hr:Luks 38 1\ \mathrm{nx} = 0,001\ \mathrm{lx} = 0,000\,000\,1\, \mathrm{ph}
- w:hr:Atmosferski tlak 224 {p}=5474,89 \cdot \left[\frac{216,65}{216,65 + 0,001\cdot(30000-20000)}\right]^\frac{9,80665 \cdot 28,9644}{8314,32 \cdot 0,001}
- w:hr:Atmosferski tlak 226 {p}=5474,89 \cdot \left[\frac{216,65}{226,65}\right]^{34,163195}
- w:hr:Atmosferski tlak 228 {p}=5474,89 \cdot 0,214044
- w:hr:Atmosferski tlak 230 {p}\ = 1171,867
- w:hr:Elementarni naboj 16 e =\,\,\, 1,602\ 176 \ 565 \cdot 10^{-19}\ \mbox{C}
- w:hr:Pi (broj) 119 \begin{align}\pi \approxeq A_{3072} & {} \approxeq 768 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+1}}}}}}}}} \\& {} \approxeq 3,14159.\end{align}
- w:hr:Električni tok 45 \mathit{\epsilon_0} = 8,854 187 817 \ldots \times 10^{-12} {F}{m}^{-1}
- w:hr:Potenciranje 39 \sqrt[2]{2} = 1,41421356...
- w:hr:Potenciranje 40 \sqrt[3]{2} = 1,25992105...
- w:hr:Potenciranje 41 \sqrt[4]{2} = 1,18920711...
- w:hr:Global Positioning System 388 \frac {(0.01 \times 300,000,000\ m/sec)} {(10.23 \times 10^6 / sec)}
- w:hr:Interpolacija 102 f(x) = - 0,0001521 x^6 - 0,003130 x^5 + 0,07321 x^4 - 0,3577 x^3 + 0,2255 x^2 + 0,9038 x.
- w:hr:Interpolacija 125 f(x) = \left\{ \begin{matrix}-0,1522 x^3 + 0,9937 x, & \mbox{ako } x \in [0,1], \\-0,01258 x^3 - 0,4189 x^2 + 1,4126 x - 0,1396, & \mbox{ako } x \in [1,2], \\0,1403 x^3 - 1,3359 x^2 + 3,2467 x - 1,3623, & \mbox{ako } x \in [2,3], \\0,1579 x^3 - 1,4945 x^2 + 3,7225 x - 1,8381, & \mbox{ako } x \in [3,4], \\0,05375 x^3 - 0,2450 x^2 - 1,2756 x + 4,8259, & \mbox{ako } x \in [4,5], \\-0,1871 x^3 + 3,3673 x^2 - 19,3370 x + 34,9282, & \mbox{ako } x \in [5,6]. \\\end{matrix} \right.
- w:hr:Stehiometrija 57 \quad N_A = 6,022\cdot10^{23}
- w:hr:Stehiometrija 59 \quad u = 1,6605\cdot 10^{-24}
- w:hr:Stehiometrija 61 \quad R = 8,314472
- w:hr:Elektromagnetska sila 34 \alpha = \frac{e^2}{\hbar \cdot c \cdot \ 4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 7,297\,352\,5376(50) \times 10^{-3} = \frac{1}{137,035\,999\,679(94)}
- w:hr:Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4 87 U_{eff} = 0,707U_m , \,
- w:hr:Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4 89 I_{eff} = 0,707I_m . \,
- w:hr:Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4 106 U_{eff} = 0,577U_m , \,
- w:hr:Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4 108 I_{eff} = 0,577I_m . \,
- w:hr:Coulombov zakon 45 k_{\mathrm{e}} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = \frac{\mu_0\ \cdot {c_0}^2}{4 \cdot \pi} = 8,987\ 551\ 787\ 368\ 176\ 4 \times 10^9 \ \mathrm{N \cdot m^2 \cdot C^{-2}},
- w:hr:Efektivna vrijednost električnog napona i struje 92 U_{eff} = 0,707U_m , \,
- w:hr:Efektivna vrijednost električnog napona i struje 94 I_{eff} = 0,707I_m . \,
- w:hr:Efektivna vrijednost električnog napona i struje 112 U_{eff} = 0,577U_m , \,
- w:hr:Efektivna vrijednost električnog napona i struje 114 I_{eff} = 0,577I_m . \,
- w:hr:Konstanta fine strukture 16 \alpha = \frac{e^2}{\hbar \cdot c \cdot \ 4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 7,297\,352\,5376(50) \times 10^{-3} = \frac{1}{137,035\,999\,679(94)}
- w:hr:Konstanta fine strukture 49 \alpha = \frac{e^2}{\hbar \cdot c \cdot \ 4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 7,297\,352\,5376(50) \times 10^{-3} = \frac{1}{137,035\,999\,679(94)}
- w:hr:Dielektrična konstanta vakuuma 19 \varepsilon_0 =\frac {1}{\mu_0 \cdot c_0^2} = 8,854 187 817 \ldots \times 10^{-12} \frac{A s}{V m} = 8,854 187 817 \ldots \times 10^{-12} \frac{F}{m},
- w:hr:Permeabilnost vakuuma 19 \mu_0 = 4 \cdot \pi \times 10^{-7} (\rm{N / A ^2} ) \approx 1,2566370614 \cdots \times 10 ^{-6} (\rm{N / A ^2} ; \rm{H / m} )
- w:hr:Zakon očuvanja mase 21 \qquad 36,03056 \ g = 36,03056 \ g
- w:hr:Zakon očuvanja mase 21 4\cdot1,00794 \ g \ + 2\cdot 15,9994 \ g \ = 2\cdot 18,01528 \ g
- w:hr:Kemijska kinetika 136 k = \frac{2,303}{t} log \frac{a}{a-x}
- w:hr:Kemijska kinetika 149 t_{1/2} = \frac{2,303 \cdot log2}{k}= \frac{0,6963}{k}
- w:hr:Kemijska kinetika 165 k = \frac{2,303}{t(a-b)} log \frac{b(a-x)}{a(b-x)}
- w:hr:Kemijska kinetika 240 k_{1} = \frac{2,303}{t}\frac{x_{r}}{a} log\frac{x_{r}}{x_{r}-x}
- w:hr:Kemijska kinetika 271 k_{1} + k_{2} = \frac{2,303}{t}log\frac{a}{a-x}
- w:hr:Hans Albrecht Bethe 50 E = \mathrm{0,030\,28\cdot931\,MeV} = \mathrm{28,8\,MeV}
- w:hr:Stefan-Boltzmannov zakon 21 \sigma=\frac{2 \cdot \pi^5 \cdot k^4}{15 \cdot c^2 \cdot h^3}= 5,670 400 \times 10^{-8} \textrm{J\,s}^{-1}\textrm{m}^{-2}\textrm{K}^{-4}
- w:hr:Gravitacijska konstanta 29 G = 6,67428 \times 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2} = 6,67428 \times 10^{-11} \ {\rm N}\, {\rm (m/kg)^2}
- w:hr:Gravitacijska konstanta 39 G \approx 6,674 \times 10^{-11} {\rm \ N}\, {\rm (m/kg)^2}.
- w:hr:Gravitacijska konstanta 42 G\approx 6,674 \times 10^{-8} {\rm \ cm}^3 {\rm g}^{-1} {\rm s}^{-2}.
- w:hr:Gravitacijska konstanta 45 G\approx 0,8650 {\rm \ cm}^3 {\rm g}^{-1} {\rm hr}^{-2}.
- w:hr:Gravitacijska konstanta 50 P^2=\frac{3\pi}{G}\frac{V}{M}\approx 10,896 {\rm\ hr}^2 {\rm g\ }{\rm cm}^{-3}\frac{V}{M}.
- w:hr:Gravitacijska konstanta 71 \mu = GM_\oplus = ( 398 600,4418 \plusmn 0,0008 ) \ \mbox{km}^{3} \ \mbox{s}^{-2}.
- w:hr:Gravitacijska konstanta 75 {k = 0,01720209895 \ A^{\frac{3}{2}} \ D^{-1} \ S^{-\frac{1}{2}} } \
- w:hr:Fot 35 1\ \mathrm{nx} = 0,001\ \mathrm{lx} = 0,000\,000\,1\, \mathrm{ph}
- w:hr:Planckov zakon 79 h\nu=2,821439372\ kT
- w:hr:Stefan–Boltzmannova konstanta 19 \sigma = 5,670 400(40) \times 10^{-8}\ \textrm{W}\,\textrm{m}^{-2}\,\textrm{K}^{-4}
- w:hr:Plinska konstanta 14 R=8,314\,472(15)~\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol~K}}
- w:hr:Rosište 119 \begin{align}e_\text{s} & = 6,112 \exp \left( {17,67T \over T+243,5} \right) \\[8pt]e_\text{w} & = 6,112 \exp \left( {17,67T_\text{w} \over T_\text{w} + 243,5} \right) \\[8pt]e & = e_\text{w} - p_\text{sta} \left(T-T_\text{w}\right) 0,00066 \left[1 + (0,00115 T_\text{w}) \right] \\[8pt]RH & = 100 {e \over e_\text{s}} \\[8pt]T_\text{r} & = {243,5 \ln(e/6,112) \over 17,67 - \ln(e/6,112)}\end{align}
- w:hr:Tolerancija dužinskih mjera 34 T=10^{0,2 \times (ITG-1)} \cdot (0,45 \times \sqrt[3]{D}+0,001\times D)
- w:hr:Tvrdoća po Brinellu 26 \mbox{HB}=0,102 \frac{2F}{\pi D ({D-\sqrt{(D^2-d^2)})}}
- w:hr:Tvrdoća po Vickersu 28 A \approx \frac{d^2}{1,8544}
- w:hr:Tvrdoća po Vickersu 32 HV = \frac{F}{A} \approx \frac{1,8544 F}{d^2}
- w:hr:Zračenje crnog tijela 37 \sigma = 5,670 400(40) \times 10^{-8}\ \textrm{W}\,\textrm{m}^{-2}\,\textrm{K}^{-4}
- w:hr:Savijanje 117 I_0 = \left(\frac{\pi}{8} - \frac{8}{9\pi}\right)r^4 \approx 0,1098r^4
- w:hr:Prostorni kut 36 \begin{align}\theta & = \arccos \left( \frac{r-h}{r} \right)\\ & = \arccos \left( 1 - \frac{h}{r} \right)\\ & = \arccos \left( 1 - \frac{1}{2\pi} \right) \approx 0,572 \,\text{rad} \mbox{ ili } 32,77^\circ\end{align}
- w:hr:Gravitacijsko polje 37 g = 9,807 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \!\, .
- w:hr:Gravitacijsko polje 43 g_{o} = \frac{\kappa M}{R^2} = \frac{6,6742\cdot 10^{-11} \cdot 5,9742 \cdot 10^{24}}{6372797^{2}} = 9,8179 \; \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} \!\, ,
- w:hr:Gravitacijsko polje 48 \kappa = 6,6742\cdot 10^{-11}
- w:hr:Gravitacijsko polje 59 g_{\bigodot} = \frac{\kappa m_{\bigodot}}{r_{\bigodot}^2} = \frac{6,6742\cdot 10^{-11} \cdot 1,989 \cdot 10^{30}}{(6,960\cdot 10^{8})^{2}} = 274,04 \; \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} \!\, ,
- w:hr:Osvjetljenje 59 1\ \mathrm{nx} = 0,001\ \mathrm{lx} = 0,000\,000\,1\, \mathrm{ph}
- w:hr:Arnold Sommerfeld 53 \alpha = \frac{e^2}{\hbar \cdot c \cdot \ 4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 7,297\,352\,5376(50) \times 10^{-3} = \frac{1}{137,035\,999\,679(94)}
- w:hr:Permeabilnost 17 \mu_0 = 4 \cdot \pi \times 10^{-7} (\rm{N / A ^2} ) \approx 1,2566370614 \cdots \times 10 ^{-6} (\rm{N / A ^2} ; \rm{H / m} )
- w:hr:Jakost zvuka 20 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Jakost zvuka 80 L = 10 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{1}{0,001}\right)\!~\mathrm{dB} = 10 \cdot \log_{10}\,10^3\!~\mathrm{dB} = 30\,\mathrm{dB}
- w:hr:Neper 24 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Neper 52 L = 10 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{1}{0,001}\right)\!~\mathrm{dB} = 10 \cdot \log_{10}\,10^3\!~\mathrm{dB} = 30\,\mathrm{dB}
- w:hr:Glasnoća 71 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Prag čujnosti 17 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Granica bola 68 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Razina jakosti zvuka 33 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Zvučni tlak 42 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Energija zvuka 40 I_0 = 1~\mathrm{pW/m^2} = 0,000\,000\,000\,001~\mathrm{W/m^2}.
- w:hr:Suradnik:Drago Karlo/Stranica za vježbanje 54 w(\mathrm{NaCl})=3,5 % \quad ili\quad c(\mathrm{NaCl})=0,5989\ mol/L
- w:hr:Suradnik:Drago Karlo/Stranica za vježbanje 55 \mathit{\Pi}=cRTi=0,5989 \ \mathrm{mol/L\cdot 8,314 \ J/Kmol\cdot 293\ K\cdot2=29,18\cdot10^5 Pa=29,18\ bar}
- w:hr:Molna masa 25 N_A = 6,022\cdot10^{23}\quad mol^{-1}
- w:hr:Molna masa 43 M\mathrm{(CO_2)=?}\qquad M\mathrm{(CO_2)=[A_r(C)+2A_r(O)]\ g/mol=[12,0111+2\cdot 15,9994]\ g/mol=44,0099\ g/mol}
- w:hr:Molna masa 46 M\mathrm{(CuSO_4 \cdot 5H_2O)=?}\qquad M\mathrm{(CuSO_4 \cdot 5H_2O)=[A_r(Cu)+A_r(S)+9A_r(O)+10A_r(H)]\ g/mol=249,685\ g/mol}
- w:hr:Molni volumen 17 V_m = \frac {V}{n} \qquad \qquad V^0_m = 22,414 \quad L/mol
- w:hr:Molni volumen 51 V^0\mathrm{(H_2)=?} \qquad m\mathrm{(H_2)=4,032 g} \qquad \frac{m}{M}=\frac{V^0}{V^0_m}\qquad V^0=\frac{m\cdot V_m^0}{M}
- w:hr:Molni volumen 53 M\mathrm{(H_2)=2,016\ g/mol}\qquad V_m^0=22,4\ \mathrm{L/mol}
- w:hr:Molni volumen 55 V^0\mathrm{(H_2)=\frac{4,032\ g\cdot 22,4\ L/mol}{2,016\ g/mol}=44,8\ L}
- w:hr:Ebulioskopija 43 b=\frac{\Delta T}{K_b}=\frac{0,646\quad K}{2,67\quad Kkg/mol}=0,242\quad mol/kg
- w:hr:Ebulioskopija 46 \quad 0,242=\frac{33,4}{M_r}\quad ili \quad M_r=\frac{33,4}{0,242}=138
- w:hr:Fizička meteorologija 102 p \cdot V = m \cdot R_s \cdot T \cdot (1 + 0,608 \cdot s)
- w:hr:Fizička meteorologija 106 R = R_s \cdot (1 + 0,608 \cdot s)
- w:hr:Fizička meteorologija 110 T_v = T \cdot (1 + 0,608 \cdot s) = T + \Delta\,T_v
- w:hr:Meteorološki uređaji 114 c_2 = -\,0,002\,59 \cdot b \cdot \cos(2\cdot\phi)
hrwikisource
Bearbeiten- s:hr:Tablica binomialnog zakona 30 P(X=4)\simeq 0,05954
- s:hr:Tablica zakona Ribe 28 P_3=P(X=3)\simeq 0,18045
hsbwiki
Bearbeiten- w:hsb:Konstanta π 14 3,14159265358979323846
huwiki
Bearbeiten- w:hu:Fizikai mennyiség 83 g = \gamma {m \over r^2}={(6,67 \cdot 10^{-11}} {{\mbox{m}^3} \over \mbox{kg} \cdot \mbox{s}^2}) \cdot {{5,97 \cdot 10^{24} \,\ \mbox{kg}} \over (6,37 \cdot 10^6 \,\ \mbox{m})^2}={9,80665 \,\ {\mbox{m} \over \mbox{s}^2}}
- w:hu:Fizikai mennyiség 93 \left\{g\right\}=\frac{ g }{{\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}}}=\frac{ \gamma } {\frac{\mbox{m}^3} {\mbox{kg} \cdot \mbox{s}^2}} \cdot {\frac {\frac{m}{\mbox{kg}}} {({\frac{r}{\mbox{m}}})^2} }=6,67428\cdot10^{-11} \cdot \frac {5,97\cdot 10^{24}}{(6,37\cdot10^6)^2}=9,80665
- w:hu:SI mértékegységrendszer 153 h = 6,626\,070\,15\cdot 10^{34}\,\mbox{Js}
- w:hu:SI mértékegységrendszer 154 e = 1,602\,176\,634\cdot 10^{19}\,\mbox{C}
- w:hu:SI mértékegységrendszer 155 k = 1,380\,649\cdot 10^{23}\,\frac{\mbox{J}}{\mbox{K}}
- w:hu:SI mértékegységrendszer 156 N_A = 6,022\,140\,76\cdot 10^{23}\,\frac{\mbox{1}}{\mbox{mol}}
- w:hu:Oldhatóság 45 {s}_{293,15K}^\ominus= 0,0994\ mol/mol
- w:hu:Ikerprím-sejtés 68 C_2=\prod_{p>2} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}=0,66016118158...
- w:hu:Planck-állandó 17 h=6,626\ 070\ 040(81)\cdot10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}=4,135\ 667\ 662(25)\ \mbox{eV}\cdot\mbox{fs}
- w:hu:Planck-állandó 25 \hbar=\frac{h}{2\pi}=1,054\ 571\ 800(13)\cdot10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}=0,658\ 211\ 951\ 4(40)\ \mbox{eV}\cdot\mbox{fs},
- w:hu:Prímszámtétel 48 0,922\frac{x}{\ln(x)} <\pi(x) < 1,105 \frac{x}{\ln(x)},
- w:hu:Prímszámok 96 x_1<1,3982\cdot 10^{316}
- w:hu:Gravitáció 31 G = \left(6,67408 \plusmn 0,00031 \right) \cdot 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2} \,
- w:hu:Születésnap-paradoxon 86 n^2-n>730\ln 2\cong 505,997\dots
- w:hu:Olvadáspont 121 p_{\mathrm {MPa}}=6,11657 \cdot 10^{-4}-415,5 \left [ \left (\frac {T_\mathrm K} {273,16} \right)^{8,38} -1 \right]
- w:hu:Aranymetszés 54 \Phi \approx 1,618 \,
- w:hu:Aranymetszés 55 \Phi\approx 0,618 \,
- w:hu:Aranymetszés 55 \varphi \approx 1,618
- w:hu:Aranymetszés 55 \phi \approx 1,618\,
- w:hu:Aranymetszés 56 \overline{\Phi} \approx -0,618
- w:hu:Aranymetszés 57 \tau \approx 1,618\,
- w:hu:Fibonacci-számok 118 \phi=1,618...
- w:hu:Fibonacci-számok 145 \sum_{n=1}^{\infty} F_n^{-1} = 3,359885 \dots
- w:hu:Globálisan egyedi azonosító 16 3,4028 \times 10^{38}
- w:hu:Kelvin 61 {{U e} \over k_B} = {1 \mbox{ eV} \over k_B} = {1,6022 \times 10^{-19} \mbox{J} \over 1,380650 \times 10^{-23} \mbox{J/K}} = 11 605 \mbox{ K}
- w:hu:Neptúnium 67 \mathrm{^{238}_{\ 92}U\ +\ ^{1}_{0}n\ \longrightarrow \ ^{239}_{\ 92}U\ \xrightarrow[23 \ perc]{\beta^-} \ ^{239}_{\ 93}Np\ \xrightarrow[2,355 \ nap]{\beta^-} \ ^{239}_{\ 94}Pu}
- w:hu:Neptúnium 100 \mathrm{^{237}_{\ 93}Np\ +\ ^{1}_{0}n\ \longrightarrow \ ^{238}_{\ 93}Np\ \xrightarrow[2,117 \ nap]{\beta^-} \ ^{238}_{\ 94}Pu}
- w:hu:Nihonium 20 \,^{48}_{20}\mathrm{Ca} + \,^{243}_{95}\mathrm{Am} \to \,^{288,287}\mathrm{Uup} \to \,^{284,283}\mathrm{Uut} \to\
- w:hu:Tabletta 28 1 mg = 0,001 g
- w:hu:Tabletta 28 1\mu{}g = 0,000001 g
- w:hu:Húsvétszámítás 82 \frac{4 \cdot (19 \cdot 6 \cdot 30 + 19 \cdot 6 \cdot 29 + 6 \cdot 30 + 1 \cdot 29) + 19 }{4\cdot 235} = \frac{27759}{940} = 29,53085 \;\;nap
- w:hu:Sűrűség 124 \rho =\frac{0,0289\cdot 101325}{8,3145\cdot 293}\ \mbox{kg/m}^3=1,21\ \mbox{kg/m}^3
- w:hu:Logaritmus 478 \frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1,0595 \approx \sqrt[12]2.
- w:hu:Logaritmus 493 2^{\frac 1 {72}} \approx 1,0097
- w:hu:Logaritmus 494 2^{\frac 1 {12}} \approx 1,0595
- w:hu:Logaritmus 496 \begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1,2599 \end{align}
- w:hu:Logaritmus 497 \begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1,4142 \end{align}
- w:hu:Logaritmus 503 \approx 3,8631 \,
- w:hu:Pafnutyij Lvovics Csebisev 87 0,922\frac{x}{\ln(x)} <\pi(x) < 1,105 \frac{x}{\ln(x)}.
- w:hu:Nukleoszintézis 143 \mathrm{~^{4}_{2}He}+\mathrm{~^{4}_{2}He}\rightarrow\mathrm{~^{8}_{4}Be}+\gamma \qquad Q = - 0,095\ \mathrm{MeV}
- w:hu:Nukleoszintézis 153 {3}\ ^{4}\mathrm{He} \rightarrow {}^{12}\mathrm{C} + \gamma \qquad Q = +7,275 \ \mathrm{MeV}
- w:hu:Hőkapacitás 53 C_p-C_v = R \ = 8,314
- w:hu:Michael Faraday 111 F=(9,648455 \pm 27*10^-6 )*10^4 \frac {C}{mol^\cdot} \approx 96500 \frac {C}{mol^\cdot}
- w:hu:Bohr-féle atommodell 48 a_0=52,9177 \,\mbox{pm}
- w:hu:Irracionális számok 46 0,1234567891011121314\dots
- w:hu:Irracionális számok 48 0,23571113171923\dots
- w:hu:Hangsebesség 49 R : 8,314 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol \cdot K}} \,
- w:hu:Hangsebesség 139 c_\text{sós víz} = 1449 + 4,6T - 0,055T^2 + 0,0003T^3 + 1,39(S - 35) + 0,017D
- w:hu:Deutérium 32 T_{tp}(x)=18,680 + 0,155 x
- w:hu:Cabibbo–Kobajasi–Maszkava-mátrix 25 \begin{bmatrix} 0,9753 & 0,221 & 0,003 \\ 0,221 & 0,9747 & 0,040 \\ 0,009 & 0,039 & 0,9991 \end{bmatrix}
- w:hu:Szerkesztővita:Drkazmer 180 JB = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{K^2}{4}\right)=\frac{1252}{6}\left((-0,094)^2+\frac{5,204^2}{4} \right)=1414,3\gg 5,99=\chi^2(0,95)
- w:hu:Szerkesztővita:Drkazmer 182 \alpha =-\sum_{i}\left[\left(\ln{x_i}-\overline{\ln x}\right)\left(\ln{y_i}-\overline{\ln y}\right)\right] / \sum_{i}\left(\ln{x_i}-\overline{\ln x}\right)^2=-(-5,2440/1,7859) = 2,936.
- w:hu:Planck-hossz 23 l_P =\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \approx 1,616\ 229 (38) \cdot 10^{-35}
- w:hu:Planck-erő 17 F_P = \frac{m_P c}{t_P} = \frac{c^4}{G} = 1,210\ 27 \cdot 10^{44}\ \mbox{N}
- w:hu:Carleman-egyenlőtlenség 19 e=2,71828\dots
- w:hu:Sophie Germain-prím 47 1,846,389,521,368 + 11^{600}
- w:hu:Decibel 45 10^{3 \over 10} = 1,99526
- w:hu:Radián 23 1\approx57,345^\circ
- w:hu:Radián 23 1 = 57^\circ 17' 44,81″ = 57,29577951...^\circ
- w:hu:Kétnégyzetszám-tétel 107 K=\sqrt{\frac{1}{2}\prod\frac{1}{1-\frac{1}{p^2}}}=0,764223653...
- w:hu:Fraktál 160 \frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,585
- w:hu:Fraktál 184 \frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,585
- w:hu:Egymintás u-próba 144 u = \frac{\bar x-m}{\sigma / \sqrt{n}}=\frac{105-100}{16 / \sqrt{71}}\approx2,633
- w:hu:Mertens-függvény 29 M(x)<-1,009\sqrt{x}
- w:hu:Pí (szám) 54 \pi\approx 4\cdot\left(\frac{8}{9}\right)^2 = 3,160493827\quad160493827\quad160493827\quad\dots
- w:hu:Pí (szám) 58 \pi\approx3\frac{1}{8}=3,125
- w:hu:Pí (szám) 68 \pi\approx\frac{27}{8}=3,375
- w:hu:Pí (szám) 70 \pi\approx3,1547
- w:hu:Pí (szám) 71 \pi\approx\sqrt{10}=3,16227766\dots
- w:hu:Pí (szám) 71 \pi\approx\frac{142}{45}=3,15555\dots
- w:hu:Pí (szám) 73 3,1415929<\pi< 3,1428571
- w:hu:Pí (szám) 78 \pi\approx\frac{104348}{33215}=3,1415926539\dots
- w:hu:Pí (szám) 78 \pi\approx\frac{16}{9}=1,777\dots
- w:hu:Pí (szám) 83 2\pi\approx6;16^{I}59^{II}28^{III}1^{IV}34^{V}51^{VI}46^{VII}14^{VIII}50^{IX}=6,2831853071795865
- w:hu:Pí (szám) 85 \pi\approx3,14159265358979325
- w:hu:Pí (szám) 88 \pi\approx3,125
- w:hu:Ikozaéder 80 r_u = \frac{a}{2} \sqrt{\tau \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} \approx 0,9510565163 \cdot a
- w:hu:Ikozaéder 84 r_i = \frac{\tau^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right) \approx 0,7557613141\cdot a
- w:hu:Ikozaéder 88 r_m = \frac{a \tau}{2} = \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) a \approx 0,80901699\cdot a
- w:hu:Ikozaéder 94 A = 5\sqrt{3}a^2 \approx 8,66025404a^2
- w:hu:Ikozaéder 95 V = \frac{5}{12} (3+\sqrt5)a^3 \approx 2,18169499a^3
- w:hu:Ikozaéder 105 \scriptstyle\phi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618
- w:hu:Ikozaéder 108 \scriptstyle\tfrac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0,618
- w:hu:Ammónia 112 log p_{bar}= 3,18757-\frac{506,713}{T_K-80,78}
- w:hu:Ammónia 115 ln p_{Pa}= 21,691-\frac{1791,691}{T_K-57,4314}
- w:hu:Ammónia 118 ln p_{Pa}= 21,0039-\frac{1791,533}{T_K-50,54182}
- w:hu:Digitális számítógép 153 0,234 5060.10^2
- w:hu:Digitális számítógép 158 0,987 0100.10^7
- w:hu:Digitális számítógép 163 0,380 0000.10^{-1}
- w:hu:Pálfy Péter Pál 39 O(n^{3,24399 \dots})
- w:hu:Gőznyomás 32 t_v = 100 + 0,000~2772 \cdot (p - 101~000) - 1,24 \cdot 10^{-9} \cdot (p - 101~000)^2 \,
- w:hu:Mértani közép 194 \sqrt{2,35 \times \frac{4}{3}} \approx 1,7701
- w:hu:Mértani közép 196 \sqrt{\frac{16}{9}\times\frac{4}{3}} \approx 1,5396 \approx 13,8:9,
- w:hu:Tetráció 90 10^{3,6410 \times 10^{12}}
- w:hu:Tetráció 137 x = 2,376
- w:hu:Tetráció 308 i \uparrow\uparrow 2 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 1\right) \approx 0,2079
- w:hu:Tetráció 309 i \uparrow\uparrow 3 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 2\right) \approx 0,9472 + 0,3208i
- w:hu:Tetráció 310 i \uparrow\uparrow 4 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 3\right) \approx 0,0501 + 0,6021i
- w:hu:Tetráció 311 i \uparrow\uparrow 5 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 4\right) \approx 0,3872 + 0,0305i
- w:hu:Tetráció 312 i \uparrow\uparrow 6 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 5\right) \approx 0,7823 + 0,5446i
- w:hu:Tetráció 313 i \uparrow\uparrow 7 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 6\right) \approx 0,1426 + 0,4005i
- w:hu:Tetráció 314 i \uparrow\uparrow 8 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 7\right) \approx 0,5198 + 0,1184i
- w:hu:Tetráció 315 i \uparrow\uparrow 9 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 8\right) \approx 0,5686 + 0,6051i
- w:hu:Tetráció 317 0,4383 + 0,3606i
- w:hu:Gravitációs állandó 17 G = \left(6,67408 \plusmn 0,00031 \right) \cdot 10^{-11} \ \mbox{m}^3 \ \mbox{kg}^{-1} \ \mbox{s}^{-2} \,
- w:hu:Nehézségi gyorsulás 29 g=G \frac {M}{R^2}=(6,67384 \times 10^{-11}) \frac{5,9736 \times 10^{24}}{(6,37101 \times 10^6)^2}=9,822 \frac{m}{s^2}
- w:hu:Nehézségi gyorsulás 43 g_{\phi}=9,780 318 \left( 1+0,0053024\sin^2 \phi-0,0000058\sin^2 2\phi \right) - 3,086 \times 10^{-6}h
- w:hu:Stefan–Boltzmann-törvény 24 \sigma = \frac{{2\pi ^5 k^4 }}{{15c^2 h^3 }} = 5,672 \cdot 10^{ - 8} \frac \mbox{W}{{\mbox{m}^2 \mbox{K}^4 }}
- w:hu:Szigetelő 34 \varepsilon _0\approx 8,852\cdot 10^{-12}
- w:hu:Abakusz 86 0,999
- w:hu:Vita:Mirage III 105 \frac {58~900 N}{13~500 kg} = 4,362~962~963 N/kg \ne 0,46
- w:hu:Vita:Mirage III 111 \frac {F}{G}=\frac {58~900 N}{132~435 N} = 0,444~746~479 N/N \approx0,46
- w:hu:Egyetemes gázállandó 24 R = N_A \cdot k = 6,02 \cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}} \cdot 1,381 \cdot 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}} = 8,314\ \mathrm{J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}}
- w:hu:Gráfok színezése 191 O(1,3289^n)
- w:hu:Gráfok színezése 191 O(1,7272^n)
- w:hu:Gráfok színezése 191 O(2,445^n)
- w:hu:Gráfok színezése 207 \left(\tfrac{1+\sqrt{5}}2\right)^{n+m}=O(1,6180^{n+m})
- w:hu:Síkbarajzolható gráf 156 \gamma\approx 27,22687
- w:hu:137 (szám) 51 \alpha = \frac{e^2}{\hbar c \ 4 \pi \epsilon_0} \approx \frac{1}{137,035 999 11(46)}
- w:hu:Galvanométer 73 R_x=\frac{0,06 V}{400 A}=0,00015 \Omega
- w:hu:Galvanométer 75 R_n>=\frac{0,06 V}{200 A}=0,0003 \Omega
- w:hu:Galvanométer 76 \frac{ 0,00015 \Omega}{0,0003 \Omega} = 0,5
- w:hu:Galvanométer 82 0,0003 A \cdot (100 \Omega+ R_d \Omega)=0,06 V
- w:hu:Galvanométer 84 0,03 V+ 0,0003 A \cdot R_d \Omega=0,06 V
- w:hu:Galvanométer 86 0,0003 A\cdot R_d \Omega=0,03 V
- w:hu:Szerkesztő:Zlajos~huwiki/Ismétlés nélküli permutációk és ismétléses permutációk fixpontjai 297 148,349 = !1 + !4 + !8 + !3 + !4 + !9
- w:hu:Százalék 40 298,15\,\mathrm K \cdot \left(100\,%+10\,%\right) = 298,15\,\mathrm K \cdot 1,1 = 327,965\,\mathrm K = 54{,}815\;^\circ \mathrm C
- w:hu:Százalék 41 327,965\,\mathrm K = \left(327,965-273,15\right)\;^\circ \mathrm C = 54{,}815\;^\circ \mathrm C
- w:hu:Tízszög 27 T=\tfrac52 a^2 \cot\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{5a^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \approx\mbox{7,694208843}\cdot a^2
- w:hu:Ötszög 36 T = \frac{5t^2\cdot\text {tg}(54^\circ)}{4}\ = \tfrac14 t^2\sqrt{25+10\sqrt5} \approx 1,720477401 t^2.
- w:hu:Hétszög 33 A = \frac{7}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{7} \simeq 3,63391 a^2.
- w:hu:Nyolcszög 35 A = 2 \cot \frac{\pi}{8} a^2 = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4,828427 a^2.
- w:hu:Srínivásza Rámánudzsan 325 \sqrt{2}\frac{9801}{4412},\biggl(9^2+{{19^2}\over{22}}\biggr)^{{1}\over{4}}=3,14159265262\dots,{{12}\over{\sqrt{190}}}\log\bigl((2\sqrt{2}+\sqrt{10})(3+\sqrt{10})\bigr),
- w:hu:Srínivásza Rámánudzsan 333 e^{\pi\sqrt{163}}=262\ 537\ 412\ 640\ 768\ 743,99999999999925\dots
- w:hu:0,999… 19 \ 0{,}(9)
- w:hu:0,999… 19 0{,}\bar{9},
- w:hu:0,999… 19 0{,}\dot{9}
- w:hu:0,999… 41 \frac{6}{5}=1{,}2000\dots = 1{,}1999\dots\,
- w:hu:0,999… 76 3/3 = 0{,}999\dots
- w:hu:0,999… 76 3/3 = 1
- w:hu:0,999… 76 0{,}999\dots = 1
- w:hu:0,999… 76 1/3 = 0{,}333\dots
- w:hu:0,999… 76 2/3 = 0{,}666\dots
- w:hu:0,999… 82 0,999\dots = 1
- w:hu:0,999… 94 \begin{align}0,333\dots &= \frac{1}{3} \\3 \times 0,333\dots &= 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\0,999\dots &= 1\end{align}
- w:hu:0,999… 104 \begin{align}0,111\dots &= \frac{1}{9} \\9 \times 0,111\dots &= 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\0,999\dots &= 1\end{align}
- w:hu:0,999… 118 \begin{align}9 \times 0,1 &= 0,9 \\9 \times 0,11 &= 0,99 \\9 \times 0,111 &= 0,999 \\9 \times 0,1111 &= 0,9999 \\\end{align}
- w:hu:0,999… 122 9 \times 0,111\dots = 0,999\dots
- w:hu:0,999… 146 \begin{align}x &= 0,999\ldots \\10 x &= 9,999\ldots \\10 x - x &= 9,999\ldots - 0,999\ldots \\9 x &= 9 \\x &= 1 \\0,999\ldots &= 1\end{align}
- w:hu:0,999… 152 b_0,b_1b_2b_3b_4b_5\dots
- w:hu:0,999… 156 (b_1;b_2;b_3;\dots;b_n;\dots)\,
- w:hu:0,999… 167 b_0 , b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .
- w:hu:0,999… 171 a+ar+ar^2+ar^3+\cdots = a\cdot\frac{1}{1-r}.
- w:hu:0,999… 175 ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}
- w:hu:0,999… 177 \scriptstyle{\frac{1}{10}}
- w:hu:0,999… 179 0,999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\,
- w:hu:0,999… 183 c \in \mathbb R
- w:hu:0,999… 201 0,999\ldots = \lim_{n\to\infty}0,\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,
- w:hu:0,999… 214 [0; 1], \quad [1; 2], \quad [2; 3], \dots, \quad [9; 10]
- w:hu:0,999… 238 \begin{align}\tfrac{a}{b}<1-(\tfrac{1}{10})^b\end{align}
- w:hu:0,999… 238 \begin{align}1-(\tfrac{1}{10})^n\end{align}
- w:hu:0,999… 238 \begin{align}\tfrac{a}{b}<1\end{align}
- w:hu:0,999… 253 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{10^n} = 0.
- w:hu:0,999… 263 \phi
- w:hu:0,999… 343 \ldots999 = 9 + 9(10) + 9(10)^2 + 9(10)^3 + \cdots = \frac{9}{1-10} = -1.
- w:hu:0,999… 357 1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \dots
- w:hu:0,999… 359 \scriptstyle{1\frac{1}{9}}
- w:hu:Vita:Coriolis-erő 119 t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 000\,m}{0,016\,\frac{m}{s^2}}} = 3535\,s\,\approx 1
- w:hu:Legkisebb négyzetek módszere 42 \cos (\frac{\pi x}{2}) \approx - 1,031 x^2 + 0,98
- w:hu:Legkisebb négyzetek módszere 44 \cos\hat x \approx - 0,418\hat x^2+0,98
- w:hu:Körnégyszögesítés 35 AB = \sqrt{\frac{40-6\sqrt{3}}{3}}\approx 3,14153\dots
- w:hu:Körnégyszögesítés 43 \left(9^2 + \frac{19^2}{22}\right)^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3,1415926525826461253\dots
- w:hu:Schwarzschild-sugár 44 1,32712440018 \cdot 10^{20}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 45 2,9532500765 \cdot 10^{3}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 48 2,2032 \cdot 10^{13}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 49 4,9028 \cdot 10^{-4}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 52 3,24859 \cdot 10^{14}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 53 7,2291 \cdot 10^{-3}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 56 3,986004418 \cdot 10^{14}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 57 8,870056078 \cdot 10^{-3}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 60 4,902800582 \cdot 10^{13}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 61 1,091020268 \cdot 10^{-4}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 64 4,2828 \cdot 10^{13}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 65 9,5305 \cdot 10^{-4}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 68 1,26686534 \cdot 10^{17}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 69 2,81915558 \,
- w:hu:Schwarzschild-sugár 72 3,7931187 \cdot 10^{16}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 73 0,84408275 \,
- w:hu:Schwarzschild-sugár 76 5,793947 \cdot 10^{15}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 77 0,1289327 \,
- w:hu:Schwarzschild-sugár 80 6,836529 \cdot 10^{15}
- w:hu:Schwarzschild-sugár 81 0,1521333 \,
- w:hu:Gyöktelenítés 65 t \ \sim \ \frac{1,414}{2}
- w:hu:Gyöktelenítés 65 t \ = \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ \sim \ 0,707106781 ...
- w:hu:Gyöktelenítés 65 t \ \sim \ \frac{1}{1,414} = \frac{1000}{1414}
- w:hu:Gyöktelenítés 78 \frac{1}{1,414}
- w:hu:Gyöktelenítés 78 \frac{1,414}{2}
- w:hu:Gyöktelenítés 80 \frac{1}{1,4142}
- w:hu:Gyöktelenítés 80 \frac{1,4142}{2}
- w:hu:Gyöktelenítés 82 \frac{1}{1,41421}
- w:hu:Gyöktelenítés 82 \frac{1,41421}{2}
- w:hu:Elektromos feszültség 75 U_{atl} = 0,637\,U_{cs} = \frac{2}{\pi} U_{cs} = \frac{\omega}{\pi}\int_0^{\pi/\omega} U_{cs} \sin(\omega t - k x) {\rm{d}}x \!\
- w:hu:Elektromos feszültség 77 U_{eff} = 0,707\,U_{cs} = \frac{1}{\sqrt{2}} U_{cs} = U_{cs} \sqrt{\langle \sin^2(\omega t - k x) \rangle} \!\
- w:hu:Elektromos feszültség 81 U_{atl} = 0,319\,U_{ppk}\!\
- w:hu:Elektromos feszültség 83 U_{eff} = 0,354\,U_{ppk} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} U_{ppk}\!\
- w:hu:Elektromos feszültség 85 U_{atl} = 0,900\,U_{eff} = \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} U_{eff}\!\
- w:hu:Papír 115 (0,0001 m)2^{42}\approx439\,805 km
- w:hu:Normálalak 51 \frac{2,34\times10^2}{5,67\times10^{-5}} \approx 0,413\times10^{7} = 4,13\times10^6
- w:hu:Normálalak 63 2,34\times10^{-5} + 5,67\times10^{-6} = 2,34\times10^{-5} + 0,567\times10^{-5} \approx 2,907\times10^{-5}
- w:hu:Fehér 212 W_{\mathbb{CIE} L*a*b*}=2,41 L^*-4,45 b^*[1-0,009(L^*-96)]-141,4
- w:hu:Fehér 224 WI=3,388Z-3Y
- w:hu:Differenciálszámítás 180 \scriptstyle f(x_1 = -1\frac{1}{3}) = \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 + 8\cdot \left(-1\frac{1}{3}\right)^2 + 16\cdot \left(-1\frac{1}{3}\right) = -256/27 \approx -9,4815
- w:hu:Martingale-módszer 57 n = \left \lfloor \frac{\ln \left ( \frac{750}{20} + 1 \right )}{\ln 2} \right \rfloor = \left \lfloor 5,266 \right \rfloor = 5
- w:hu:Martingale-módszer 63 L = \left ( \frac{19}{37} \right )^5 = 0,0357 = 3,57\% , \qquadA = 20 \cdot \left ( 2^5 - 1 \right ) = 620
- w:hu:Paraxiális közelítés 20 5^\circ \approx 0,087266 rad \qquad \sin\left(5^\circ\right) = 0,087266 \qquad \frac{\phi - \sin\phi}{\phi}=0,12%
- w:hu:Prímszámok listája 130 k=0,001
- w:hu:Prímszámok listája 130 c=1,618\ldots
- w:hu:Prímszámok listája 136 k=0,001
- w:hu:Átlagos távolság 54 l_G = \frac{1 + 2 + 2 + 1 + 3 + \ldots + 3 + 3 + 2 + 1 + 2}{30}=\frac{50}{30} \approx 1,667.
- w:hu:Szerkesztő:Tyuxem/ami 21 0,125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}
- w:hu:Köbszámok 60 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \zeta{(3)} \approx 1,20205
- w:hu:Félprímek 37 \sum_{\Omega(n)=2} \frac{1}{n^2} \approx 0,1407604
- w:hu:Félprímek 38 \sum_{\Omega(n)=2} \frac{1}{n(n-1)} \approx 0,17105
- w:hu:Félprímek 39 \sum_{\Omega(n)=2} \frac{\ln n}{n^2} \approx 0,28360
- w:hu:Négyzetgyök 2 49 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1,41421\overline{296}.
- w:hu:Négyzetgyök 2 53 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1,414215686.
- w:hu:Mikro fekete lyuk 24 m =\frac{r \cdot c^2}{G} = 3,78963 \cdot 10^{12} \mbox{ kg,}
- w:hu:Csillagászati aberráció 32 \beta = 0,688 v \, \sin \, \psi \qquad (1)
- w:hu:Csillagászati aberráció 48 \beta_0 = 0,688 \cdot 19,5 \sin \, \psi
- w:hu:Csillagászati aberráció 69 \beta = 0,688 \cdot 29,773 \, \sin \, \psi
- w:hu:Csillagászati aberráció 99 v = 0,464 \, \cos \phi
- w:hu:Csillagászati aberráció 101 \beta = 0,319 \, \cos \phi \sin \psi
- w:hu:P-adikus számok 73 \dfrac{1}{5}=2,01210121\dots_3\mbox{ vagy }\dfrac{1}{15}=20,1210121\dots_3.
- w:hu:Naptömeg 18 M_{\odot}=( 1,98892\ \pm\ 0,00025 )\ \times10^{30}\hbox{ kg}
- w:hu:Vita:0,999… 323 \forall x>0\!:\ 0.999\ldots + x > 1
- w:hu:Vita:0,999… 323 0.999\ldots=1
- w:hu:Vita:0,999… 401 |a_n(b_n- \beta )+\beta (a_n- \alpha )|\leqslant |(a_n b_n-a_n \beta )+(a_n -\alpha )\beta |\leqslant |a_n||b_n-\beta |+|a_n- \alpha ||\beta |\leqslant r|b_n-\beta |+|a_n-\alpha |\beta
- w:hu:Időegyenlet 87 E=0,171\sin(0,0337t + 0,465) + 0,1299\sin(0,01787t - 0,168)\!\,
- w:hu:Időegyenlet 89 E=595^s \sin(198^\circ + 1,9713^\circ t)+ 441^s \sin (175^\circ + 0,9856^\circ t)\!\,
- w:hu:Kettősviszony 57 (ABGN) = 0,5 :(-4) = -0,125
- w:hu:Négyzetfok 13 {(\pi/180)^2=3,0462{\times {10^{-4}}}}
- w:hu:Kamatozás 69 V_1 = V_0 \cdot(1 + r)^t=1000 \cdot (1 + 0,11)^\frac{1}{2}=1000 \cdot \sqrt{1,11} \approx 1053,565
- w:hu:Kamatozás 79 e \approx 2,718
- w:hu:Tizenhatszög 32 T =4a^2\cot\left(\frac{\pi}{16}\right) =4a^2\left(1+\sqrt2+\sqrt{4+2\sqrt2)}\right) \approx\mbox{20,109358}\cdot a^2
- w:hu:Tizenhatszög 36 a =2R\sin\left(\frac{\pi}{16}\right) =R\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}} \approx\mbox{0,390181}\cdot R
- w:hu:Tizenhatszög 38 T =8R^2\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) =4R^2\sqrt{2-\sqrt2} \approx\mbox{3,061467}\cdot R^2
- w:hu:Vickers-keménység 23 {H_V} = \frac{F}{A} \approx \frac{1,854F}{d^2}
- w:hu:Norton-tétel 42 I_\mathrm{teljes} = {15 \mathrm{V} \over 2\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \| (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega)} = 5,625 \mathrm{mA}
- w:hu:Norton-tétel 51 = 2/3 \cdot 5,625 \mathrm{mA} = 3,75 \mathrm{mA}
- w:hu:CFM 23 \frac{(1ft)^3}{min}*\frac{(0,3048m)^3}{1ft^3}*\frac{1min}{60sec}
- w:hu:CFM 29 \frac{(1ft)^3}{min}*\frac{(0,3048m)^3}{ft^3}*\frac{(100cm)^3}{(1m)^3}*\frac{1ml}{(1cm)^3}*\frac{1l}{1000ml}*\frac{1min}{60sec}
- w:hu:CFM 31 {1cfm}=\frac{0,47195l}{s}
- w:hu:Fogasléc 28 v = \frac {d}{2} \cdot \omega = \frac {z \cdot m}{2} \cdot \frac {2\pi \cdot n}{60} = 4,774649 z \cdot m \cdot n\,
- w:hu:Lemniszkáta 41 k\approx 2c \cdot 1,8541 \,
- w:hu:Lemniszkáta 66 3,708a
- w:hu:Herfindahl–Hirschman-index 65 0,8883^2+0,1117^2=0,8016
- w:hu:Herfindahl–Hirschman-index 121 0,143^2+ 0,130^2+ 0,110^2+ 0,108^2+ 0,083^2+ 0,076^2+ 0,064^2+ 0,043^2+ 0,033^2+ 0,029^2=0,082
- w:hu:Herfindahl–Hirschman-index 123 {0,181 \over 7}=0,026
- w:hu:Herfindahl–Hirschman-index 123 0,082+0,026=0,108
- w:hu:Herfindahl–Hirschman-index 123 0,181 \over k
- w:hu:Kaczmarz–Steinhaus-módszer 105 x_{n} = 0,999999...
- w:hu:Kaczmarz–Steinhaus-módszer 108 y_{n} = 0,999999...
- w:hu:Összetételi arány 145 \frac {0,3 \mbox{ kg}}{0,78 \mbox{ m}^3}=0,385 \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}
- w:hu:Tömegspektrográf 17 e=1,602*10^{-19}
- w:hu:Wikipédia:Tudakozó/Archívum/2009-09-18 152 t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100 000\,m}{0,016\,\frac{m}{s^2}}} = 3535\,s\,\approx 1
- w:hu:Háromfázisú váltakozó áramú teljesítmény mérése 23 P=\sqrt{3}\cdot U\cdot I\cdot\cos\varphi=\sqrt{3}\cdot 240 V\cdot 1 A\cdot 1=415,69219 W
- w:hu:Filmhang 250 \frac{24000}{1001} = 23,976
- w:hu:Dielektrikum 28 \varepsilon _0\approx 8,852\cdot 10^{-12}{\mbox{As} \over \mbox{Vm}}
- w:hu:Nap-sugár 21 1\,R^{N}_{\odot} = 6,957\times 10^8\,\hbox{m} = 0,004652\,\hbox{CsE}
- w:hu:Wien-hidas oszcillátor 23 1:3,162
- w:hu:Szerkesztő:Martin 2/piszkozat 139 \xi=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1} = \frac{2+\sqrt{12}}{2} = 1+\sqrt{3} \approx 2,732050808\dots
- w:hu:Erőtér 65 g = \gamma {M \over r^2}={(6,67 \cdot 10^{-11}} {{\mbox{m}^3} \over \mbox{kg} \cdot \mbox{s}^2}) \cdot {{5,97 \cdot 10^{24} \,\ \mbox{kg}} \over (6,37 \cdot 10^6 \,\ \mbox{m})^2}={9,80665 \,\ {\mbox{m} \over \mbox{s}^2}}
- w:hu:Erőtér 74 G= \gamma {M m \over r^2}={(6,67 \cdot 10^{-11}} {{\mbox{m}^3} \over \mbox{kg} \cdot \mbox{s}^2}) \cdot {{{5,97 \cdot 10^{24} \,\ \mbox{kg}} \cdot 1\,\ \mbox{kg} } \over (6,37 \cdot 10^6 \,\ \mbox{m})^2}={9,80665 \,\ {\mbox{m kg} \over \mbox{s}^2}}=9,80665 \mbox{N}
- w:hu:Shamir-féle titokmegosztás 55 \left(1,1494\right);\left(2,1942\right);\left(3,2578\right);\left(4,3402\right);\left(5,4414\right);\left(6,5614\right)\,\!
- w:hu:Shamir-féle titokmegosztás 62 \left(x_0,y_0\right)=\left(2,1942\right);\left(x_1,y_1\right)=\left(4,3402\right);\left(x_2,y_2\right)=\left(5,4414\right)\,\!
- w:hu:RGB színtér 31 \begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}=\frac{1}{0,17697}\begin{bmatrix}0,49&0,31&0,20\\0,17697&0,81240&0,01063\\0,00&0,01&0,99\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}
- w:hu:Szerkesztő:Jzana/Nedves levegő 182 \rho_v = 0,008 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}
- w:hu:Szerkesztő:Jzana/Nedves levegő 188 x = 0,008\cdot \frac{8,31446 \cdot 293,15}{10^5\cdot 0,02896} \frac{\text{kg}}{\text{kg}}=0,00673 \frac{\text{kg}}{\text{kg}}
- w:hu:Arany spirál 40 |b| = {\ln{\phi} \over 90} = 0,0053468\,
- w:hu:Arany spirál 42 |b| = {\ln{\phi} \over \pi/2} = 0,306349\,
- w:hu:Arany spirál 54 c = \phi ^ \frac{1}{90} \doteq 1,0053611
- w:hu:Arany spirál 58 c = \phi ^ \frac{2}{\pi} \doteq 1,358456
- w:hu:Gépipari tűrések 33 ~44,975
- w:hu:Permittivitás 31 \varepsilon_0 = \frac{1}{c_0^2 \mu_0}= 8,854187817\cdot 10^{-12}\frac\text{As}\text{Vm}
- w:hu:Aranymetszés módszere 45 \varphi= \frac{1+\sqrt{5}}{2}= 1,618033988\ldots
- w:hu:Finomszerkezeti állandó 69 \alpha = \frac{e^2}{(4 \pi \varepsilon_0) \hbar c} = 7,297\,352\,5664(17) \times 10^{-3}= \frac{1}{137,035\,999\,139(31)}.
- w:hu:Finomszerkezeti állandó 109 \alpha^{-1} = 137,035\,999\,084(51).
- w:hu:Finomszerkezeti állandó 439 \alpha = \frac{\cos \left(\pi/137 \right)}{137} \ \frac{\tan \left(\pi/(137 \cdot 29) \right)}{\pi/(137 \cdot 29)} \approx \frac{1}{137,0359997867}
- w:hu:Kozmikus sebesség 48 G = (6,67428\pm 0,00067) \cdot 10^{-11}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}
- w:hu:IUPAC jelölésrendszer 127 V_{m; -10}^g = 8,4085 \frac{m^3}{mol}
- w:hu:Fotometria 69 \mathrm{1\ cd\ =\ 1,107\ HK}
- w:hu:Fotometria 71 \mathrm{1\ HK\ =\ 0,903\ cd}
- w:hu:Szerkesztő:Szalakóta/érdekességek és kvíz - archív4 96 g_{\phi}=9,780 318 \left( 1+0,0053024\sin^2 \phi-0,0000058\sin^2 2\phi \right) - 3,086 \times 10^{-6}h
- w:hu:Driftsebesség 52 V={-0,00028} \text { m/s}\,\!
- w:hu:Szerkesztő:Jzana/szintablazat 160 p_{\mathrm {MPa}}=6,11657 \cdot 10^{-4}-415,5 \left [ \left (\frac {T_\mathrm K} {273,16} \right)^{8,38} -1 \right]
- w:hu:Szerkesztő:Jzana/Tápanyagok 713 Haycock\ BSA_{\mbox {m}^2}=0,024265\, \left ({\frac{h}{\mbox{cm}}}\right )^{0,3964}\, \left (\frac{m}{\mbox{kg}}\right)^{0,5378}
- w:hu:Szerkesztő:Jzana/Tápanyagok 715 Gehan\ and\ George\ BSA_{\mbox{m}^2}= 0,0235\, \left (\frac{h}{\mbox{cm}}\right)^{0,42246}\, \left (\frac{m}{\mbox{kg}}\right)^{0,51456}
- w:hu:Normálellenállás 43 I={0,06V \over 10 \Omega}=0,006 A
- w:hu:Normálellenállás 46 U=R \cdot I=0,009615385 \Omega \cdot 1,5 A=0,14423078 V
- w:hu:Normálellenállás 46 R=R_n \cdot {R_m \over R_n+ R_m}={2,5 \cdot 0,1 \over 2,5+0,1} =0,009615385 \Omega
- w:hu:Normálellenállás 47 U=R \cdot I=0,00996016 \Omega \cdot 15 A=0,1494024 V.
- w:hu:Normálellenállás 47 R={R_n \cdot R_m \over R_n+ R_m}={2,5 \cdot 0,01 \over 2,5+0,01 }=0,00996016 \Omega
- w:hu:Szerkesztő:Jzana/kalória 18 \frac {1}{380}=0,0026
- w:hu:Szerkesztő:Jzana/kalória 22 \frac{0,001}{0,239}=0,00418
- w:hu:Szerkesztő:Jzana/kalória 24 \frac{0,1}{4186,8}=0,00002388
- w:hu:Logádellenállás 35 I =\sqrt{0,5}=0,7071067 A= 707,1067 mA
- w:hu:Logádellenállás 38 I =\sqrt {0,5 \cdot 3300000 \Omega)}=0,0003162 A=316,2 \mu A
- w:hu:Gompertz-eloszlás 36 x^*=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta\right)\text {with }0 < F\left(x^*\right)<1-e^{-1} = 0,632121
- w:hu:Láncszabály 35 f(h)=10,1325e^{-0,0001h}
- w:hu:Láncszabály 37 f'(h)=-10,1325e^{-0,0001h}
- w:hu:Láncszabály 45 (f \circ g)'(t) = \big(\mathord{-}10,1325e^{-0,0001(4000 - 4.9t^2)}\big)\cdot\big(\mathord{-}9,8t\big).
- w:hu:Centrifuga 31 \text{RCF} = 1,11824396 \cdot 10^{-5} \cdot r \cdot n^2
- w:hu:Határréteg 52 c_{es}= \frac {1,328}{\sqrt{Re}}
- w:hu:Határréteg 57 c_{es} =\frac {0,455}{(\lg {Re})^{2,58}}
- w:hu:Határréteg 63 k \approx 0,001
- w:hu:Határréteg 64 k \approx 0,001
- w:hu:Határréteg 65 k \approx 0,001
- w:hu:Határréteg 66 k \approx 0,001
- w:hu:Hatos számrendszer 19 2_6,3_6,5_6,11_6,15_6,21_6,25_6,31_6,35_6,45_6,51_6,101_6,105_6,111_6,115_6,125_6,135_6\ldots
- w:hu:Hatos számrendszer 23 10_6,44_6,2144_6,101344_6,3155033344_6\ldots
- w:hu:Szerkesztővita:Misibacsi/archiv 24 - 2012 jul - szep 1007 \frac{T}{W}=\frac{T}{mg}=\frac{3,820\ \mathrm{MN}}{(5307\ \mathrm{kg})(9,807\ \mathrm{m/s^2})}=0,07340\ \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{N}}=73,40\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}}=73,40
- w:hu:Szerkesztővita:Misibacsi/archiv 24 - 2012 jul - szep 1011 \frac{T}{m}=\frac{3820\cdot10^6\ \mathrm{N}}{5307\ \mathrm{kg}}=719,804\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}
- w:hu:Newton-féle gravitációs törvény 37 = \left(6,67384 \plusmn 0,0008 \right) \times 10^{-11} \ \mbox{N} \ \mbox{m}^2 \ \mbox{kg}^{-2} \ ,
- w:hu:Rámánudzsan-állandó 17 e^{\pi \sqrt{163}} = 262\ 537\ 412\ 640\ 768\ 743,99999999999925\dots
- w:hu:Bakhsálí kézirat 133 \sqrt{889} = \sqrt{29^2 + 48} = 29 + 0,82758 - \frac{(0,82758)^2}{2 \cdot 29,82758} = 29,81609
- w:hu:Bakhsálí kézirat 137 \sqrt{889} = \sqrt{30^2 + (-11)} = 30 + (-0,18333) - \frac{(-0,18333)^2}{2 \cdot (30 + (-0,18333))} = 29,816030704
- w:hu:Grafén 73 \pi\alpha\approx2,29253092131%
- w:hu:Bark-skála 21 \text{Bark} = 13 \arctan(0,00076f) + 3,5 \arctan((f/7500)^2) \,
- w:hu:Ammónia (adatlap) 36 \ln p_{\mathrm{kPa}} = -7,982142 \ln T_\mathrm{K}- \frac{4419,156} {T_\mathrm{K}}+66,0122+1,354822\cdot 10^5 T_\mathrm{K}^2
- w:hu:Ammónia (adatlap) 39 \ln p_{\mathrm{Pa}} = \frac{-3795,37}{T_\mathrm{K}}+28,1484
- w:hu:Ammónia (adatlap) 41 \ln p_{\mathrm{Pa}} = \frac{-2971,98}{T_\mathrm{K}}+23,9304
- w:hu:Ammónia (adatlap) 44 \ln p_{\mathrm{Pa}} = 22,78- \frac{2111,86}{T-45,4868}
- w:hu:Ammónia (adatlap) 46 \ln p_{\mathrm{Pa}} = 22,186- \frac{2262,71}{T-27,562}
- w:hu:Ammónia (adatlap) 46 \log p_{10\ \mathrm{bar}} = 3,1875 - \frac{506,713}{T_\mathrm{K}-80,78}
- w:hu:68–95–99,7 szabály 27 \begin{align} P(\mu-\;\,\sigma \le x \le \mu+\;\,\sigma) &\approx 0,6827 \\ P(\mu-2\sigma \le x \le \mu+2\sigma) &\approx 0,9545 \\ P(\mu-3\sigma \le x \le \mu+3\sigma) &\approx 0,9973\end{align}
- w:hu:Passer rating 31 d = 2,375 - \left ({\text{INT} \over \text{ATT}} \times 25 \right )
- w:hu:Passer rating 43 mm(x) = \text{max}(0, \text{min}(x, 2,375))
- w:hu:Sablon:Pozíciós térkép/Flächentreue Azimutalprojektion 96 {Lat}_{LL} = 156,097\text{° E; } {Lon}_{LL} = 50,496\text{° S}
- w:hu:Sablon:Pozíciós térkép/Flächentreue Azimutalprojektion 104 {Lat}_{UR} = 52,398\text{° E; } {Lon}_{UR} = 25,091\text{° N}
- w:hu:Akusztikus hőmérsékletmérés 55 c_\text{sós víz} = 1492,9 + 3(T - 10) - 0,006(T - 10)^2 - 0,004(T - 18)^2 + 1,2(S - 35) - 0,01(T - 18)(S - 35) + D/61
- w:hu:Akusztikus hőmérsékletmérés 58 c_\text{sós víz} = 1449,2 + 4,6T - 0,055T^2 + 0,0003T^3 + 1,39(S - 35) + 0,017D
- w:hu:Akusztikus hőmérsékletmérés 74 -0,01T^2 + (3,614 - 0,01S)T + 1,38S + 0,01639D + 1412,7 - c = 0
- w:hu:Akusztikus hőmérsékletmérés 80 T = \frac{- (3,614 - 0,01S) + \sqrt {69,569 + 0,0001S^2 - 0,01708S + 0,0006556D - 0,04c}}{-0,02}
- w:hu:Január 0. 20 \frac1{31556925,9747}
- w:hu:Rupert-féle kocka 22 \frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1,0606601.
- w:hu:Rupert-féle kocka 33 \sqrt 6 -\sqrt 2\approx 1,03527
- w:hu:Collatz-sejtés 36 23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1
- w:hu:Eddington-szám 39 \alpha^{-1} = 137,035\,999\,174(35).
- w:hu:Prím zéta-függvény 74 1,63661632\ldots
- w:hu:Prím zéta-függvény 76 0,50778218\ldots
- w:hu:Prím zéta-függvény 78 0,22120334\ldots
- w:hu:Prím zéta-függvény 80 0,10266547\ldots
- w:hu:Prím zéta-függvény 113 0,14076043434\ldots
- w:hu:Prím zéta-függvény 115 0,02380603347\ldots
- w:hu:Prím zéta-függvény 117 0,03851619298\ldots
- w:hu:Prím zéta-függvény 119 0,00304936208\ldots
- w:hu:Euler-szorzat 101 \prod_{p>2} \Big(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\Big) = 0,660161...
- w:hu:Euler-szorzat 105 \frac{\pi}{4} \prod_{p = 1\,\text{mod}\,4} \Big(1 - \frac{1}{p^2}\Big)^{1/2} = 0,764223...
- w:hu:Euler-szorzat 107 \frac{1}{\sqrt{2}} \prod_{p = 3\,\text{mod}\,4} \Big(1 - \frac{1}{p^2}\Big)^{-1/2} = 0,764223...
- w:hu:Euler-szorzat 111 \prod_{p} \Big(1 + \frac{1}{(p-1)^2}\Big) = 2,826419...
- w:hu:Euler-szorzat 115 \prod_{p} \Big(1 - \frac{1}{(p+1)^2}\Big) = 0,775883...
- w:hu:Euler-szorzat 119 \prod_{p} \Big(1 - \frac{1}{p(p-1)}\Big) = 0,373955...
- w:hu:Euler-szorzat 123 \prod_{p} \Big(1 + \frac{1}{p(p-1)}\Big) = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3) = 1,943596...
- w:hu:Euler-szorzat 127 \prod_{p} \Big(1 - \frac{1}{p(p+1)}\Big) = 0,704442...
- w:hu:Euler-szorzat 131 \prod_{p} \Big(1 + \frac{1}{p^2+p-1}\Big) = 1,419562...
- w:hu:Euler-szorzat 135 \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \prod_{p} \Big(1 - \frac{2}{p^2}\Big) = 0,661317...
- w:hu:Euler-szorzat 139 \prod_{p} \Big(1 - \frac{1}{p^2(p+1)}\Big) = 0,881513...
- w:hu:Euler-szorzat 143 \prod_{p} \Big(1 + \frac{1}{p^2(p-1)}\Big) = 1,339784...
- w:hu:Euler-szorzat 147 \prod_{p} \Big(1 - \frac{2p-1}{p^3}\Big) = 0,428249...
- w:hu:Euler-szorzat 151 \prod_{p} \Big(1 - \frac{3p-2}{p^3}\Big) = 0,286747...
- w:hu:Euler-szorzat 155 \prod_{p} \Big(1 - \frac{p}{p^3-1}\Big) = 0,575959...
- w:hu:Euler-szorzat 159 \prod_{p} \Big(1 + \frac{3p^2-1}{p(p+1)(p^2-1)}\Big) = 2,596536...
- w:hu:Euler-szorzat 163 \prod_{p} \Big(1 - \frac{1}{p}\Big)^7 \Big(1 + \frac{7p+1}{p^2}\Big) = 0,0013176...
- w:hu:Közelítő módszerek 138 1,516129
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- w:hu:Közelítő módszerek 267 2,35308495177698507068
- w:hu:Közelítő módszerek 267 13,02905206226310003674
- w:hu:Közelítő módszerek 269 2,35133598927373461071
- w:hu:Közelítő módszerek 269 13,00002158799190549781
- w:hu:Közelítő módszerek 271 2,35133468772147794793
- w:hu:Közelítő módszerek 271 13,00000000001194975726
- w:hu:Közelítő módszerek 273 2,35133468772075748950
- w:hu:Közelítő módszerek 273 13,00000000000000000000
- w:hu:Közelítő módszerek 486 \frac{28}{\log 2}\approx40,39546114489097540649
- w:hu:Számtani-mértani közép 108 \frac{1}{M(1, \sqrt{2})} = G = 0,8346268\dots
- w:hu:Bíbor színek 53 x_b=\frac{x_p+x_k} {2}=\frac {0,7142+0,1664} {2}=0,4403
- w:hu:Bíbor színek 55 y_b=\frac{y_p+y_k} {2}=\frac {0,2859+0,0183} {2}=0,1521
- w:hu:Bíbor színek 72 \varphi_k=\arctan{\frac{y_0-y_k}{x_0-x_k}}=\arctan{\frac{0,31271-0,0183}{0,32902-0,16638}}=241\ \mathrm {fok}
- w:hu:Bíbor színek 76 \varphi_p=\arctan{\frac{y_0-y_p}{x_0-x_p}}=\arctan{\frac{0,31271-0,28583}{0,32902-0,71417}}=-4\ \mathrm {fok}=356\ \mathrm {fok}
- w:hu:Bíbor színek 85 p_e=\frac{y-y_n}{y_d-y_n}=\frac{0,243-0,329}{0,129-0,329}=0,43
- w:hu:Minkowski-dimenzió 91 \dim S=\lim_{n\to\infty}\frac{\log 8^n}{\log\frac{1}{3^{-n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\log 8}{n\log 3}=\lim_{n\to\infty}\frac{\log 8}{\log 3}=\log_{3}8\approx1,89278926071437231130
- w:hu:Műlép 78 \frac{40000}{1,737205t^2}
- w:hu:Erősen összetett számok 421 1,13862 < \liminf \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1,44 \
- w:hu:Biztonságos prímek 27 2 \cdot (1,416,461,893 + 10^{500}) + 1
- w:hu:Teljes hatvány 35 \sum_{p}\frac{1}{p}=\sum_{k=2}^{\infty}\mu(k)(1-\zeta(k)) \approx 0,874464368 \dots
- w:hu:Négyzetteljes szám 55 cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2,173\cdots
- w:hu:Szerkesztő:Misibacsi/próbalap 210 {c_{\text{sós víz}} = 1449 + 4,6T - 0,055T^2 + 0,0003T^3 + 1,39(S - 35) + 0,017D}
- w:hu:Erdős–Moser-sejtés 32 m<1,485 \cdot 10^{9321155}
- w:hu:Szokatlan számok 54 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u(n)}{n} = \ln(2) = 0,693147 \dots\, .
- w:hu:Carmichael-számok 200 C(X) > X^{0,332}
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 111 \sqrt{2} \approx 1,41421
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 111 (1+\sqrt{2})^4 = 17+12\sqrt{2} \approx 33,97056
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 140 1,33333
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 148 34,02778
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 154 1,41176
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 155 33,97224
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 161 1,41379
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 162 33,97061
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 168 1,41414
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 169 33,97056
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 175 1,41420
- w:hu:Háromszögű négyzetszámok 176 33,97056
- w:hu:Debye 28 10^{-10}\mathrm {esu} \approx 0,2083 \cdot \mathrm {e}
- w:hu:Debye 35 8,478353552(52) \cdot 10^{-30}\mathrm {Cm}
- w:hu:Debye 39 1 \mathrm {D} = 3,335664 \cdot 10^{-30}\mathrm {Cm}
- w:hu:Kolosszálisan bővelkedő számok 56 \sigma(n)<e^\gamma n \log\log n \approx 1,781072418 \cdot n \log\log n \,
- w:hu:Prímszámláló függvény 330 \frac {x} {\ln x} < \pi(x) < 1,25506 \frac {x} {\ln x}\!
- w:hu:Champernowne-állandó 51 \frac{60499999499}{490050000000} = 0,123456789\overline{101112\ldots96979900010203040506070809},
- w:hu:Párosítás 82 O(V^{2,376})
- w:hu:Párosítás 131 O(V^{2,376})
- w:hu:Párosítás 204 \tilde{O}(V^{2,376})
- w:hu:Carmichael-függvény 78 \lambda(n) =\begin{cases}\;\;\varphi(n) &\mbox{ha }n = 2,3,4,5,6,7,9,10,11,13,14,17,18,19,22,23,25,26,27,29,\dots\\\tfrac12\varphi(n)&\text{ha }n=8,16,32,64,128,256,\dots\end{cases}
- w:hu:Carmichael-függvény 177 B = e^{-\gamma} \prod_p \left({1 - \frac{1}{(p-1)^2(p+1)}}\right) \approx 0,34537 \ .
- w:hu:Carmichael-függvény 183 A = -1 + \sum_p \frac{\log p}{(p-1)^2} \approx 0,2269688 \ .
- w:hu:Carmichael-függvény 203 \eta=1-\frac{1+\log\log2}{\log2}=0,08607
- w:hu:Beszúró rendezés bináris kereséssel 66 K \leq n(\log _2 n - 0,442)
- w:hu:Szén nanocső 103 d = \frac{a}{\pi} \sqrt{(n^2 + nm + m^2)}\approx 0,078 \cdot \sqrt{((n+m)^2-nm)} \rm \quad [nm]
- w:hu:Rombikuboktaéder 26 \begin{align}A &= \left(18+2\sqrt{3}\right)a^2 &&\approx 21,464\,1016a^2 \\V &= \frac{12+10\sqrt{2}}{3} a^3 &&\approx 8,714\,045\,21a^3.\end{align}
- w:hu:Riemann-féle kszi függvény 49 \xi(1/2) = -\zeta(1/2) \cdot \frac{\Gamma(1/4)}{8\pi^\frac14} = 0,4971207781...
- w:hu:Riemann–Siegel-féle Z-függvény 95 \epsilon > \frac{89}{570}\approx 0,156
- w:hu:Riemann–Siegel-féle théta-függvény 34 3,530972829\ldots
- w:hu:Riemann–Siegel-féle théta-függvény 34 \theta^\prime(0)= -\frac{\ln \pi + \gamma + \pi/2 + 3 \ln 2}{2} = -2,6860917\ldots
- w:hu:Riemann–Siegel-féle théta-függvény 34 \pm 17,8455995405\ldots
- w:hu:Riemann–Siegel-féle théta-függvény 34 \pm 6,289835988\ldots
- w:hu:3-reguláris gráf 86 O({1,276}^n)
- w:hu:Tizenháromszög 28 A = \frac{13}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{13} \simeq 13,1858\,a^2.
- w:hu:Kromatikus polinom 103 (1,\frac{32}{27} \sim 1,185)
- w:hu:Kromatikus polinom 105 (2, \sim 2,546602)
- w:hu:Robert Mayer-egyenlet 26 C_p-C_v = R \ = 8,314
- w:hu:Tizennyolcszög 28 A = \frac{18}{4}a^2\cot\frac{\pi}{18}\simeq 25,5208a^2
- w:hu:Rövidségi kitevő 29 \log_3 2\approx 0,631
huwikibooks
Bearbeiten- b:hu:Numerikus sorozatok/Korlát és határ 169 (0,2;\quad 0,22; \quad 0,222;\quad ...\quad 0,\underset{n\;\mathrm{db}}{\underbrace{22..2}};\quad...\quad)
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 27 \underset{1.}{\underbrace{0,1}};\quad\underset{2.}{\underbrace{0,01}};\quad\underset{3.}{\underbrace{0,001}};\quad...\quad;\underset{n.}{\underbrace{0,\!\overset{n-1\;\mathrm{db}}{\overbrace{0...0}}\!1}};\quad...
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 45 1,5625=(1,25)^2<2<(1,5)^2=2,25\,
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 50 1,8906\approx (1,375)^2<2<(1,5)^2=2,25
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 52 1,375<\sqrt{2}<1,5
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 54 [1,375\,;\,1,5]
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 55 1,8906\approx (1,375)^2<2<(1,4375)^2\approx 2,0664
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 57 1,375<\sqrt{2}<1,4375
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 59 [1,375\,;\,1,4375]
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 60 1,9775\approx (1,40625)^2<2<(1,4375)^2\approx 2,0664
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 62 1,40625<\sqrt{2}<1,4375
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 65 \scriptstyle{1,42\pm 0,016}
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 65 \scriptstyle{\frac{1}{2^6}\approx 0,016}
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 66 (a_n)=(1;\;1,25;\;1,375;\;1,375;\;1,40625;\;...\;)
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 67 (b_n)=(2;\;1,5;\;1,5;\;1,4375;\;1,4375\;...\;)
- b:hu:Numerikus sorozatok/Bevezetés 72 \left(\left(\frac{1}{10}\right)^n\right)=(1;\;0,1;\;0,01;\;0,001;\;0,0001;\;0,00001;...)
- b:hu:Szerkesztő:Jzana/kalória 18 \frac {1}{380}=0,0026
- b:hu:Szerkesztő:Jzana/kalória 22 \frac{0,001}{0,239}=0,00418
- b:hu:Szerkesztő:Jzana/kalória 24 \frac{0,1}{4186,8}=0,00002388
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Bearbeiten- wikt:hu:valós szám 16 1,000\ldots
- wikt:hu:valós szám 16 0,999\ldots
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Bearbeiten- w:hy:Աստղագիտություն 116 3,086 * 10^{13}
- w:hy:Մետր 21 \frac{g}{\pi^2} \cdot 1\,\mathrm c^2 \approx 0,994
- w:hy:RSA 38 PU = (5,119)
- w:hy:RSA 40 PB= (77,119)
- w:hy:Գրիգորյան օրացույց 24 365,2425=365+0,25-0,01+0,0025=365+\frac{1}{4}-\frac{1}{100}+\frac{1}{400}
- w:hy:Ծանրության ուժ 50 P = 9,780318(1 + 0,005302\sin\varphi - 0,000006\sin^22\varphi)m - 0,000003086 Hm.
- w:hy:Ծավալային վերլուծություն 40 0,0098\cdot21.05 = 0.2065
- w:hy:Օգնություն:Բանաձևեր 998 ~\pi=3,1415\dots
- w:hy:Համառանցք մալուխ 88 \lambda_{kr.max}=\frac{6,28}{2,405}(b-a)=2,61(b-a):
- w:hy:Ձայնի կլանում 16 {e= 2,718}
- w:hy:Մագնիսական հաստատուն 25 \mu_0 \approx 1,25663706\times 10^{-6}
- w:hy:Մագնիսական հաստատուն 25 = 1,25663706 \times \ 10^{-6}
- w:hy:Հարմոնիկ շարք 14 C = 0,57721...
- w:hy:Ալիքատար 256 \alpha_m={0,793(0,418+({\lambda_0 \over 2a})) \over a\sqrt{\sigma\lambda(1-\Bigl({\lambda_0 \over 2a}\Bigr)^2})}
- w:hy:Ֆիզիկական հաստատուններ 370 b = c_2/4,965114231...
- w:hy:E թիվ 126 {666 \over 245} \approx 2,718
- w:hy:E թիվ 129 e \approx 4 \cdot \sin 0,747
- w:hy:Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ 35 [192,348] = 2^6 \cdot 3^1 \cdot 29^1 = 5568
- w:hy:Դիսոցման հաստատուն 106 {\alpha} = \frac{-K + \sqrt{K^2 + 4CK}}{2C} = 0,226
- w:hy:Դիսոցման հաստատուն 111 \alpha=\sqrt{\frac{K}{c}} = 0,257
- w:hy:Օսմոսային ճնշում 43 ~\pi=3,1415\cdot \frac {\Delta T_{hal}} {\Delta T_{mol}}
- w:hy:Վակուումի դիմադրություն 57 Z_{0} = \mu_{0} c_0 = 119,9169832 \; \pi \ \Omega
- w:hy:Վակուումի դիմադրություն 59 Z_{0} \approx 376,730\ 313\ 461\ 77 \ldots \Omega
- w:hy:Միկրոշերտավոր գիծ 21 f_\textrm{p}=0,3976Z_\textrm{B}/h
- w:hy:Միկրոշերտավոր գիծ 23 G=\left(\frac{Z_\textrm{B}-5}{60}\right)^{1/2}+0,004Z_\textrm{B}
- w:hy:Միկրոշերտավոր գիծ 26 Z_\textrm{B} = \,\! \begin{cases} \frac{B_\textrm{k}}{2 \pi} \mathrm{ln} \left( \frac{8 h}{w_\textrm{eff}} + 0,25 \frac{w_\textrm{eff}}{h} \right), \frac{w_\textrm{eff}}{h} \le 1 \\ B_\textrm{k} \left( \frac{w_\textrm{eff}}{h} +1,393 + 0,667 \mathrm{ln}\left(\frac{w_\textrm{eff}}{h} + 1,444 \right)\right)^{-1}, \frac{w_\textrm{eff}}{h} \ge 1 \end{cases}, B_\textrm{k} = \frac{z_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{ref(t,f)}}}
- w:hy:Միկրոշերտավոր գիծ 32 \varepsilon_{reft}=\,\!\begin{cases}\varepsilon_{ref}, \frac{t}{h} \le 0,005 \\ \varepsilon_{ref}-\frac{(\varepsilon_{r}-1)t/h}{4,6\sqrt{w/h}}, \frac{t}{h} > 0,005 \end{cases}
- w:hy:Միկրոշերտավոր գիծ 34 \varepsilon_{ref}=\,\! \begin{cases}\frac{\varepsilon_{r}+1}{2}+\frac{\varepsilon_{r}-1}{2}\left(1+\frac{12h}{w}\right)^{-1/2} , \frac{w}{h} \ge 1 \\ \frac{\varepsilon_{r}+1}{2}+\frac{\varepsilon_{r}-1}{2}\left(\left(1+\frac{12h}{w}\right)^{-1/2}+0,041\left( 1-\frac{w}{h}\right)^{2}\right), \frac{w}{h} < 1 \end{cases}
- w:hy:Միկրոշերտավոր գիծ 45 w_\textrm{eff}= \,\! \begin{cases} w, (\Delta w =0),\frac{t}{h} \le 0,005 \\ w + \Delta w ,\frac{t}{h} > 0,005 \end{cases}, \frac{w_\textrm{eff}}{h} = \frac{w}{h} + \frac{\Delta w}{h}
- w:hy:Պիոններ 41 \tau_\pi^+ =\tau_\pi^- =(2,6024 \pm 0,0024)*10^{-8}
- w:hy:Պիոններ 42 m_\pi^+ = m_\pi^- =(139,5688 \pm 0,0064)
- w:hy:Պիոններ 47 m_\pi^0 = (134,9645 \pm 0,0074)
- w:hy:Ցեզիումի քլորիդ 567 \ m=11{,}000-8{,}80\cdot10^{-3}P+3{,}3\cdot10^{-6}P^2+(0{,}0675-4,167\cdot10^{-5}P)\cdot(T-293{,}15)-0{,}81\cdot10^{-4}\cdot(T-293{,}15)^2
- w:hy:Նատրիումի հիպոքլորիտ 270 E^o\mathsf{=1,630B}
- w:hy:Նատրիումի հիպոքլորիտ 272 E^o\mathsf{=1,500B}
- w:hy:Նատրիումի հիպոքլորիտ 278 E^o\mathsf{=0,890B}
- w:hy:Նատրիումի հիպոքլորիտ 280 E^o\mathsf{=0,421B}
- w:hy:Հավասարաչափ տեմպերացված լարվածք 34 f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx {391,995}\,\mathrm{Hz}
- w:hy:Հավասարաչափ տեմպերացված լարվածք 38 f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx {783,991}\,\mathrm{Hz}
- w:hy:Աստղագիտութիւն (արեւմտահայերէն) 117 3,086 * 10^{13}
- w:hy:Մասնակից:Mariam Sargsyan91/Ավազարկղ 106 \lambda_1=0,892159, \lambda_2=-0.95965, \mu_1=0.8871, \mu_2=-0.095148
- w:hy:65537-անկյուն 38 \frac{360^\circ}{65537} \approx 0,005^\circ \approx 0^\circ0'19″,77508888
- w:hy:65537-անկյուն 40 \frac{(65537 - 2)}{65537} \cdot 180^\circ \approx 179,995^\circ = 180^\circ - 0,005^\circ
- w:hy:Ադրիեն-Մարի Լեժանդր 49 \pi(x) \approx \frac {x} {\ln{x} - 1,08366}
- w:hy:Լուսնային պրեցեսիա 21 T_A=27,554551
- w:hy:Լուսնային պրեցեսիա 21 T_S=27,321661
- w:hy:Լուսնային պրեցեսիա 28 T_D=27,2122204
- w:hy:Արևային օրացույց 32 365,25000;\,365,24138;\,365,24242;\,365,24219;...
- w:hy:Արևային օրացույց 40 \frac{97 \cdot 366 + 303 \cdot 365}{400} = \frac{146 097}{400} = 365,2425
- w:hy:Ծննդյան օրերի պարադոքս 144 n \approx \frac{1}{2} + \sqrt{ \frac{1}{4} - 2 \cdot 365 \cdot \ln(0,5) } = 22,9999
- w:hy:Հինգանկիւնային քսանչորսանիստ 24 a = \frac{t+1}{2}b \approx 1,4196434b
- w:hy:Հինգանկիւնային քսանչորսանիստ 35 S = 3(t+1)\sqrt{\frac{22(5t-1)}{4t-3}}\;b^2 \approx 54,7965494b^2,
- w:hy:Հինգանկիւնային քսանչորսանիստ 37 V = \frac{t(3t+1)}{(t-1)\sqrt{2-t}}\;b^3 \approx 35,6302020b^3.
- w:hy:Հատած խորանարդ (արեւմտահայերէն) 29 S = 2\left(6+6\sqrt2+\sqrt3\right)a^2 \approx 32,4346644a^2,
- w:hy:Հատած խորանարդ (արեւմտահայերէն) 31 V = \frac{1}{3}\left(21+14\sqrt2\right)a^3 \approx 13,5996633a^3.
- w:hy:Հատած խորանարդ (արեւմտահայերէն) 34 R = \frac{1}{2}\sqrt{7+4\sqrt2}\;a \approx 1,7788236a;
- w:hy:Հինգանկիւնային վաթսունանիստ 22 a = \frac{1+2\xi}{2(1-2\xi^2)}b \approx 1,7498526b
- w:hy:Հինգանկիւնային վաթսունանիստ 39 S = \frac{30(2+3\xi)\sqrt{1-\xi^2}}{1-2\xi^2}\;b^2 \approx 162,6989642b^2,
- w:hy:Հինգանկիւնային վաթսունանիստ 40 V = \frac{5(1+\xi)(2+3\xi)}{(1-2\xi^2)\sqrt{1-2\xi}}\;b^3 \approx 189,7898521b^3.
- w:hy:Հինգանկիւնային վաթսունանիստ 42 r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+\xi}{(1-\xi)(1-2\xi)}}\;b \approx 3,4995278b,
- w:hy:Զանգվածի պակասորդ 53 -0,073843
- w:hy:Զանգվածի պակասորդ 53 -0,085588
- w:hy:Զանգվածի պակասորդ 53 0,0086648
- w:hy:Զանգվածի պակասորդ 53 +0,045563
- w:hy:Զանգվածի պակասորդ 53 -0,073843+(-0,085588)+3\cdot (0,0086648)=-0,1334366
- w:hy:Զանգվածի պակասորդ 53 236,045563
- w:hy:Զանգվածի պակասորդ 53 +0,045563
- w:hy:Զանգվածի պակասորդ 55 0,045563-(-0,133436)=0,1789996
- w:hy:Քվարցապակի 39 a_1=0,69616630, \quad l_1=0,068404300,
- w:hy:Քվարցապակի 42 a_2=0,40794260, \quad l_2=0,11624140,
- w:hy:Քվարցապակի 45 a_3=0,89747940, \quad l_3=9,8961610
- w:hy:Բազմապատկում 281 e=2,718281828...
- w:hy:Երկրի օրապտույտ 23 \omega = \frac{2 \pi}{T} \approx 7,2921158553 \cdot 10^{-5}
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Bearbeiten- s:hy:Էջ:Հայկական Սովետական Հանրագիտարան (Soviet Armenian Encyclopedia) 7.djvu/603 14 \varepsilon \sim 0,025
iawiki
Bearbeiten- w:ia:Electromagnetismo 34 \epsilon_0 = 8,854187817 \cdot 10^{-12} \frac{A \cdot s}{V \cdot m}
- w:ia:Electromagnetismo 36 \mu_0 = 12,566370614 \cdot 10^{-7} \frac{V \cdot s}{A \cdot m}
- w:ia:Equationes de Maxwell 30 \epsilon_0 = 8,854187817 \cdot 10^{-12} \frac{A \cdot s}{V \cdot m}
- w:ia:Equationes de Maxwell 32 \mu_0 = 12,566370614 \cdot 10^{-7} \frac{V \cdot s}{A \cdot m}
- w:ia:Appendice:Lista de constantes mathematic 413 x \in (3,8284; 3,8495)
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Bearbeiten- w:id:Elektron 952 \begin{alignat}{2} v & = c\sqrt{1\ - \gamma^{-2}} \\ & = 0,999\,999\,999\,95\,c. \\\end{alignat}
- w:id:Bumi 599 \left ( \frac{1}{3 \cdot 332,946} \right )^{\frac{1}{3}} = 0.01
- w:id:Kalender 131 JD = 1720994,5 + INT(365,25*Y) + INT(30,6001(M + 1)) + B + D
- w:id:Konstanta Planck 102 h=6,6261\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}
- w:id:Konstanta Planck 108 \hbar\equiv\frac{h}{2\pi}=1,0546\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}.
- w:id:Kecepatan 36 c = 299,792,458 \ m/s
- w:id:Atom 51 \begin{smallmatrix}\frac{1836}{1837} \approx 0,9995\end{smallmatrix}
- w:id:Turunan 137 L(190) = - 75 + 7,220 - 3,610
- w:id:Turunan 138 L(190) = 3,535
- w:id:PH 32 E = E^0 + \frac{RT}{nF} \log_e(a_\mbox{H}); \qquad \mathrm{pH} = \frac{E^0-E}{2,303 RT/F}
- w:id:PH 42 \text{pH(X)} - \text{pH(S)} = \frac{E_\text{S} - E_\text{X} }{2,303RT/F}
- w:id:Minyak bumi 116 Q_v = 12,400 - 2,100d^2
- w:id:Segi lima 21 A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1,72048 a^2
- w:id:Plutonium 176 \mathrm{^{238}_{\ 92}U\ +\ ^{1}_{0}n\ \longrightarrow \ ^{239}_{\ 92}U\ \xrightarrow[23,5 \ menit]{\beta^-} \ ^{239}_{\ 93}Np\ \xrightarrow[2,3565 \ hari]{\beta^-} \ ^{239}_{\ 94}Pu}
- w:id:Plutonium 182 \mathrm{^{238}_{\ 92}U\ +\ ^{2}_{1}D\ \longrightarrow \ ^{238}_{\ 93}Np\ +\ 2\ ^{1}_{0}n \quad;\quad ^{238}_{\ 93}Np\ \xrightarrow[2,117 \ hari]{\beta^-} \ ^{238}_{\ 94}Pu}
- w:id:Aritmetika cepat 97 99,343\ :\ 10 = 9,9343 \!
- w:id:Aritmetika cepat 99 1,348\ :\ 10 = 0,1348 \!
- w:id:Aritmetika cepat 101 0,0028\ :\ 10 = 0,00028 \!
- w:id:Permutasi 224 {(10-1)!} = 362,880 cara
- w:id:Permutasi 230 {5!}{3!}{2!}{3!} = 8,640 cara
- w:id:0,999... 16 \ 0,(9)
- w:id:0,999... 16 0,\bar{9}
- w:id:0,999... 16 0,\dot{9}
- w:id:0,999... 45 \begin{align}0,333\dots &{} = \frac{1}{3} \\3 \times 0,333\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\ 0,999\dots &{} = 1\end{align}
- w:id:0,999... 54 \begin{align}0,111\dots & {} = \frac{1}{9} \\9 \times 0,111\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\ 0,999\dots & {} = 1\end{align}
- w:id:0,999... 60 1 = \frac{9}{9} = 9 \times \frac{1}{9} = 9 \times 0,111\dots = 0,999\dots
- w:id:0,999... 78 \begin{align}x &= 0,999\ldots \\10 x &= 9,999\ldots \\10 x - x &= 9,999\ldots - 0,999\ldots \\9 x &= 9 \\x &= 1 \\0,999\ldots &= 1\end{align}
- w:id:0,999... 83 b_0,b_1b_2b_3b_4b_5\dots
- w:id:0,999... 90 b_0 , b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .
- w:id:0,999... 93 |r| < 1
- w:id:0,999... 93 ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.
- w:id:0,999... 95 r=\textstyle\frac{1}{10}
- w:id:0,999... 96 0,999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\,
- w:id:0,999... 104 0,999\ldots = \lim_{n\to\infty}0,\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,
- w:id:0,999... 106 \lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0
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- w:id:0,999... 135 \begin{align}1-(\tfrac{1}{10})^n\end{align}
- w:id:0,999... 135 \begin{align}\tfrac{a}{b}<1\end{align}
- w:id:0,999... 146 \left(1 - 0, 1 - {9 \over 10}, 1 - {99 \over 100}, \dots\right) = \left(1, {1 \over 10}, {1 \over 100}, \dots \right)
- w:id:0,999... 149 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{10^n} = 0.
- w:id:0,999... 187 0,\bar{9} \approx 1
- w:id:0,999... 251 \ldots999 = 9 + 9(10) + 9(10)^2 + 9(10)^3 + \cdots = \frac{9}{1-10} = -1.
- w:id:Heksagon 41 A = \frac{3 \sqrt{3}}{2}s^2 \simeq 2,598076211 s^2.
- w:id:Daya listrik 36 8\,\mbox{W} = 220\,\mbox{V} \cdot 0,0363636\,\mbox{A}
- w:id:Elektronegativitas 263 \chi = 0,359{{Z\star}\over{r^2_{\rm cov}}} + 0,744.
- w:id:Aryabhata 39 \pi \approx \frac{62,832}{20,000} = 3.1416
- w:id:Volume molar 38 V_m = \frac{0,082 \ liter \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1} \ . \ 273 \ K}{1 \ atm} = 22,4 \ liter \ mol^{-1}\,
- w:id:Volume molar 41 V_m = \frac{0,082 \ liter \ atm \ mol^{-1} \ K^{-1} \ . \ 298 \ K}{1 \ atm} = 24 \ liter \ mol^{-1}\,
- w:id:Daya kuda 29 \mathit{Daya} = \frac{\mathit{Usaha}}{\mathit{Waktu}} = \frac{\mathit{Gaya} \times \mathit{jarak}}{\mathit{waktu}} = \frac{(180 \mbox{ lbf})(2.4 \times 2 \pi \times 12 \mbox{ ft})}{1\ \mbox{min}}=32,572 \frac{\mbox{ft} \cdot \mbox{lbf}}{\mbox{menit}}.
- w:id:Wikipedia:Warung Kopi (Lain-lain)/Arsip/Februari 2012 82 D = 32,596 \times 3,0035 \times 0,75 = 73,448
- w:id:Wikipedia:Warung Kopi (Lain-lain)/Arsip/Februari 2012 86 D = 32,596 \times 2,544 \times 0,7178 = 59,52
- w:id:Wikipedia:Warung Kopi (Lain-lain)/Arsip/Februari 2012 95 D = 32,137 \times 2,544 \times 0,7178 = 58,68
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- w:id:Daftar tangan dalam poker 70 \frac {52!}{(52-5)!} = \frac {52!}{47!} = 52\times51\times50\times49\times48 = 311,875,200
- w:id:Nilai dan vektor Eigen 143 \vec{v}_1 = \begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}
- w:id:Larutan dapar 34 \frac{dn}{d(pH)}=2,303\left(\frac{C_AK_a[H^+]}{\left(K_a+[H^+]\right)^2}\right)
- w:id:Deret Balmer 91 4/(3,6450682\times 10^{-7}
- w:id:Pengguna:Hysocc/SMKLMKimia11/Termokimia 212 1 \times 6 = n \times 0,082 \times 300
- w:id:Pengguna:Hysocc/Buku/Termokimia 222 1 \times 6 = n \times 0,082 \times 300
- w:id:Kalor peleburan 110 x_2 = \exp {\left(- \frac {28\ 100 \mbox{ J mol}^{-1}} {8,314 \mbox{ J K}^{-1} \mbox{ mol}^{-1}}\left(\frac{1}{298}- \frac{1}{442}\right)\right)}= 0,0248
- w:id:Kalor peleburan 114 \frac{0,0248*\frac{1\ 000 \mbox{ g}}{18,053 \mbox{ mol}^{-1}}}{1-0,0248}*151,17 \mbox{ mol}^{-1} = 213,4
- w:id:Angka besar 45 2^{77,232,917}-1
- w:id:Kesetimbangan kelarutan 33 \log(^*K_{A}) = \log(^*K_{A \to 0}) + \frac{\gamma A_\mathrm{m}} {3,454RT}
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Bearbeiten- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Kalor 155 =\!0,988 MJ
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Kalor 200 =\!3,6561 MJ
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 37 =\!16(\!1+\!0,000012\times\!(120-20))
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- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 43 =\!16(\!1+\!0,0012)
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 46 =\!16\times\!1,0012
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 49 =\!16,0192 m
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 70 =\!20(\!1+\!0,000024\times\!(25-15)
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 73 =\!20(\!1+\!0,000024\times\!10
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 76 =\!20(\!1+\!0,00024
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 79 =\!20\times(\!1,00024)
- b:id:Subjek:Fisika/Materi:Pemuaian 82 =\!20,0048 cm^2
- b:id:Pelayaran Sungai dan Danau/Dasar-dasar Kapal 310 K_3 = \frac {1.25 \cdot (GT + 10,000)}{10.000}
- b:id:Rumus-Rumus Fisika Lengkap/Teori kinetik gas 78 k = \frac {R} {N_{A}} = \frac {8314 J/kmol K} {6,022 \times 10^{23} partikel} = 1,38 \times 10^{-23} J/K
iowiki
Bearbeiten- w:io:Informo-teorio 130 {N \over 3}(0.512 + 3 \times 0.128 \times 3 + 3 \times 0.032 \times 5 + 0.008 \times 5) = 0,728N
iswiki
Bearbeiten- w:is:Veldi (stærðfræði) 30 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = 0,001 \!
- w:is:Notandi:Ævar Arnfjörð Bjarmason/tmp 53 D \cdot \frac{|2 \pi \frac{D}{2}-2 \cdot 3,1416 \frac{D}{2}|}{2 \pi \frac{D}{2}}
- w:is:Notandi:Ævar Arnfjörð Bjarmason/tmp 57 D \cdot \frac{|2 \pi \frac{D}{2}-2 \cdot 3,141592656 \frac{D}{2}|}{2 \pi \frac{D}{2}}
- w:is:Óræðar tölur 21 \sqrt{2} = 1,414213...
- w:is:GRS-80 15 f = \frac{1}{298,257222101}
- w:is:Tugabrot 41 0,459459459...\overline{}
- w:is:Tugabrot 41 0,333...\overline{}
- w:is:Rafsegulgeislun 62 c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \cdot \mu_0}} \approx 2,998 \cdot 10^8 m/s
- w:is:Birtustig 20 \sqrt[5]{100} \approx 2,512
- w:is:Orkuleiðrétt mjólk 19 kg OLM = M\times(0,01+0,122\times f+0,077\times p+0,053\times l)
- w:is:Orkuleiðrétt mjólk 22 kg OML = (0,383 \times f+0,242 \times p+0,7832) / 3,140
- w:is:Teygni 26 \frac{123}{124}=0,992=\theta verd
- w:is:Teygni 36 \frac{1}{0,992}=0,8%
- w:is:Stærsti samdeilir 18 \operatorname{ssd}(121,363)
- w:is:Stærsti samdeilir 24 \operatorname{ssd}(121,363) = 121
- w:is:Avogadrosartala 18 N_A = (6,022 \, 141 \, 79\pm 0,000 \, 000 \, 30)\,\times\,10^{23} \mbox{ mol}^{-1} \,
- w:is:Nernst-jafnan 18 E = E^{0} - \frac{0,059}{n} \ln Q
iswikibooks
Bearbeiten- b:is:Afstæðiskenningin/Afstæði massa 25 c = 2,988 \cdot 10^8 m/s
- b:is:Afstæðiskenningin/Afstæð hraðasamlagning 24 c = 2,998 \cdot 10^8 m/s \quad
- b:is:Afstæðiskenningin/Tímarúmið 39 c = 2,998 \cdot 10^8 m/s
itwiki
Bearbeiten- w:it:Analisi della varianza 108 SSQ_{tot} = 0,1176
- w:it:Analisi della varianza 109 SSQ_a = 0,1000
- w:it:Analisi della varianza 110 SSQ_e = 0,0176
- w:it:Analisi della varianza 112 T = \frac{0,1000 / (4 - 1)}{0.0176 / (20 - 4)} = \frac{0,1000 \cdot 16}{0,0176 \cdot 3} = 30,30
- w:it:Approssimazione di Stirling 28 \left.\frac{n! - \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}}{n!}\right|_{n=30} = 0,002773... \approx 0,28%.
- w:it:Elo 78 (1613 + 32(2,5 - 2,867)) = 1601
- w:it:Elo 78 (0,506 + 0,686 + 0,785 + 0,539 + 0,351) = 2,867
- w:it:Elo 80 (1613 + 32(3 - 2,867)) = 1617
- w:it:Isotopo 55 \frac{^{18}O}{^{16}O}=0,0020052
- w:it:Isotopo 57 \frac{^{2}H}{^{1}H}=0,00015576
- w:it:Isotopo 59 \frac{^{13}C}{^{12}C}=0,011237
- w:it:Isotopo 61 \frac{^{15}N}{^{14}N}=0,003677
- w:it:Isotopo 63 \frac{^{34}S}{^{32}S}=0,045
- w:it:Magnitudine assoluta 55 M_V = 0,12 - 5 \cdot \left(\log_{10} \frac{860}{3,2616} - 1\right) = -7,02.
- w:it:Magnitudine assoluta 58 M_V = 0,03 + 5 \cdot (1 +\log_{10}{0,129}) = +0,6.
- w:it:Nebulosa di Orione 37 1,270 \times \tan \frac{66'}{2} = 12\;anni\;luce\;di\;raggio
- w:it:Radice quadrata 63 [0,100)
- w:it:Richard Feynman 70 \frac{1}{243} = 0,00411522633744 \ldots
- w:it:Distribuzione esponenziale 95 P(T<\tfrac{1}{2}\tau)=F(\tfrac{1}{2}\tau)=1-e^{-\lambda\frac{1}{2}\tau}=1-e^{-\frac{1}{2}}\approx 0,393
- w:it:Distribuzione esponenziale 97 P(T>2\tau)=1-F(2\tau)=e^{-\lambda \tau}=e^{-2}\approx 0,135
- w:it:Distribuzione geometrica 103 \textstyle P(T=10)\ =\ \frac{1}{6}(\frac{5}{6})^9\ =\ 0,032...
- w:it:Distribuzione geometrica 106 \textstyle P(T\leqslant 10)\ =\ 1-(\frac{5}{6})^{10}\ =\ 0,838...
- w:it:Distribuzione geometrica 109 \textstyle P(T=10|T>9)\ =\ P(T=1)\ =\ \frac{1}{6}\ =\ 0,166...
- w:it:Problema dei neutrini solari 32 L = 3,864 \cdot 10^{33} \ \frac{erg}{s}
- w:it:Problema dei neutrini solari 34 n_\nu = 1,851 \cdot 10^{38} \ \frac{neutrini}{s}
- w:it:Problema dei neutrini solari 42 \Phi_\nu = 6,588 \cdot 10^{10} \ \frac{neutrini}{s \; \times \; cm^2}
- w:it:Problema dei neutrini solari 164 A_{DN} = \frac{D - N}{0,5 \; (D + N)} = -0,021 \; \pm \; 0,020 \; ^{+0,013}_{-0,012}
- w:it:Fotone 73 E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \simeq \frac{(6,626 \times 10^{-34}\ \mathrm{Js})( 3 \times 10^8\ \mathrm{m s^{-1}} )}{4,5\times 10^{-7}\ \mathrm{m}} \simeq 4,4 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}
- w:it:Fotone 297 m_\gamma = \frac{h \nu}{c^2} = \frac{6,62607 \times 10^{-34}\ \mathrm{Js} \times 5,4945 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}}{2,9979^2 \times 10^{8 \times 2}\ \mathrm{m^2/s^2}} = 4,050884989 \times 10^{-36}\ \mathrm{kg}
- w:it:Fotone 299 1\ \mathrm{kg} = m_\gamma^{-1} \times 1\ \mathrm{kg} \times m_\gamma = 1,4755215 \times 10^{40}\ m_\gamma
- w:it:Temperatura 255 k_\mathrm{B} = 8,6173324\left( 78 \right)\times10^{-5} \mathrm{\ eV \,K^{-1}}
- w:it:Temperatura 261 T = 8,6173324\left( 78 \right)\times10^{-5} \mathrm{\ eV \,K^{-1}} \times 300{,}15 \mathrm K = 25{,}9 \, \mathrm {ceV}
- w:it:Costante di Faraday 21 F = 96.485,3365(21) \ C \ mol^{-1}
- w:it:Rigel 145 \begin{smallmatrix} r_l = 2,512^x \approx 2,512^{2,43} \approx 9,4 \end{smallmatrix}
- w:it:Vega 146 \begin{smallmatrix}10^{-0,5}=0,316\end{smallmatrix}
- w:it:Variabile RR Lyrae 57 \, \log P_f = 11,242 + 0,841 \log L - 0,679\log M - 3,41 \log T_e
- w:it:Variabile RR Lyrae 59 \, \frac{\log P_f}{\log P_fo} = 11,242 + 0,841 \log L - 0,679\log M - 3,41 \log T_e
- w:it:Variabile RR Lyrae 89 \, \frac{\log P_f}{\log P_fo} = 11,242 + 0,841 \frac{\log L}{\log L_o} - 0,679\frac{\log M}{\log M_o} - 3,41 \log T_e
- w:it:Variabile RR Lyrae 97 \, \log P_F = 11,242 + 0,84A - 3,41 \log T_e
- w:it:Nana bianca 184 \hbar \equiv \frac{h}{2\pi} = 1,054\ 571628(53) \times 10^{-34} Js
- w:it:Raggi cosmici 135 105,658389 \plusmn 0,000034 MeV/{c}^2
- w:it:Raggi cosmici 135 \tau _{\mu} = 2,19703 \plusmn 0,00004 \mu s
- w:it:Sistema numerico esadecimale 92 \frac{79}{16}=4,9375
- w:it:Sistema numerico esadecimale 93 0,9375\times16=15
- w:it:Stella di Barnard 106 \begin{smallmatrix}m_1 - m_2 = -2,5 \log_{10} \left({ (1,82)^2 \over (1,15)^2} \right) = -0,975\end{smallmatrix}
- w:it:Stella di Barnard 223 r_l = 2{,}512^x \approx 2{,}512^{0{,}5} \approx 1,585
- w:it:Forza di Coulomb 56 \varepsilon_0 = 8,854 \ 187 \ 82 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{C^2 m^{-2} N^{-1}}
- w:it:Minimo comune multiplo 84 \operatorname{mcm}(45,120,75) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800.
- w:it:Sezione aurea 235 1,618
- w:it:Sezione aurea 247 1,618\dots
- w:it:Sezione aurea 247 0,618\dots
- w:it:Sezione aurea 249 0,618\dots
- w:it:Sezione aurea 383 \pi=3,14159265358979323846264338327950...
- w:it:Sezione aurea 409 \varphi=1,61803398874989484820458683436563...
- w:it:19 (numero) 68 1/19 = 0,052631578947368421
- w:it:Carica elementare 23 e = 1,602\ 176\ 565(35)\times10^{-19} C
- w:it:Algoritmo genetico 75 T_0 \in [5,100]
- w:it:Numero primo di Sophie Germain 32 C_2=\prod_{p>2} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\approx 0,660161
- w:it:Congettura dei numeri primi gemelli 32 c = 0,085786\ldots
- w:it:Congettura dei numeri primi gemelli 43 C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0,66016118158468695739278121100145\ldots
- w:it:Pi greco 155 1,618\dots
- w:it:Pi greco 225 2\pi = 6,2831853071795865
- w:it:Numero razionale 83 1/3 = 0,\bar 3 = 0,333...
- w:it:Numero razionale 84 50/41 = 1, \overline{21951} = 1,219512195121951...
- w:it:Numero razionale 85 3/4 = 0,75\bar 0 = 0,75000... = 0,75
- w:it:Numero razionale 86 1 = 1,\bar 0 = 1,00000...
- w:it:Numero razionale 90 0,11010010001\cdots
- w:it:Numero razionale 92 0,23571113...
- w:it:Numero reale 13 1/3=0,333333\ldots
- w:it:Numero reale 13 \pi=3,141592\ldots
- w:it:Numero reale 35 324,823211247\ldots
- w:it:Numero reale 43 0,\bar 9 = 0,999\ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = 9\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{10^n}-1\right) = 9\left(\frac{1}{1-1/10}-1\right)=1.
- w:it:Ottaedro 32 A=2\sqrt{3}a^2 \approx 3,46410162a^2.
- w:it:Ottaedro 33 V={1 \over 6}d^3=\frac{1}{3} \sqrt{2}a^3 \approx 0,471404521a^3.
- w:it:Beta Pictoris 78 \begin{smallmatrix}\frac{L_\text{stella}}{L_{\odot}} = 2,512^{2,41} = 9,2\end{smallmatrix}
- w:it:Beta Pictoris 88 \begin{smallmatrix}\mathit{D}_* = {\tan 0,00000023583} \cdot {63,4}\end{smallmatrix}
- w:it:Successione di Fibonacci 23 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, \dots
- w:it:Successione di Fibonacci 46 \frac{1}{\phi} = 0,6180339887\ldots
- w:it:Successione di Fibonacci 215 \phi\approx 1,618>1
- w:it:Successione di Fibonacci 215 3,35988566624;
- w:it:Glossario di trigonometria 212 95,1508
- w:it:Piede (unità di misura) 55 \text{1 survey ft}= \frac{1200}{3937}\; \text{m} \approx \text{0,304 800 61 m}
- w:it:Radiazione elettromagnetica 426 Z_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 376,730\ 313\ 461\ 77 \ldots \Omega\simeq 120\pi \Omega \simeq 377 \Omega
- w:it:Funzione zeta di Riemann 268 \zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1,645
- w:it:Funzione zeta di Riemann 270 \zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1,0823
- w:it:Funzione zeta di Riemann 272 \zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945} \approx 1,0173
- w:it:Funzione zeta di Riemann 280 \zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1,202,
- w:it:Funzione zeta di Riemann 282 \zeta(5) = 1 + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5} + \cdots \approx 1,0369,
- w:it:Funzione zeta di Riemann 284 \zeta(7) = 1 + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7} + \cdots \approx 1,0083.
- w:it:Funzione zeta di Riemann 289 \zeta(3/2) \approx 2,612
- w:it:Funzione zeta di Riemann 291 \zeta(5/2) \approx 1,341
- w:it:Funzione zeta di Riemann 293 \zeta(7/2) \approx 1,127
- w:it:Numero trascendente 28 \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0,110001000000000000000001000\ldots
- w:it:Concentrazione di quantità di sostanza 41 n_{NaCl}=\frac {m_{NaCl}} {M_{NaCl}} = \frac {146\; \mathrm{g}}{58\; \mathrm{g / mol}} = 2,517 \, \mathrm{mol}
- w:it:Concentrazione di quantità di sostanza 45 c_{NaCl}=\frac {n_{NaCl}}{V} = \frac {2,517 \, \mathrm{mol}}{0,500 \, \mathrm{dm}^{3}} = 5,03 \, \frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{dm}^{3}}
- w:it:Tau Ceti 80 \begin{smallmatrix} \mu^{2} = (-1721,05 \cdot cos(-15,937^\circ))^{2} + 854,16^{2} = 3468259,605 \end{smallmatrix}
- w:it:Flusso 105 P = 4 \, \pi \, d^2 I(d) = 4 \pi \left ( 1,496 \cdot 10^{11} \right )^2 1360,8 W = 382,6 \pm 0,1 YW
- w:it:Effetto termoionico 58 A_0 = {4 \pi m k^2 e \over h^3} = 1,20173 \times 10^6\,\mathrm{A\,m^{-2}\,K^{-2}}
- w:it:Luminosità (astronomia) 36 E = h \nu = 6,625 \times 10^{-34} J\times s \times 30 MHz = 1,988 \times 10^{-26} J
- w:it:Luminosità (astronomia) 38 E = 3,975 \times 10^{-19}J
- w:it:WMAP 141 0{,}166^{+0,076}_{-0{,}071}
- w:it:WMAP 184 0{,}732^{+0,031}_{-0{,}032}
- w:it:Q di Yule 61 a = (0,074 / 0,333) / (0,296 / 0,296) = 0,222
- w:it:Q di Yule 62 q = (0,222-1)/(0,222+1) = -0,636
- w:it:Q di Yule 77 q=-0,636
- w:it:Q di Yule 87 q=-0,448
- w:it:Permeabilità magnetica 22 {\mu}_0 = 1,25663706144...\cdot 10^{-6}
- w:it:Metodo delle secanti 30 p= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618
- w:it:Deficit pubblico 81 d=-0,0168=-1,68\%
- w:it:Deficit pubblico 93 -0,0168=d=\frac{D_0}{Y_0}=\frac{D_0}{1666}
- w:it:Volume molare 29 V_m= \frac{8,314472 \times 273,15}{101,325} \times 10^{-3} \ m^3/mol = 22,41399 \ L/mol
- w:it:Frattale 172 z = e^{\frac{z^2 - 1,00001\cdot z}{\sqrt{c^3}}}
- w:it:Frattale 173 z = e^{\frac{z^2 - 1,00001\cdot z}{c^3}}
- w:it:Spazio metrico completo 83 x_0=1 \ \ x_1=1,4\ \ x_2= 1,41\ \ x_3=1,414\ \ x_4=1,4142\ \ldots \ x_n = \frac{ \lfloor 10^n \sqrt{2} \rfloor }{10^n}
- w:it:Coda sonora 22 t = 0,1625 \frac{V}{A}
- w:it:Potenza (matematica) 38 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = 0,001.
- w:it:Massa solare 34 M_{\odot}=( 1,98855\ \pm\ 0,00025 )\ \times10^{30}\hbox{ kg}
- w:it:Test dei run 53 \textstyle \sigma=\sqrt{3,25}=1,802...
- w:it:Test chi quadrato 53 \chi^2 = {(388-333,333)^2\over333,333}+{(322-333,333)^2\over333,333}+{(314-333,333)^2\over333,333}+{(316-333,333)^2\over333,333}+{(344-333,333)^2\over333,333}+{(316-333,333)^2\over333,333}= 12,616
- w:it:Indice di correlazione di Pearson 65 \rho_{XY} = 0,9844
- w:it:Raggio di Schwarzschild 25 8,869 \cdot 10^{-3}
- w:it:Irraggiamento 84 C_1=3,7418\cdot\!10^{-16}\,\,W\!\cdot\! m^2
- w:it:Irraggiamento 85 C_2=1,4388\!\cdot\!10^{-2}\,\,m\!\cdot\!K
- w:it:Tempo di ritorno 108 R[x(T)] = 1 - (1-\frac{1}{T})^{N} = 1 - (1-\frac{1}{10})^{50} = 0,9948
- w:it:Tuono 58 d = V_s \cdot T_s=0,343 \cdot T_s
- w:it:Petroliera 108 S_r=0,430+0,002L_c
- w:it:Temperamento equabile 50 9/8 = 1,125
- w:it:Temperamento equabile 50 10/9 \simeq 1,111
- w:it:Temperamento equabile 50 \sqrt[12]{2} \times \sqrt[12]{2} \simeq 1,1224
- w:it:Viscosità 315 1,074\times 10^{-3}
- w:it:Massimo comun divisore 28 \operatorname{MCD}(242,375)=1
- w:it:Stella 536 2,512^{\Delta{m}} = \Delta{L}
- w:it:Proxima Centauri 473 \begin{smallmatrix}m\ =\ M_v\ -\ 5 (\log_{10} \pi + 1)\ =\ 4,83\ -\ 5(\log_{10}\ 0,77199\ +\ 1)\ =\ 0,40.\end{smallmatrix}
- w:it:Temperatura di colore 37 b = 2,897 768 5(51) \times 10^{-3} \; \mathrm{m \; K}
- w:it:Serie armonica 106 \frac{\pi^2}{6} \approx 1,644934
- w:it:Temperamento mesotonico 28 \sqrt[4]{5}\ \approx 1,4953...
- w:it:Temperamento mesotonico 61 5 {\sqrt[4] {125} \over 16} \approx 1,045
- w:it:Stazza 63 V = \frac{50 \times \ln 10 \times TSL}{W(500,000,000,000 \times \ln 10 \times TSL)}
- w:it:Equazione di Nernst 35 E = E^0 + \frac{0,05916}{n} \log\frac{\Pi [\mbox{ox}]_i^{\nu_{ox}}}{\Pi [\mbox{red}]_i^{\nu_{red}}}
- w:it:Equazione di Nernst 47 E = E^0 + \frac{0,05916}{n} \log\frac{[A]^a [B]^b}{[C]^c [D]^d}
- w:it:Equazione di Nernst 56 E = E^0 + \left(\frac{0,05916}{2}\right) \log [Cu^{2+}]
- w:it:Equazione di Nernst 62 E = E^0 + \left(\frac{0,05916}{5}\right) \log\left(\frac{[MnO_4^-][H^+]^8}{[Mn^{2+}]}\right)
- w:it:Equazione di Nernst 68 E = E^0 - \left(\frac{0,05916}{5}\right) \log\left(\frac{[MnO_4^-][H^+]^8}{[Mn^{2+}]}\right)
- w:it:IEEE 754 109 1110110,1 = 1,1101101 \cdot 2^6
- w:it:IEEE 754 169 -14,3125_{10}
- w:it:IEEE 754 170 1110,0101_2
- w:it:IEEE 754 170 0,3125_{10} = 0,0101_2
- w:it:IEEE 754 171 1110,0101_2 = 1,1100101_2 * 2^3
- w:it:Teraelettronvolt 20 1\ TeV = 10^{12} eV =1,6022 \cdot 10^{-7}J
- w:it:Matrice CKM 25 \begin{bmatrix} 0,97383^{+0,00024}_{-0,00023} & 0,2272^{+0,0010}_{-0,0010} & (3,96^{+0,09}_{-0,09})\times 10^{-3} \\ 0,2271^{+0,0010}_{-0,0010} & 0,97296^{+0,00024}_{-0,00024} & (42,21^{+0,10}_{-0,80})\times 10^{-3} \\ (8,14^{+0,32}_{-0,64})\times 10^{-3} & (41,61^{+0,12}_{-0,78})\times 10^{-3} & 0,999100^{+0,000034}_{-0,000004} \end{bmatrix}
- w:it:Attività (chimica) 274 \log \gamma_{\pm} = - 0,509 \cdot z_+ \cdot z_- \cdot \sqrt[]{I}
- w:it:Teorema di Norton 83 I_\mathrm{tot} = {15 \mathrm{V} \over 2\,\mathrm{k}\Omega + (1\,\mathrm{k}\Omega \| (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega))} = 5,625 \mathrm{mA}
- w:it:Neper 27 1\ \mbox{Np} = \frac{20}{\ln 10}\ \mbox{dB} \approx 8,686\ \mbox{dB}
- w:it:Costante di struttura fine 84 \alpha^{-1} = 137,035\,999\,084(51).
- w:it:Wikipedia:Proposte di trasferimento/Wikiversità/Studio di funzione 190 x_1=\frac{1}{9}\left(8-19\sqrt[3]{\frac{2}{299-27\sqrt{85}}}-\sqrt[3]{\frac{299-27\sqrt{85}}{2}}\right)\approx-0,1578
- w:it:Diottria 24 \frac 1 {f_\text{corr}} = \frac 1 F - \frac 1 {f_\text{norm}} = \left(\frac{1}{18} - \frac{1}{17}\right)\cdot10^3 \text{ m}^{-1} = -3,2679 \text{ diottrie}
- w:it:Disuguaglianza di Hoeffding 40 P(S-E[S] \ge 10) \le e^{-\frac{2 10^2}{\sum (6-1)^2}} = e^{-\frac{200 }{10 5^2}} = e^{-\frac{200}{250}} = 0,4493...
- w:it:Perimetro 33 \pi=3,14159265\ldots
- w:it:Costante di Viswanath 27 1,13198824\dots
- w:it:Costante di Viswanath 38 \sqrt[n]{|F_n|} \to 1,13198824\dots \text{ per } n \to \infty \text{ con probabilità } 1.
- w:it:Costante di Viswanath 44 1,618
- w:it:Costante di Landau-Ramanujan 34 K = \lim_{x\to\infty} \frac{N(x)\sqrt{\ln(x)}}{x} = 0,76422365358922066299069873125...
- w:it:Costante di Ramanujan-Soldner 28 \mu \approx 1,451369234883381050283968485892027449493 \dots
- w:it:Costante di Ramanujan-Soldner 52 \ln (\mu) \approx 0,372507410781366634461991866 \dots
- w:it:Costante di Erdős-Borwein 33 E_B=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1} \approx 1,60669 51524 15291 763...
- w:it:Cifra significativa 43 1,060 \times 10^2
- w:it:Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing 38 \lambda = 0,30366300289...
- w:it:Numero di Eddington 35 V = \frac43 \pi (9,2568 \times 10^{27})^3
- w:it:Numero di Eddington 40 N = 12,535 \times (9,2568)^3 \times 10^{81} \times 10^{24} \times 10^{-31} = 9942,7605 \times 10^{74} \simeq 10^{78}.
- w:it:Fosfato 108 \frac{[\mbox{H}_2\mbox{PO}_4^-]}{[\mbox{H}_3\mbox{PO}_4]}\simeq 0,075 \mbox{ , }\frac{[\mbox{HPO}_4^{2-}]}{[\mbox{H}_2\mbox{PO}_4^-]}\simeq 6,2\times10^{-7} \mbox{ , } \frac{[\mbox{PO}_4^{3-}]}{[\mbox{HPO}_4^{2-}]}\simeq 2,14\times10^{-12}
- w:it:Titolazione (tessile) 29 1 \mathrm{Ts} = 34,4482394 \mathrm{tex}
- w:it:Durezza 32 HB = \frac {2 P \times 0,102} {\pi D (D - \sqrt{D^2-d^2} )}
- w:it:Durezza 45 d / D = \cos (\omega / 2) = 0,375
- w:it:Durezza 63 HV = \frac{2P \times 0,102 \times \sin(\omega/2)}{t^2}
- w:it:Durezza 65 \cos(\omega/2)=0,375=(0,25+0,5)/2)
- w:it:Raggio (geometria) 93 \begin{array}{r|ccr|c} n & r_n & & n & r_n\\ \hline 2 & 0,50000000 & & 10 & 1,6180340- \\ 3 & 0,5773503- & & 11 & 1,7747328- \\ 4 & 0,7071068- & & 12 & 1,9318517- \\ 5 & 0,8506508+ & & 13 & 2,0892907+ \\ 6 & 1,00000000 & & 14 & 2,2469796+ \\ 7 & 1,1523824+ & & 15 & 2,4048672- \\ 8 & 1,3065630- & & 16 & 2,5629154+ \\ 9 & 1,4619022+ & & 17 & 2,7210956- \end{array}
- w:it:Parafulmine 93 r = 0,175 * (I^0,8) * h
- w:it:Arrotondamento 48 \alpha = 16,7345
- w:it:Arrotondamento 48 \alpha \approx 16,734 + 0,005 = 16,739
- w:it:Arrotondamento 50 \alpha = 23,7374
- w:it:Arrotondamento 50 \alpha \approx 23,737 + 0,005 = 23,742
- w:it:Radicale (matematica) 27 \sqrt{9} = 3;\quad - \sqrt{25} = -5;\quad \sqrt[3]{8} = 2;\quad -\sqrt[3]{27} = -3 ;\quad \sqrt{2}=1,4142\dots\,,\quad - \sqrt{\pi} = -1,7724\dots
- w:it:Modello logit 47 2,71828
- w:it:Capella (astronomia) 393 \begin{smallmatrix} m_f = -log_{2,512} \left(2,512^{-m_1} + 2,512^{-m_2} \right) \!\ \end{smallmatrix}
- w:it:Scala di Scoville 26 \frac {300.000}{16.000.000} \times 100 = 1,875%
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 144 x_1 = \frac{1}{2} \left( 1,5 + \frac{2}{1,5} \right) = 1,416667
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 145 x_2 = \frac{1}{2} \left( 1,416667 + \frac{2}{1,416667} \right) = 1,414216
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 146 x_3 = \frac{1}{2} \left( 1,414216 + \frac{2}{1,414216} \right) = 1,414214
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 147 x_4 = \frac{1}{2} \left( 1,414214 + \frac{2}{1,414214} \right) = 1,414214
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 170 \sqrt{9,2345}
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 172 \, N=3 ~~\mbox{e}~~ d = 9,2345 - 3^2 = 0,2345
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 176 \sqrt{3^2 + 0,2345} \approx 3 + \frac{0,2345}{6} - \frac{0,2345^2}{216 + 12 \cdot 0,2345}
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 178 \sqrt{3^2 + 0,2345} \approx 3 + 0,039083 - \frac{0,055}{216 + 2,814}
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 180 \sqrt{3^2 + 0,2345} \approx 3 + 0,039083 - 0,000251
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 182 \sqrt{3^2 + 0,2345} \approx 3,038832
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 346 0.5 \times 0,5 \,\, ( 3 - 7 (0,5)^2 ) = 0,312
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 350 \frac{4}{2} + \frac{7}{2 \times 4} = 2,875
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 352 0,5 \times 0,312 \,\, ( 3 - 7 (0,312)^2 ) = 0,362
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 353 \frac{1}{x_2}= 2,762
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 356 \frac{2,875}{2} + \frac{7}{2 \times 2,875} = 2,654
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 358 0.5 \times 0,362 \,\, ( 3 - 7 (0,362)^2 ) = 0.376
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 359 \frac{1}{x_3}= 2,652
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 362 \frac{2,654}{2} + \frac{7}{2 \times 2,654} = 2,645
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 364 0,5 \times 0,376 \,\, ( 3 - 7 (0,376)^2 ) = 0,378
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 365 \frac{1}{x_4}= 2,645
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 367 \sqrt{7} \simeq 2,645
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 368 \sqrt{7} \simeq 2,645
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 414 \sqrt{105,3} = \sqrt{1,053} \times 10
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 418 \sqrt{0,1053} = \sqrt{10,53} \,\div\, 10
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 482 \sqrt{923,45} \,=\, \sqrt{9,2345} \times 10
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 484 \sqrt{9,2345}
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 487 \sqrt{9,2345} \,=\, N + \frac{1}{X}
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 489 \!\; 3^2 \; < \; 9,2345 \; < \; 4^2
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 492 \left( 3^2 - 9,2345 \right) \, X^2 + \left( 2 \, \cdot \, 3 \right) X + 1 \,=\, 0
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 500 X = 25,7519
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 502 \sqrt{9,2345} \,=\, 3 + \frac{1}{25,7519} \,=\, 3,03883
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 508 \sqrt{9,2345} \,=\, 3 + \frac{0,2345}{6 + \frac{0,2345}{6 + \frac{0,2345}{3 + 3} } }
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 510 \sqrt{9,2345} \,\approx\, 3 + \frac{0,2345}{6 + \frac{0,2345}{6 + \frac{0,2345}{3 + 3} } }
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 512 \sqrt{9,2345} \,\approx\, 3,03883
- w:it:Metodi per il calcolo della radice quadrata 516 \sqrt{923,45} \,=\, \sqrt{9,2345} \times 10 \,=\, 30,3883
- w:it:Telecinema 54 \frac{23,976}{29,97} = \frac{4}{5}
- w:it:Modulo di elasticità 189 E_{0} = \frac{E_{din}}{1,062}
- w:it:Unità di misura di Planck 293 e = \sqrt{\alpha} \ q_P = 0,085424543 \ q_P \,
- w:it:Unità di misura di Planck 297 \alpha =\left ( \frac{e}{q_P} \right )^2 = \frac{e^2}{\hbar c 4 \pi \varepsilon_0} = \frac{1}{137,03599911}
- w:it:Funzione G di Barnes 59 A := e^{1/12 -\zeta'(-1)} \approx 1,2824262...
- w:it:Unità atomiche 34 c = 1/\alpha \approx 137,036
- w:it:Miglio orario 90 \frac{2,236\,936-\frac{9}{4}}{2,236\,936}\approx -0,005\,8.
- w:it:Miglio orario 92 \frac{1,609\,344-\frac{8}{5}}{1,609\,344}\approx 0,005\,8
- w:it:Utente:Red devil 666~itwiki/coincidenze matematiche 26 [97; 2,2,3,1,16539,1,1,\ldots]
- w:it:Logaritmo naturale 16 2,71828\ldots
- w:it:Logaritmo naturale 123 \operatorname{Log } e = 0,43429\ldots
- w:it:Numeri primi gemelli 34 2 \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 1,3203236\ldots;
- w:it:Teorema di Goodstein 67 5,363\times{10^{136}}
- w:it:Crittografia quantistica 46 \left |\psi \right \rangle = \frac{1}{\sqrt {2}} [\left|1,V \right \rangle\left|2,V \right \rangle + \left|1,O \right \rangle \left|2,O\right \rangle] = \frac{1}{\sqrt {2}} [\left|1,45 \right \rangle\left|2,45 \right \rangle + \left|1,135 \right \rangle \left|2,135\right \rangle]
- w:it:Classe di consumo energetico 404 P_{ref}=\left\{\begin{array}{ll} 0.88\sqrt{\phi} + 0.049\phi & \phi<1300\mbox{ lm} \\ 0,07341\phi & \phi\geq1300\mbox{ lm}\end{array} \right.
- w:it:Roberto Vacca 62 F = 206,835 - (0,864 * S) - (1,015 * P)
- w:it:Fabbisogno energetico umano 48 \langle \dot Q_0 \rangle \cdot 1d = 655,095 kcal + ( 9,5634 \frac{kcal}{kg} \cdot M) + (1,8496 \frac{kcal}{cm} \cdot H) - (4,6756 \frac{kcal}{y} \cdot T)
- w:it:Fabbisogno energetico umano 49 \langle \dot Q_0 \rangle \cdot 1d = 66,473 kcal + (13,7516 \frac{kcal}{kg} \cdot M) + (5,0033 \frac{kcal}{cm} \cdot H) - (6,775 \frac{kcal}{y} \cdot T)
- w:it:Fabbisogno energetico umano 52 \langle \dot Q_0 \rangle = 31,724
- w:it:Fabbisogno energetico umano 52 + (\frac{0,46312 W}{kg} \quad M) + (\frac{8,9569 W}{m} \quad H) - (\frac{0.22642 W}{y} \quad T)
- w:it:Fabbisogno energetico umano 53 \langle \dot Q_0 \rangle = 3,219
- w:it:Fabbisogno energetico umano 53 + (\frac{0.66593 W}{kg} \quad M) + (\frac{24,229 W}{m} \quad H) - (\frac{0.32809 W}{y} \quad T)
- w:it:Fabbisogno energetico umano 54 \langle \dot Q_0 \rangle = 1,070
- w:it:Fabbisogno energetico umano 54 + (\frac{1,504 W}{kg} \quad M) + (\frac{5,62 W}{m} \quad H)
- w:it:Fabbisogno energetico umano 67 \langle \dot Q_0 \rangle = (31,724 + 0,46312 \cdot 94 + 8,9569 \cdot 1,80 - 0.22642 \cdot 46) W \sim
- w:it:Fabbisogno energetico umano 68 \langle \frac {\partial \dot Q }{\partial v} v \rangle = (1,162 \cdot 85) \, W \cdot \frac {16}{24} \sim
- w:it:Fabbisogno energetico umano 71 \langle \dot Q_0 \rangle = (3,219 + 0.66593 \cdot 96 + 24,229 \cdot 1,60 - 0.32809 \cdot 57) \, W \sim
- w:it:Fabbisogno energetico umano 72 \langle \frac {\partial \dot Q }{\partial v} v \rangle = (1,162 \cdot 65)\, W \cdot \frac{17}{24} \sim
- w:it:Modello Lambda-CDM 47 0,0480^{+0,0072}_{-0,0067}
- w:it:Modello Lambda-CDM 51 0,301^{+0,045}_{-0,042}
- w:it:Modello Lambda-CDM 55 0,124^{+0,083}_{-0,057}
- w:it:Modello Lambda-CDM 63 0,977^{+0,039}_{-0,025}
- w:it:Modello Lambda-CDM 73 0,699^{+0,042}_{-0,045}
- w:it:Modello Lambda-CDM 81 0,917^{+0,090}_{-0,072}
- w:it:Modello Lambda-CDM 109 0,086^{+0,057}_{-0,128}
- w:it:Modello Lambda-CDM 113 -0,075^{+0,047}_{-0,055}
- w:it:Frazione continua 67 3,245 - 3
- w:it:Frazione continua 68 = 0,245
- w:it:Frazione continua 69 1 / 0,245
- w:it:Frazione continua 70 = 4,082
- w:it:Frazione continua 73 4,082 - 4
- w:it:Frazione continua 74 = 0,082
- w:it:Frazione continua 75 1 / 0,082
- w:it:Frazione continua 76 = 12,250
- w:it:Frazione continua 79 12,250 - 12
- w:it:Frazione continua 80 = 0,250
- w:it:Frazione continua 81 1 / 0,250
- w:it:Frazione continua 82 = 4,000
- w:it:Frazione continua 85 4,000 - 4
- w:it:Frazione continua 86 = 0,000
- w:it:Frazione continua 92 3,245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}}
- w:it:Linea elettrica 41 L_l = 0,4606 \ log{\frac{2D}{d}} + K
- w:it:Linea elettrica 47 C_l = \frac{0,02413}{ log{\frac{2D}{d}} }
- w:it:Teoria di Debye-Hückel 85 A=\frac{e^2B}{2,303 \times 8\pi\varepsilon_0\varepsilon_r kT}
- w:it:Temperatura di Planck 64 <E_{\nu_P}>=<E>\frac{1}{2\pi(e-1)} \thickapprox 9,2624\times 10^{-2}\cdot<E>
- w:it:Temperatura di Planck 68 <N_{\nu_P}> \thickapprox 9,2624\times 10^{-2}
- w:it:Temperatura di Planck 74 \lambda_{max}=b\frac{1}{T_P}=b\frac{kc}{c\hbar\nu_P} \thickapprox 1,2655 \cdot l_P
- w:it:Temperatura di Planck 176 5120\pi\sqrt{\frac{G\hbar}{c^5}}=5120\pi t_P \thickapprox 8,6714\times 10^{-16} ys
- w:it:Statcoulomb 17 1\, \mathrm{sC} = 0,1\,\mathrm{Am}/c \approx 3,33564 \times 10^{-10}\, \mathrm{C}
- w:it:Condizione d'equità 48 (1 + 0,075)^n
- w:it:Condizione d'equità 48 1/[(1 + 0,075)^n]
- w:it:Ottagono 31 A = 2a^2 \cot \frac{\pi}{8} = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4,82843 a^2.
- w:it:Ottagono 34 a \frac {1+\sqrt{2}} 2 = a1,207 \dots
- w:it:Gravimetria 24 9,80665 \, m/s^2
- w:it:Modulor 30 \varphi = 1,618 ...
- w:it:Sopraelevazione ferroviaria 28 H_{pb}[mm]=H+H_{d}=11,798 \times \frac{V^{2} [km/h] }{R [m]} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ oppure \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R[m]=11,798 \times \frac{V^{2}[km/h]}{H+H_{d}[mm]}
- w:it:Sopraelevazione ferroviaria 43 H_{pb}=11,798 \times \frac{140^{2}}{1000} = 231,2 \ mm
- w:it:Discussione:Lotto 103 {1 \over 17,59545372}
- w:it:Sistema fotometrico uvby 58 (b-y)_0 = 2,506 - 0,819{\beta} - 0,085 c_1
- w:it:Mappa logistica 40 \delta\simeq 4,669...
- w:it:Mappa logistica 50 \delta = 4,66920...
- w:it:Mappa logistica 51 r\simeq 3,56995
- w:it:Mappa logistica 52 1+\sqrt{8}\simeq 3,82843
- w:it:Orbita areosincrona 23 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 1,4480 \, km/s.
- w:it:Orbita poseidosincrona 26 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 9,046 \, km/s.
- w:it:Orbita adeosincrona 25 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 0,214 \, km/s.
- w:it:Orbita uranosincrona 27 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 8,370 \, km/s.
- w:it:Orbita zenosincrona 26 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 28,141 \, km/s.
- w:it:Orbita cronosincrona 27 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 18,381 \, km/s.
- w:it:Orbita areostazionaria 21 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 1,4480 \, km/s.
- w:it:Orbita adeostazionaria 23 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 0,214 \, km/s.
- w:it:Orbita poseidostazionaria 22 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 9,046 \, km/s.
- w:it:Orbita uranostazionaria 22 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 8,370 \, km/s.
- w:it:Orbita cronostazionaria 22 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 18,381 \, km/s.
- w:it:Orbita zenostazionaria 22 v_{orb} =\frac{2 \pi r_{orb}}{T_{rotaz}} = 28,141 \, km/s.
- w:it:Costante di Apéry 35 \zeta(3)=1,20205\; 69031\; 59594\; 28539\; \ldots
- w:it:Passeggiata aleatoria 71 \mu=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n\pi)^\frac{3}{2}}\approx 0,315
- w:it:Passeggiata aleatoria 73 p=0,239
- w:it:Utente:Lord web 63 \mathbf{C = 10^{(-0,085 -2,146 \cdot\ LogR_{gas)}} }
- w:it:Utente:Lord web 65 \mathbf{LogC = Log0,3 + \frac{(LogR_{gas} - Log1,6)}{-0,466}\ \rightarrow\ LogC = -0,085 -2,146 \cdot\ LogR_{gas} }
- w:it:Utente:Lord web 67 \mathbf m = \frac{(Log0,18 - Log1,6)}{(Log30 - Log 0,3)} = -0,466
- w:it:Utente:Lord web 71 \mathbf{V = 0,0317 \cdot\ Rh(%)\ + 0,827\ \rightarrow\ Rh(%) = \frac{(V + 0,827)}{0,0317} }
- w:it:Utente:Lord web 105 \mathbf{I \simeq I_0 (\exp{-4}- 1) \rightarrow\ exp{4} \simeq 0,014 - 1 \simeq 1 \rightarrow\ I \simeq - I_0 }
- w:it:Utente:Lord web 107 \mathbf{ exp{4} \simeq 0,014 << 1 }
- w:it:Insieme di Julia 30 c= \phi-2;\phi-2+(\phi-1)i; 0,285.
- w:it:Insieme di Julia 37 c= 0,285+0,013i; 0,45-0,1428i; -0,70176-0,3842i; -0,835-0,2321i.
- w:it:Distribuzione di Rayleigh 27 \frac{2\sqrt{\pi}(\pi-3)}{(4-\pi)^{3/2}}\approx0,631
- w:it:Distribuzione di Rayleigh 28 -2\frac{3\pi^2 - 12\pi +8}{(4-\pi)^2}\approx-0,245
- w:it:Distribuzione di Rayleigh 62 \gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}{\pi-3}}{(4-\pi)^\frac{3}{2}}\approx 0,631
- w:it:Distribuzione di Rayleigh 62 \gamma_2=-2\frac{3\pi^2-12\pi+8}{(4-\pi)^2}\approx0,245
- w:it:Legge di Amdahl 53 {\frac{0,11}{1} + \frac{0,18}{5} + \frac{0,23}{20} + \frac{0,48}{1,6}} = 0,4575
- w:it:Legge di Amdahl 54 \frac{1}{0,4575} = 2,186
- w:it:Costante di tempo di un circuito RC 22 0,632= 1 - e^{-1}
- w:it:Costante di tempo di un circuito RC 26 0,368=e^{-1}
- w:it:Tubo 262 P_m = \frac{(D_e - s) \cdot s}{40,549}
- w:it:Banda proibita 142 \varepsilon_s \approx 1,03594\cdot10^{-10} {F \over m}
- w:it:Banda proibita 150 N= 10^{18} \rightarrow \Delta E_g = 0,016 eV
- w:it:Gassogeno 29 (\Delta H = -405,848\;kJ)
- w:it:Gassogeno 35 (\Delta H = 158,992\;kJ)
- w:it:Gassogeno 41 (\Delta H = -244,764\;kJ)
- w:it:Congettura di Legendre 17 \theta = 23/42 = 0,547...
- w:it:Superconduttività 164 \Phi_o=h /2e=2,067\cdot 10^{-15}\ Wb
- w:it:Instabilità a carico di punta 97 \alpha = 0,00010 - 0,00015 - 0,00020
- w:it:Instabilità a carico di punta 98 \alpha = 0,00020 - 0,00060
- w:it:Instabilità a carico di punta 99 \alpha = 0,00010 - 0,00015
- w:it:Coincidenza matematica 26 [97; 2,2,3,1,16539,1,1,\ldots]
- w:it:Utente:Bramfab/secondapagina2 53 {180 \over \pi} = 57,295^.779^.5
- w:it:Discussione:Signoraggio/archivio3 1221 \frac{1 EUR}{1.4228 CAD}=0,7028
- w:it:Discussione:Signoraggio/archivio3 1221 1.68*10^9*0,7028
- w:it:Legge di Dermott 29 T(0) = 0,444 g
- w:it:Legge di Dermott 52 T(0) = 0,462 g
- w:it:Legge di Dermott 77 T(0) = 0,488 g
- w:it:World Football Elo Ratings 151 W_e(DEU)=\frac{1}{10^{-(367-100)/400} + 1}=0,823
- w:it:Formula di Flesch 18 F = 206,835 - (0,846 * S) - (1,015 * P)
- w:it:Indirizzo di memoria 30 2^{32} = 4,294,967,296
- w:it:Analisi dimensionale 87 1 \ \mbox{ft} = 0,3048 \ \mbox{m} \
- w:it:Analisi dimensionale 87 1 = \frac{0,3048 \ \mbox{m}}{1 \ \mbox{ft}} \
- w:it:Analisi dimensionale 89 0,3048 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{ft}}
- w:it:Analisi dimensionale 94 = 1 \ \mbox{m} + 1 \ \mbox{ft} \times 0,3048 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{ft}} \
- w:it:Analisi dimensionale 97 =1 \ \mbox{m} + 1 \ \mbox{ft} \!\!\!\! / \times 0,3048 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{ft} \!\!\!\! /} \
- w:it:Analisi dimensionale 100 =1 \ \mbox{m} + 0,3048 \ \mbox{m} \
- w:it:Analisi dimensionale 103 =1,3048 \ \mbox{m} \
- w:it:Numero di Pisot-Vijayaraghavan 38 \phi^{21} = 24476,0000409
- w:it:Numero di Pisot-Vijayaraghavan 46 \phi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} \approx 1,618033
- w:it:Isolatori in elettrotecnica 23 \rho_{Cu}=0,0178\Omega\frac{mm^2}{m}
- w:it:Quinta giusta 24 \sqrt[12]{2^7} = 1,4983 \ldots
- w:it:Anatocismo 82 {\left(1 + \frac{0,0994}{4}\right)} ^ {4} - 1 = 10,32 %
- w:it:Amaltea (astronomia) 112 m_J=m_T-\log_{2,512}\left(\frac{L_J}{L_T}\right)
- w:it:Bacino idrografico 151 t_c = 0,055 \frac{L}\sqrt[]{p}
- w:it:Utente:Lumage/sandbox 69 S_{xx}=\sum_{i=1}^{7}(x_i-\bar{x})^2=7,848
- w:it:Utente:Lumage/sandbox 71 S_{yy}=\sum_{i=1}^{7}(y_i-\bar{y})^2=8,417
- w:it:Utente:Lumage/sandbox 75 SS_{r}=\frac{S_{xx}\cdot S_{yy}-S_{xy}^2}{S_{xx}}=8,417
- w:it:Utente:Lumage/sandbox 78 \ b=S_{xy}/S_{xx}=-0,262
- w:it:Utente:Lumage/sandbox 81 \sqrt{(n-2)\cdot S_{xx}/SS_{r})}\cdot |B|=3,782
- w:it:Utente:Lumage/sandbox 86 r^2=1-\frac{SSr}{Syy}=0,827
- w:it:Utente:Lumage/sandbox 91 Sp=\frac{(n-1)\cdot S_x^2+(m-1)\cdot S_y^2}{n+m-2}=2,559
- w:it:Utente:Lumage/sandbox 95 S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\cdot \sum_{i=1}^15\cdot (X_i-\bar{X})^2}=187,655
- w:it:Pressione atmosferica 65 P = 0,9877^{(m/100)}
- w:it:Elettrodo di seconda specie 30 E = E^o_{Ag^+/Ag} + 0,05916\log {K_{ps}} - 0,05916\log{[Cl^-]}
- w:it:Elettrodo di seconda specie 34 E = 0,223 V - 0,05916\log{[Cl^-]}
- w:it:Elettrodo di prima specie 28 E = E^o + \frac{0,05916}{n}\log{[M^{n+}]}
- w:it:Problema di Basilea 35 \zeta(2) =\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots \approx 1,644934.
- w:it:Nicolas Léonard Sadi Carnot 154 V_2 = ({267\over268})^{5\over2} \cdot V_1\longrightarrow ({267\over268})^{5\over2} = 0,99609
- w:it:Nicolas Léonard Sadi Carnot 158 {115\over116} = 0,99137
- w:it:Nicolas Léonard Sadi Carnot 286 C_p=1-0,121\cdot\ln({p \over p_o})
- w:it:Nicolas Léonard Sadi Carnot 379 {1,700 \cdot 0,36}=0,611
- w:it:Nicolas Léonard Sadi Carnot 383 1,112
- w:it:Nicolas Léonard Sadi Carnot 399 1,230
- w:it:Nicolas Léonard Sadi Carnot 448 1,112 \cdot 1000 = 1112
- w:it:Malattia renale cronica 122 \mathrm{GFR} = 186 \times S_{cr}^{-1,154}\times \mbox{età}^{-0,203} \times (0,742 \mbox{ : se donna}) \times (1,210 \mbox{ : se afroamericano})
- w:it:Utente:Ariel/Rating 34 4,999
- w:it:Logaritmo integrale 26 x \approx 1,45136 92348 \dots
- w:it:Quantizzazione del flusso 15 \Phi_o=h /2e=2,067833636\cdot 10^{-15}\ Wb
- w:it:Emivita (farmacologia) 27 ln (2) = 0,693...
- w:it:Ettagono 21 2\cos(2\pi/7) \approx 1,247
- w:it:Luminosità solare 20 L_\odot=383,2\ \mathrm{YW}=3,832 \times 10^{26}\ \mathrm{W}=3,832 \times 10^{33}\ \mathrm{erg/s}
- w:it:Termometro a liquido 55 \alpha = 0,00018 K^{-1}
- w:it:Costanti di Stieltjes 28 \gamma_0 = \gamma = 0,577\ldots
- w:it:Costanti di Stieltjes 350 \gamma_1\left(\frac{1}{2}\right) = - 2\gamma\ln 2 - (\ln 2)^2 + \gamma_1 = -1,353459680\ldots
- w:it:Costanti di Stieltjes 365 \begin{array}{l}\displaystyle\gamma_1\left(\frac{1}{4}\right) = 2\pi\ln\Gamma\left(\frac{1}{4} \right) - \frac{3\pi}{2}\ln\pi - \frac{7}{2}(\ln 2)^2 - (3\gamma+2\pi)\ln2 - \frac{\gamma\pi}{2}+\gamma_1 = -5,518076350\ldots \\[6mm]\displaystyle\gamma_1\left(\frac{3}{4} \right) = -2\pi\ln\Gamma\left(\frac{1}{4} \right) + \frac{3\pi}{2}\ln\pi - \frac{7}{2}(\ln 2)^2 - (3\gamma-2\pi)\ln2 + \frac{\gamma\pi}{2}+\gamma_1 = -0,3912989024\ldots \\[6mm]\displaystyle\gamma_1\left(\frac{1}{3} \right) = -\frac{3\gamma}{2}\ln3 - \frac{3}{4}(\ln 3)^2 + \frac{\pi}{4\sqrt{3}}\left\{\ln3 - 8\ln2\pi -2\gamma +12 \ln\Gamma\left(\frac{1}{3} \right) \right\}+ \gamma_1 = -3,259557515\ldots\end{array}
- w:it:Costanti di Stieltjes 384 \begin{array}{l}\displaystyle\gamma_1\left(\frac{2}{3} \right) = -\frac{3\gamma}{2}\ln3 - \frac{3}{4}(\ln 3)^2 - \frac{\pi}{4\sqrt{3}}\left\{\ln 3 - 8\ln 2\pi -2\gamma + 12 \ln\Gamma\left(\frac{1}{3} \right) \right\} + \gamma_1 = -0,5989062842\ldots \\[6mm]\displaystyle\gamma_1\left(\frac{1}{6} \right) = -\frac{3\gamma}{2}\ln3 - \frac{3}{4}(\ln 3)^2- (\ln 2)^2 - (3\ln3+2\gamma)\ln2 + \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}\ln\Gamma\left(\frac{1}{6} \right) \\[5mm]\displaystyle\qquad\qquad\quad- \frac{\pi}{2\sqrt{3}}\left\{3\ln3 + 11\ln2 + \frac{15}{2}\ln\pi + 3\gamma \right\} + \gamma_1 = -10,74258252\ldots\\[6mm]\displaystyle\gamma_1\left(\frac{5}{6} \right) = -\frac{3\gamma}{2}\ln 3 - \frac{3}{4}(\ln 3)^2 - (\ln 2)^2 - (3\ln3+2\gamma)\ln2 - \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}\ln\Gamma\left(\frac{1}{6} \right) \\[6mm]\displaystyle\qquad\qquad\quad+ \frac{\pi}{2\sqrt{3}}\left\{3\ln3 + 11\ln2 + \frac{15}{2}\ln\pi + 3\gamma \right\}+ \gamma_1 = -0,2461690038\ldots\end{array}
- w:it:Costanti di Stieltjes 448 \begin{array}{ll}\displaystyle \gamma_1\biggl(\frac{1}{5} \biggr)=& \displaystyle\gamma_1 + \frac{\sqrt{5}}{2}\left\{\zeta\left( 0,\frac{1}{5}\right) + \zeta\left( 0,\frac{4}{5}\right)\right\}+ \frac{\pi\sqrt{10+2\sqrt5}}{2} \ln\Gamma \biggl(\frac{1}{5} \biggr)\\[5mm]& \displaystyle + \frac{\pi\sqrt{10-2\sqrt5}}{2} \ln\Gamma \biggl(\frac{2}{5} \biggr)+\left\{\frac{\sqrt{5}}{2} \ln{2} -\frac{\sqrt{5}}{2} \ln\big(1+\sqrt{5}\big) -\frac{5}{4}\ln5-\frac{\pi\sqrt{25+10\sqrt5}}{10} \right\}\cdot\gamma \\[5mm]& \displaystyle - \frac{\sqrt{5}}{2}\left\{\ln2+\ln5+\ln\pi+\frac{\pi\sqrt{25-10\sqrt5}}{10}\right\}\cdot\ln\big(1+\sqrt{5}) +\frac{\sqrt{5}}{2}(\ln 2)^2 + \frac{\sqrt{5}\big(1-\sqrt{5}\big)}{8}(\ln 5)^2 \\[5mm]& \displaystyle +\frac{3\sqrt{5}}{4}\ln2\cdot\ln5 + \frac{\sqrt{5}}{2}\ln2\cdot\ln\pi+\frac{\sqrt{5}}{4}\ln5\cdot\ln\pi- \frac{\pi\big(2\sqrt{25+10\sqrt5}+5\sqrt{25+2\sqrt5} \big)}{20}\ln2\\[5mm]& \displaystyle - \frac{\pi\big(4\sqrt{25+10\sqrt5}-5\sqrt{5+2\sqrt5} \big)}{40}\ln5- \frac{\pi\big(5\sqrt{5+2\sqrt5}+\sqrt{25+10\sqrt5} \big)}{10}\ln\pi\\[5mm]& \displaystyle = -8,030205511\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma_1\biggl(\frac{1}{8} \biggr) =& \displaystyle\gamma_1 + \sqrt{2}\left\{\zeta\left( 0,\frac{1}{8}\right) + \zeta\left( 0,\frac{7}{8}\right)\right\}+ 2\pi\sqrt{2}\ln\Gamma \biggl(\frac{1}{8} \biggr)-\pi \sqrt{2}\big(1-\sqrt2\big)\ln\Gamma \biggl(\frac{1}{4} \biggr)\\[5mm]& \displaystyle -\left\{\frac{1+\sqrt2}{2}\pi+4\ln{2} +\sqrt{2}\ln\big(1+\sqrt{2}\big) \right\}\cdot\gamma - \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\pi+8\ln2+2\ln\pi\big)\cdot\ln\big(1+\sqrt{2}) \\[5mm]& \displaystyle - \frac{7\big(4-\sqrt2\big)}{4}(\ln 2)^2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\ln2\cdot\ln\pi -\frac{\pi\big(10+11\sqrt2\big)}{4}\ln2 -\frac{\pi\big(3+2\sqrt2\big)}{2}\ln\pi\\[5mm]& \displaystyle = -16,64171976\ldots \\[6mm]\displaystyle \gamma_1\biggl(\frac{1}{12} \biggr) =& \displaystyle\gamma_1 + \sqrt{3}\left\{\zeta\left( 0,\frac{1}{12}\right) + \zeta\left( 0,\frac{11}{12}\right)\right\}+ 4\pi\ln\Gamma \biggl(\frac{1}{4} \biggr)+3\pi \sqrt{3}\ln\Gamma \biggl(\frac{1}{3} \biggr)\\[5mm]& \displaystyle -\left\{\frac{2+\sqrt3}{2}\pi+\frac{3}{2}\ln3 -\sqrt3(1-\sqrt3)\ln{2} +2\sqrt{3}\ln\big(1+\sqrt{3}\big) \right\}\cdot\gamma \\[5mm]& \displaystyle - 2\sqrt3\big(3\ln2+\ln3 +\ln\pi\big)\cdot\ln\big(1+\sqrt{3}) - \frac{7-6\sqrt3}{2}(\ln 2)^2 - \frac{3}{4}(\ln 3)^2 \\[5mm]& \displaystyle + \frac{3\sqrt3(1-\sqrt3)}{2}\ln3\cdot\ln2 + \sqrt3\ln2\cdot\ln\pi -\frac{\pi\big(17+8\sqrt3\big)}{2\sqrt3}\ln2 \\[5mm]& \displaystyle +\frac{\pi\big(1-\sqrt3\big)\sqrt3}{4}\ln3 -\pi\sqrt3(2+\sqrt3)\ln\pi= -29,84287823\ldots\end{array}
- w:it:Utente:Kar.ma/note 34 {\color{Blue}pigreco}=\pi \approx {\color{Red}3,1416} \,\!
- w:it:Costante di Rydberg 43 h c R_\infty = \frac{e^2}{(4\pi\varepsilon_0)2a_0} = 13,6056923(12) \,\mathrm{eV} \equiv 1 \,\mathrm{Ry} \
- w:it:Rapporto di mescolanza 20 r = \frac{5}{0,995} \; \frac{g}{kg} = 5,025 \; \frac {g}{kg}
- w:it:Numero di Liouville 56 c=\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0,110001000000000000000001000...
- w:it:Costante di Gelfond 31 e^\pi = 23,1406926327...
- w:it:Icosagono 20 A = 5a^2 \cot \frac{\pi}{20} \simeq 31,5688 a^2
- w:it:Decagono 19 A = \frac{5}{2}a^2 \cot \frac{\pi}{10} = \frac{5a^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \simeq 7,69421 a^2.
- w:it:Costruzione dei numeri reali 21 1 = 0,99999999\ldots
- w:it:Utente:Loroli/Rating 40 (1+4,99+4,99999+3,5+0-5+5+3+4+4,5+5+4,999+4+4-5+4,9+5+4,5)/18=2,966055
- w:it:Etilometro 99 Tasso\ alcolico\ [g/l] = \frac{Ga\times V \times 0,008\times 1,055}{P \times K}
- w:it:Criterio di Leibniz 55 s_{10} = \sum_{k=1}^{10}{\frac{(-1)^k}{k}} \approx -0,6456
- w:it:Criterio di Leibniz 59 S = \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^k}{k}} = -\ln{2} \approx -0,6931
- w:it:Criterio di Leibniz 61 |s_{10} - S| \approx |-0,6456+0,6931| = 0,0475 < 0,090909... = \frac{1}{11}
- w:it:Rettangolo aureo 41 \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}= \varphi\approx 1,618
- w:it:Rettangolo aureo 55 \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}= \frac{1}{\varphi}\approx 0,618
- w:it:Concimazione 247 D_{NH_{4}NO_{3}} = \frac{80}{26} \cdot 100 \cdot 8 = 3,0769 \cdot 100 \cdot 8 = 2461,52 kg
- w:it:Dodecagono 16 A = 3 \cot\left( \frac{\pi}{12} \right) a^2 = 3 \left( 2+\sqrt{3} \right) a^2 \simeq 11,19615242 a^2.
- w:it:Algoritmo di fattorizzazione di Shor 41 MCD(440,143)= 11
- w:it:Algoritmo di fattorizzazione di Shor 42 MCD(442,143)= 13
- w:it:Angolo aureo 65 \varphi ^2= \varphi +1 \approx {2,618033}
- w:it:Angolo aureo 68 g \approx \frac{360^\circ}{2,618033}\approx 137,507764^\circ
- w:it:Angolo aureo 69 g \approx \frac{2 \pi}{2,618033}\approx 2.399963 \left [rad\right]
- w:it:Reazione del terreno 224 ESP = \frac{100 \cdot (-0,0126 + 0,01475 \cdot SAR)}{1 + (-0,0126 + 0,01475 \cdot SAR) }
- w:it:Tasso netto di migrazione 22 100.000 \div 1.100.000 = 0,09091
- w:it:Tasso netto di migrazione 26 0,09091 \times 1.000 = 90,91
- w:it:Clorinità 18 S = 1,80655 \cdot Cl
- w:it:Albero di Fibonacci 40 \phi = \frac{(1 + \sqrt{5})}{2} \approx 1,61803...
- w:it:Albero di Fibonacci 42 < 1,44 \ \log (n_h+2)-0,328
- w:it:Triangolo aureo 40 \frac{1}{2} + \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1,618
- w:it:Serbatoio cilindrico 66 \alpha^4 = \frac{1}{4} \frac{E \cdot s}{R^2} \frac{12(1-\nu^2)}{E \cdot s^3} = \frac{3(1-\nu^2)}{R^2 \cdot s^2} \Rightarrow \alpha = \frac{\sqrt[4]{3(1-\nu^2)}}{\sqrt{R \cdot s}} \Rightarrow \frac{1,285}{\sqrt{R \cdot s}} < \alpha < \frac{1,313}{\sqrt{R \cdot s}} \Rightarrow \alpha \simeq \frac{1,3}{\sqrt{R \cdot s}}
- w:it:Deutone 20 B.E. = 2,225 MeV
- w:it:Deutone 23 \mu = +0,8574\ \mu_N
- w:it:Deutone 55 \mu_d = \frac{g_p+g_n}{2}\mu_N = 0,8798 \mu_N
- w:it:Deutone 70 g=g_L\frac{I(I+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2I(I+1)} + g_S\frac{I(I+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2I(I+1)} = g_L\frac{2}{3}-g_S\frac{1}{2}=0,3101
- w:it:Deutone 74 \langle d| \vec{\mu} | d \rangle = A^2_S \langle ^3S_1 | \vec{\mu} | ^3S_1 \rangle + A^2_D \langle ^3D_1 | \vec{\mu} | ^3D_1 \rangle = A^2_S 0,8798 + A^2_D 0,3101
- w:it:Shock 86 CaO_2= (1,39*[Hb]*SatO_2)+(0,003 * PaO_2)
- w:it:Shock 90 DO2= GS*FC * [(1,39*[Hb]*SatO_2)+(0,003 *PaO_2)]
- w:it:Numero indice 20 \ I_{2005,2007}=\frac{59.131.287}{58.462.375}=1,0114
- w:it:Numero indice 23 \ I_{C,L}=\frac{9.545.441}{5.790.187}=1,6486
- w:it:Numero indice 32 \ I_{2005,2006}=\tfrac{58.751.711}{58.462.375}=1,0049
- w:it:Numero indice 33 \ I_{2005,2007}=1,0114
- w:it:Numero indice 35 \ I_{2005,2006}=1,0049
- w:it:Numero indice 36 \ I_{2006,2007}=\tfrac{59.131.287}{58.751.711}=1,0065
- w:it:Numero indice 47 \ I_{2005,2007}=I_{2005,2006}\cdot I_{2006,2007}=1,0049\cdot 1,0065=1,0114
- w:it:Numero indice 51 I_{2006,2007}=\frac{I_{2005,2007}}{I_{2005,2006}}=\frac{1,0114}{1,0049}=1,0065
- w:it:Numero indice 205 \ X_{2000}\cdot\prod_{t=2001}^{2007}L^V_{t-1,t}=X_{2000}\cdot L^V_{2000,2001}\cdot L^V_{2001,2002}\cdot\dots\cdot L^V_{2006,2007}
- w:it:Potenza fiscale 26 PF = 0,14186\,\mathrm{CF} \cdot\left( \frac{V}{1\,\mathrm{cm}^3} \right) ^{0,6541}
- w:it:Costante di von Klitzing 24 \nu=1,235589768 \cdot 10^20 Hz
- w:it:Costante di von Klitzing 26 V=\frac{e}{4\pi\varepsilon R}=5,1099905\cdot 10^5 V
- w:it:Costante di von Klitzing 30 i=e\nu =19,79633915 A
- w:it:Costante di von Klitzing 32 \frac{V}{i}=2,581280586\cdot 10^4 \Omega
- w:it:Costante di von Klitzing 34 \frac{h}{e^2}=2,581280589 \cdot 10^4 \frac{Js}{C^2}
- w:it:Raggio solare 18 R_{\odot} = 6,960\times 10^8\hbox{ m} = 0,004652\hbox{UA}
- w:it:Numeri primi sexy 31 (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109),
- w:it:Numeri primi sexy 32 (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199),
- w:it:Numeri primi sexy 33 (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283),
- w:it:Numeri primi sexy 34 (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389),
- w:it:Numeri primi sexy 35 (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)
- w:it:Endecagono 19 \simeq 9,36564 a^2.
- w:it:Metodo di Laguerre 29 x_1=0,1975496259559987...
- w:it:Metodo di Laguerre 30 x_2=0,2055025290836081...
- w:it:Metodo di Laguerre 31 x_3=0,2055031204717088...
- w:it:Metodo di Laguerre 32 x_4=0,2055031204717088...
- w:it:Metodo di Laguerre 34 x_1=1,0755226110163770...
- w:it:Metodo di Laguerre 35 x_2=1,0756019089596258...
- w:it:Metodo di Laguerre 36 x_3=1,0756019089597004...
- w:it:Metodo di Laguerre 37 x_4=1,0756019089597004...
- w:it:Massa gioviana 18 M_J = 1,89819 \times 10^{27}\hbox{ kg}
- w:it:Massa terrestre 17 M_\oplus=5,97219\times10^{24}\hbox{ kg}
- w:it:Massa lunare 19 M_L=7,3477\times10^{22}\hbox{ kg}
- w:it:Diffusività di materia 79 f_0 = 2,2646 \cdot 10^{15}
- w:it:Scambio di materia 104 \mathit{Sh} = 0,023 \mathit{Re}^{0,8} \mathit{Sc}^{0,33} \;
- w:it:Congettura di Opperman 33 \theta = 23/42 = 0,547...
- w:it:Sottrazione per complemento 54 0,255
- w:it:Sottrazione per complemento 60 1,135
- w:it:Sottrazione per complemento 66 2,015
- w:it:Falso positivo 71 \beta=P(X\leqslant5)=0,144...
- w:it:0,999... 17 0{,}(9)
- w:it:0,999... 17 0{,}\bar{9}
- w:it:0,999... 17 0{,}\dot{9}
- w:it:0,999... 43 0{,}\bar{9} \approx 1
- w:it:0,999... 70 \begin{align}0{,}333\dots &{} = \frac{1}{3} \\3 \times 0{,}333\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\ 0{,}999\dots &{} = 1\end{align}
- w:it:0,999... 80 \begin{align}0{,}111\dots & {} = \frac{1}{9} \\9 \times 0{,}111\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\ 0{,}999\dots & {} = 1\end{align}
- w:it:0,999... 87 1 = \frac{9}{9} = 9 \times \frac{1}{9} = 9 \times 0{,}111\dots = 0{,}999\dots
- w:it:0,999... 105 \begin{align}c &= 0{,}999\ldots \\10 c &= 9{,}999\ldots \\10 c - c &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots \\9 c &= 9 \\c &= 1 \\0{,}999\ldots &= 1\end{align}
- w:it:0,999... 111 b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots
- w:it:0,999... 118 b_0 , b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .
- w:it:0,999... 121 |r| < 1
- w:it:0,999... 121 ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.
- w:it:0,999... 123 r=\textstyle\frac{1}{10}
- w:it:0,999... 124 0{,}999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.
- w:it:0,999... 131 0{,}999\ldots = \lim_{n\to\infty}0{,}\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1
- w:it:0,999... 161 \begin{align}\tfrac{a}{b}<1-(\tfrac{1}{10})^b\end{align}
- w:it:0,999... 161 \begin{align}1-(\tfrac{1}{10})^n\end{align}
- w:it:0,999... 161 \begin{align}\tfrac{a}{b}<1\end{align}
- w:it:0,999... 171 \left(1 - 0,\ 1 - {9 \over 10},\ 1 - {99 \over 100},\ \dots\right) = \left(1,\ {1 \over 10},\ {1 \over 100},\ \dots \right)
- w:it:0,999... 174 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{10^n} = 0.
- w:it:0,999... 188 1/2 = 0{,}111... = 1{,}\underline{111}...
- w:it:Aryabhata 51 \sqrt{10}\approx 3,1622
- w:it:Punti del poker 156 \frac {54,912} {2,598,960} \approx 2.11%
- w:it:SQUID 18 \Phi_o=h /2e=2,067833636\cdot 10^{-15}\ Tm^2
- w:it:16:9 67 \ diagonale_{{16:9}} = diagonale_{{4:3}} \times 1,2238
- w:it:16:9 69 \ diagonale_{{4:3}} = diagonale_{{16:9}} / 1,2238
- w:it:16:9 75 \ altezza_{{cm}}= diag_{{pollici}} \times 1,2452635487
- w:it:16:9 76 \ larghezza_{{cm}}= diag_{{pollici}} \times 2,2138018642
- w:it:Utente:Senet/math 24 k = {\frac{4\pi^2\cdot 50\cdot 10^{-3}kg}{0,537s^2}}
- w:it:Età dell'universo 37 F=0,996
- w:it:Reciproco 20 1/0,625 = 1,6.
- w:it:Reciproco 20 0,625
- w:it:Costante Omega 33 \Omega=0,5671432904097838729999686622...
- w:it:Metodo approssimato per il calcolo delle travi in calcestruzzo armato 29 M_c = C \cdot z = C \cdot 0,9d = \frac{1}{2} \sigma_c bx \cdot 0,9d = \frac{1}{2} \sigma_c b \cdot 0,3d \cdot 0,9d = 0,135 \cdot \sigma_c bd^2
- w:it:Metodo approssimato per il calcolo delle travi in calcestruzzo armato 36 M_{Rc} = 0,135 \cdot \bar \sigma_c bd^2
- w:it:Metodo approssimato per il calcolo delle travi in calcestruzzo armato 43 d^2 = \frac{M_{max}}{0,135 \cdot \bar \sigma_c b} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{M_{max}}{0,135 \cdot \bar \sigma_c b}}
- w:it:Spettro dell'atomo di idrogeno 23 \left( R = 1,0972 \times 10^7 {m}^{-1} \right)
- w:it:Nebulizzazione 40 C_s=4,186\cdot\;\triangle\;T= 4,186\cdot\;80=334,8 kJ
- w:it:Nebulizzazione 61 V = \frac{4}{3}\pi r^{3}= \frac{4}{3}\pi 0.0001^{3}=4,188\cdot\;10^{-15} m^3
- w:it:Nebulizzazione 63 A = 4 \pi r^{2}= 1,256\cdot\;10^{-9} m^2
- w:it:Congettura di Andrica 25 x\approx 0,56714814020201\ldots
- w:it:Miscelazione 247 N_{JS} = \frac{S \mu^{0,1} d_p^{0,2} (g \Delta \rho)^{0,45} B^{0,134}}{\rho_L^{0,55} D^{0,85}}
- w:it:Utente:Daniele Pugliesi/Sandbox/2 103 \frac {Massa\ (NaCl)} {Peso\ molecolare\ (NaCl)} = \frac {146 g}{58,442 g / mol} = 2,50 moli
- w:it:Tempo di corrivazione 27 t_c = 0,055 \frac{L}\sqrt[]{p}
- w:it:Pentadecagono 35 A = \frac{15}{4}a^2\cot\frac{\pi}{15}\simeq 17,6424a^2.
- w:it:Utente:M&M987/Sandbox2 52 G \simeq 6,667 \frac{m^3}{kg \cdot s}
- w:it:Tetradecagono 31 \frac {{2160^\circ}}{{14}}\simeq 154,286^\circ
- w:it:Tetradecagono 35 A = \frac{14}{4}a^2\cot\frac{\pi}{14}\simeq 15,3345a^2
- w:it:Ottadecagono 20 A = \frac{18}{4}a^2\cot\frac{\pi}{18}\simeq 25,5208a^2
- w:it:Pentacontagono 35 A = \frac{50}{4}a^2\cot\frac{\pi}{50}\simeq 198,682a^2
- w:it:Costi esterni dell'energia 53 E_p = mgh = 434,650 \cdot 10^{12} J = 104
- w:it:Utente:MrGiordan/Sandbox/1-Metodo degli scarti 62 media=\frac{19,25+19,42+19,50+...+19,60}{20}=19,326
- w:it:Utente:MrGiordan/Sandbox/1-Metodo degli scarti 64 19,25-19-326=-0,076
- w:it:Utente:MrGiordan/Sandbox/1-Metodo degli scarti 65 19,42-19-326=+0,094
- w:it:Utente:MrGiordan/Sandbox/1-Metodo degli scarti 70 varianza=\frac{-0,076^2+0,094^2+...+0,276^2}{20}=0,011884
- w:it:Utente:MrGiordan/Sandbox/1-Metodo degli scarti 74 \sigma=\sqrt{0,011884}=0,109014\approx0,1
- w:it:IK Pegasi 128 \begin{smallmatrix} R_{\star} = 0,006 \cdot (6,96 \times 10^8)\,\mbox{m}\;\approx 4200\, \end{smallmatrix}
- w:it:IK Pegasi 136 \begin{smallmatrix} \lambda_b = (2,898 \times 10^6 \operatorname{nm\ K})/(35500\ \operatorname{K}) \approx 82\, \end{smallmatrix}
- w:it:Miscela gassosa 104 B_{ij}^0 = 0,083 - \frac{0,422}{T_{r,ij}^{1,6}}
- w:it:Miscela gassosa 106 B_{ij}^1 = 0,139 - \frac{0,172}{T_{r,ij}^{4,2}}
- w:it:Ciclovoltammetria 45 \operatorname I_P = 0,4463zFAC\sqrt{\frac{zFvD}{RT}}
- w:it:Ciclovoltammetria 49 \operatorname I_P = 2,686 \cdot 10^5 \cdot z^{3/2} A D^{1/2} C v^{1/2}
- w:it:Massimo consumo di ossigeno 26 %FC max = 38,35 + 0,643 \times %VO_2max
- w:it:Specificità 61 S_p = \frac {55} {55 + 2} = \frac {55} {57} = 0,965 = 96,5%
- w:it:Utente:M&M987/Sandbox3 128 =\frac{6,674 \cdot 10^{-11} \, Nm^2kg^{-2} \cdot 5,974 \cdot 10^{24} \, kg \cdot 1 \, kg} {(6,373 \cdot 10^6 \, m)^2 }
- w:it:Utente:M&M987/Sandbox3 138 c=2GM/R_T^3 \approx 3,086 \cdot 10^-6 s^{-2}
- w:it:Matematica egizia 193 \pi = 4 \left( \frac{8}{9} \right) ^2 = \approx 3,16049
- w:it:Discussioni utente:Albris 265 -log [\sqrt{0,134 * 1,8 * 10^{-5}} ]
- w:it:Ennadecagono 30 \frac {{3060^\circ}}{{19}}\simeq 161,052^\circ
- w:it:Ennadecagono 34 A = \frac{19}{4}a^2\cot\frac{\pi}{19}\simeq 28,4652a^2
- w:it:Sonreb 29 R_{c}= 7,695.10^{-11}S^{1,4}V^{2,6}
- w:it:Sonreb 30 R_{c}= 2,756.10^{-10}S^{1,311}V^{2,487}
- w:it:Sonreb 31 R_{c}= 8,06.10^{-8}S^{1,246}V^{1,85}
- w:it:Sonreb 32 R_{c}= 1,20.10^{-9}S^{1,058}V^{2,446}
- w:it:Test della Navetta di Léger 29 VO_2max = 5,857 \times V (km/h) - 19,458
- w:it:Diagramma di Pourbaix 35 Eh = E^0 + \frac{0,0592}{n} \log\frac{OX}{Red}
- w:it:Transistor a emettitore comune 40 0,95 \le \alpha \le 0,999
- w:it:Paradosso del sorite 25 \sqrt{2} = 1,41421356\dots
- w:it:Stagionatura del calcestruzzo 82 R = K(\frac{0,6790a}{0,3185a +\frac{a}{c}})^{3}
- w:it:Predittività 57 VPP = \frac {25} {25 + 2} = \frac {25} {27} = 0,926 = 92,6%
- w:it:Predittività 77 VPP = \frac {25} {25 + 200} = \frac {25} {225} = 0,111 = 11,1%
- w:it:Distribuzione beta-binomiale 85 = \frac{260}{53} \ \frac{2}{77} = 0,12741975 = 12,74%
- w:it:Distribuzione beta-binomiale 119 BetaB(X=12,n=50,a_A=2,b_A=9) = 0,04499198
- w:it:Distribuzione beta-binomiale 120 BetaB(X=12,n=50,a_B=11,b_B=6) = 0,0007276656
- w:it:Distribuzione beta-binomiale 121 P(U=A|X=12,n=50)=\frac{ 0,04499198}{0,04499198 + 0,0007276656 }=\frac{ 0,04499198}{0.04571965 } = 0,984084 = 98,4%
- w:it:Utente:ExpArt/Sandbox 31 \, L \ = \vec F \vec s = 1,47 N * (40/100) m = 1,47 N * 0,4 m = 0,588 J
- w:it:Serie di Lyman 33 {1 \over \lambda} = R_\text{H} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) \qquad \left( R_\text{H} \approx 1,0968{\times}10^7\,\text{m}^{-1} \approx \frac{13.6\,\text{eV}}{hc} \right)
- w:it:Two terminal reliability 41 R_{cd}=p^4+3qp^3+q^2p^2=0,94^4+3*0,06*0,94^3+0,06^2*0,94^2=0,93343504 \,
- w:it:Two terminal reliability 76 R_{cd}=p^2+p^3-p^4=0,93343504 \,
- w:it:Two terminal reliability 88 R_{cd}=1-[q+2*q^2]-[3*q^3]+[q^4]=0,93343504 \,
- w:it:Utente:Restu20/Rating 46 (0,52551804339140283609994091444985*\Pi)^3
- w:it:Microscopio 58 d = 0,6098 \frac { \lambda } { A_N }
- w:it:Crescita batterica 56 n=\frac{\log N_t-\log N_0}{\log 2}= \frac{\log N_t-\log N_0}{0,301}
- w:it:Glossario della simbologia matematica 1037 \pi \approx 3,1416
- w:it:Logaritmo 26 e\approx 2,718.
- w:it:Logaritmo 149 0,99999
- w:it:Logaritmo 202 2,718
- w:it:Fattore-g 98 g_\mathrm{e} = -2,002 319 304 3622
- w:it:Fattore-g 98 0,000 000 000 0015
- w:it:Fattore-g 101 g_\mathrm{n} = -3,826 085 45
- w:it:Fattore-g 101 0,000 000 90
- w:it:Fattore-g 104 g_\mathrm{p} = 5,585 694 713
- w:it:Fattore-g 104 0,000 000 046
- w:it:Fattore-g 107 g_{\mu} = -2,002 331 8414
- w:it:Fattore-g 107 0,000 000 0012
- w:it:Aiuto:Sportello informazioni/Archivio/61 1080 a^{-1,154}
- w:it:Aiuto:Sportello informazioni/Archivio/61 1085 (Scr)^{-1,154}
- w:it:Aiuto:Sportello informazioni/Archivio/61 1088 FGR\left(\frac{ml}{min \times 1,73 \times m^2}\right) = {186 \times S_{cr}^{-1,154}\times {et\grave{a}}^{-0,203} \times \begin{matrix} 0,742 & : & \mbox{nelle donne} \\ 1,210 & : & \mbox{negli afroamericani} \end{matrix}}
- w:it:Aiuto:Sportello informazioni/Archivio/61 1092 FGR\left(\frac{ml}{min \times 1,73 \times m^2}\right) = 186 \times S_{cr}^{-1,154}\times {et\grave{a}}^{-0,203} \times \left\{\begin{matrix} 0,742 & : & \mbox{nelle donne} \\ 1,210 & : & \mbox{negli afroamericani} \end{matrix}\right.
- w:it:Aiuto:Sportello informazioni/Archivio/61 1094 \times (0,742 \mbox{ : se donna}) \times (1,210 \mbox{ : se afroamericano})
- w:it:Aiuto:Sportello informazioni/Archivio/61 1100 \mathrm{FGR}\left(\frac{\mathrm{ml}}{\mathrm{min} \times 1,73\,\mathrm{m}^2}\right) = 186 \times S_{cr}^{-1,154}\times \mbox{età}^{-0,203} \times (0,742 \mbox{ : se donna}) \times (1,210 \mbox{ : se afroamericano})
- w:it:Aiuto:Sportello informazioni/Archivio/61 1102 \mathrm{FGR} = 186 \times S_{cr}^{-1,154}\times \mbox{età}^{-0,203} \times (0,742 \mbox{ : se donna}) \times (1,210 \mbox{ : se afroamericano})
- w:it:Falso negativo 67 \alpha=P(X<3)+P(X>7)=112/1024=7/64=0,109...
- w:it:Legge di Wien 92 y = 4,965114231
- w:it:Disco di rottura 49 A = \left( \frac{q}{224,838 \cdot C \cdot p_1} \right) \sqrt {\frac{ZT}{M}}
- w:it:Congettura abc 55 q(4, 127, 131) = \frac {\log(131)} {\log(\operatorname{rad}(4\cdot 127\cdot 131))} = \frac {\log(131)} {\log(2\cdot 127\cdot 131)} = 0,46820...
- w:it:Congettura abc 57 q(3, 125, 128) = \frac {\log(128)} {\log(\operatorname{rad}(3\cdot 125\cdot 128))} = \frac {\log(128)} {\log(30)} = 1,426565...
- w:it:Congettura abc 65 q>1,001
- w:it:Congettura abc 65 q>1,0001
- w:it:Passer rating 39 d = 2,375 - \left ({INT \over ATT} \times 25 \right )
- w:it:Passer rating 51 mm(x) = \text{max}(0, \text{min}(x, 2,375))
- w:it:Histogram matching 23 x_1\in[0,255]
- w:it:Potenziale di riduzione 49 E = E^0 + \frac{0,0002T}{n}\log\frac{[oss]^a}{[rid]^b}
- w:it:Costante di Champernowne 20 C_{10} := 0,12345678910111213141516\dots,
- w:it:Successione di Padovan 29 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49,65,86,114,151,200,265,\dots
- w:it:Curva premolare 21 A \approx 3,47661,
- w:it:Curva premolare 23 P \approx 9,86177.
- w:it:Numero di Fanning 91 f = 0,079 \mathrm{Re}^-{1 \over 4}
- w:it:Numero di Fanning 97 f = 0,079 \mathrm{Re}^-{1 \over 4} + 0,0075\sqrt{\frac {d}{D}}
- w:it:Numero di Fanning 107 {1 \over \sqrt{\mathit{f}}}= -4,0 \log_{10} \left(\frac{\frac{R}{d}}{3,7} + {\frac{1,256}{Re \sqrt{\mathit{f} } } } \right)
- w:it:Numero di Fanning 131 A = \left( -2,457 \ln \left( \left( \frac {7} {Re} \right) ^ {0,9} + 0,27 \frac {e} {D} \right) \right) ^ {16}
- w:it:Utente:Kirk39/sandbox 45 \begin{smallmatrix}m_1 - m_2 = -2,5 \log_{10} \left({ (1,82)^2 \over (1,15)^2} \right) = -0,975\end{smallmatrix}
- w:it:Utente:Pracchia-78/AWB/Da ns:102/Scrittura di numeri con molte cifre 36 {180 \over \pi} = 57,295^.779^.5
- w:it:Funzione W di Lambert 75 W\left(-1\right) \approx -0,31813-1,33723{\rm{i}}
- w:it:Funzione W di Lambert 81 W\left(1\right) = \Omega\approx 0,56714329\dots
- w:it:Idratazione del cemento 112 R = K(\frac{0,6790\alpha}{0,3185\alpha+a/c})^{3}
- w:it:Utente:Edfri/Sandbox1 14 \begin{smallmatrix}m_1 - m_2 = -2,5 \log_{10} \left({ (1,82)^2 \over (1,15)^2} \right) = -0,975\end{smallmatrix}
- w:it:Discussione:Rho Indi 16 R=\frac{1,39095 \times 10^{9} \times 1.1}{2}m = 0.765 \times 10^{9} m
- w:it:Sensibilità (statistica) 61 S = \frac {25} {25 + 4} = \frac {25} {29} = 0,862 = 86,2%
- w:it:Utente:AnMo74/Sandbox 56 x=\frac{-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}+x_{1}= \frac{-13}{-6-13}+58= 58,68421...
- w:it:Raggio classico dell'elettrone 15 r_\mathrm{e} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_{\mathrm{e}} c^2} = 2,8179403267(27) \times 10^{-15} \mathrm{m}
- w:it:Utente:Andreagoo8/Compiti per casa 59 \,c = 299 792,458 km/s\,
- w:it:Utente:DSK/bozze 239 0,01101001100101101001011001101001...
- w:it:Utente:DSK/bozze 241 0,412454033640...
- w:it:Dodecaedro rombico aureo 64 \alpha = 2 \arctan \varphi \approx 116,56505 \approx 116^\circ \, 33' \, 54″
- w:it:Dodecaedro rombico aureo 66 \beta = 2 \arctan \frac{1}{\varphi} \approx 63,43495 \approx 63^\circ \, 26' \, 06″
- w:it:Dodecaedro rombico aureo 84 \frac{d_1}{d_2} = \sqrt{2} \approx 1,41421
- w:it:Dodecaedro rombico aureo 86 \alpha = 2 \arctan \sqrt{2} \approx 109,47122 \approx 109^\circ \, 28' \, 16″
- w:it:Dodecaedro rombico aureo 88 \beta = 2 \arctan \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 70,52878 \approx 70^\circ \, 31' \, 44″
- w:it:Curva di possibilità pluviometrica 50 u = \mu_p - 0,450 \cdot s_p
- w:it:Curva di possibilità pluviometrica 57 \alpha_t = \frac{\sqrt{1,645}}{s} = \frac{1,2825}{s}
- w:it:Curva di possibilità pluviometrica 59 u_t = \mu - \frac{0,5772}{\alpha} = \mu - 0,450 \cdot s.
- w:it:Curva di possibilità pluviometrica 123 \psi = \frac{1}{(1+0,0015 \frac{A}{t^{0,2}})}
- w:it:Curva di possibilità pluviometrica 130 a' = a \cdot (1-0,084 \cdot \frac{A}{100} + 0,007 (\frac{A}{100})^{2})
- w:it:Curva di possibilità pluviometrica 131 n' = n +0,014 \cdot \frac{A}{100}
- w:it:Curva di possibilità pluviometrica 135 n' = (n + 0,003 \cdot A^{0,6})
- w:it:Esperimento di Cavendish 43 G= 6,67408 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ kg}^{-1}\text{ s}^{-2}
- w:it:Numero di Stokes 53 c / c_0 = 1 + (u_{0} / u -1) \left(\frac{1}{1 + \mathrm{Stk} (2 + 0,617 u / u_{0})} - 1\right)
- w:it:Metro al secondo quadrato 37 1\ \frac{m}{s^2}=\frac{1\ \frac{m}{s}}{s}=\frac{3,28084\ \frac{pd}{s}}{s}=3,28084\ \frac{pd}{s^2}
- w:it:Metro al secondo quadrato 39 1\ \frac{m}{s^2}=\frac{1\ \frac{m}{s}}{s}=\frac{2,236936\ mph}{\frac{1}{3\ 600} h}=2,236936\ mph \times \frac{3\ 600}{1\ h}=8\ 052,9696\ mph^2
- w:it:Metro al secondo quadrato 43 \frac{1\ \frac{m}{s^2}}{9,80665\ \frac{m}{s^2}}\approx0,101\,971\,621\,297\,792\,824\,257\,009\,274\,318\,96
- w:it:Birmingham Wire Gauge 79 in = 0,3 \cdot 0,897^{(BWG-1)}
- w:it:HD 80606 b 59 \begin{smallmatrix} m = M_v - 5 (1- \log_{10} 0,0058) = -10,9 \end{smallmatrix}
- w:it:Nu Tauri 64 \begin{smallmatrix}\mathit{D}_* = {\tan 0,000000170556} \cdot {117}\end{smallmatrix}
- w:it:Delta Leporis 66 \begin{smallmatrix}\mathit{D}_* = {\tan 0,00000001275} \cdot {114}\end{smallmatrix}
- w:it:Iota Lupi 73 \begin{smallmatrix}\mathit{D}_* = {\tan 0,00000019167} \cdot {338}\end{smallmatrix}
- w:it:Equalizzazione dell'istogramma 175 [0,255]
- w:it:Colorazione dei grafi 218 O(1,3289^n)
- w:it:Colorazione dei grafi 218 O(1,7272^n)
- w:it:Colorazione dei grafi 218 O(2,445^n)
- w:it:Colorazione dei grafi 232 ((1+\sqrt{5})/2)^{n+m}=O(1,6180^{n+m})
- w:it:Logaritmo iterato 30 e^{1/e}\approx1,444667
- w:it:Accoppiamento (teoria dei grafi) 72 O(V^{2,376})
- w:it:Accoppiamento (teoria dei grafi) 81 O(V^{2,376})
- w:it:Meccanica del contatto 414 \sigma_{0} = \exp\left(-\cfrac{223}{420}\right)\cdot\cfrac{\Delta\gamma}{z_0} \approx 0,588\cfrac{\Delta\gamma}{z_0}
- w:it:Meccanica del contatto 441 \lambda = -0,924 \ln(1-1,02\beta)
- w:it:Abaco di Newmark 31 \mathcal{4}{\sigma}_z=0,005Nq
- w:it:Funzione eta di Dedekind 101 j\Big(\tfrac{1+\sqrt{-163}}{2}\Big) = -640320^3,\quad e^{\pi\sqrt{163}} \approx 640320^3+743,99999999999925\dots
- w:it:Funzione eta di Dedekind 103 j_{2A}\Big(\tfrac{\sqrt{-58}}{2}\Big) = 396^4,\qquad \quad e^{\pi\sqrt{58}}\approx 396^4-104,00000017\dots
- w:it:Funzione eta di Dedekind 105 j_{3A}\Big(\tfrac{1+\sqrt{-89/3}}{2}\Big) = -300^3,\quad e^{\pi\sqrt{89/3}}\approx 300^3+41,999971\dots
- w:it:Approssimazione di Kochański 29 \begin{align} IL&=\sqrt{IK^2+KL^2}=\sqrt{2^2+\left [ \left(1-\tan {30^\circ}\right)+2 \right ]^2}\\&=\sqrt{4+\left ( 3-\frac{1}{3}\sqrt{3} \right )^2} =\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}=3,141533...\approx \pi.\end{align}
- w:it:Approssimazione di Kochański 36 BF=\sqrt{2^2+\left ( 3-\frac{1}{3}\sqrt{3} \right )^2} =\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}=3,141533...\approx \pi.
- w:it:Equazione di Randles-Sevcik 17 \operatorname I_P = 0,4463zFAC\sqrt{\frac{zFvD}{RT}}
- w:it:Equazione di Randles-Sevcik 21 \operatorname I_P = 2,686 \cdot 10^5 \cdot z^{3/2} A D^{1/2} C v^{1/2}
- w:it:Spettroscopia rotazionale 96 \tilde \nu /\mathrm{cm}^{-1}= \frac{1}{\lambda /\mathrm{cm}} = \frac{\nu /\mathrm{s}^{-1}}{c /\mathrm{cm} \ \mathrm{s}^{-1}} = \frac{\nu /\mathrm{s}^{-1}}{2,99792458 \times 10^{10}}
- w:it:Probabilità nel gioco del lotto 115 1 - \left(1-\frac{1}{18}\right)^3 = 1 - \left(\frac{17}{18}\right)^3 = 1 - \frac{4.913}{5.832} = \frac{919}{5.832} = \frac{1}{6,346.028....}
- w:it:Sezione argentea 16 2,41421356237...
- w:it:Sezione argentea 47 \delta_S = 1 + \sqrt{2} = 2,41421356237\dots
- w:it:Notazioni in termodinamica chimica 563 R=\lim_{p \to 0} \left(\frac{pV_\mathrm{m}}{RT}\right)=8,3145
- w:it:Tempo medio di uscita di una stringa 320 \bar{\sigma}^2 = 253288754254,291
- w:it:Tempo medio di uscita di una stringa 322 Z = 0,7224
- w:it:Tempo medio di uscita di una stringa 324 q_{(n-1, \alpha)} = 1,660
- w:it:Quattro quattro 35 0,44444444\ldots = 4/9
- w:it:Funzione softmax 21 (0,024;\ 0,064;\ 0,175;\ 0,475;\ 0,024;\ 0,064;\ 0,175)
- w:it:Utente:Theo 667/Sandbox 137 tasso = \left(\frac {0,806 \times SD \times 1,2}{BW \times Wt} - MR \cdot DP\right) \times 10
- w:it:Datazione al potassio-argo 36 {}^{40}\mathrm{K} +\mathrm{e}^- \rightarrow {}^{40}\mathrm{Ar}+\gamma\,(1,505\,\text{MeV})
- w:it:Datazione al potassio-argo 38 {}^{40}\mathrm{K}\rightarrow {}^{40}\mathrm{Ca}+\beta^{-} (1,311\,\text{MeV})
- w:it:Datazione al potassio-argo 45 t=\frac{1}{\lambda_\epsilon}\left(\frac{{}^{40}\mathrm{Ar}}{{}^{40}\mathrm{K}}\right)=\frac{1}{0,1048\times\lambda}\left(\frac{{}^{40}\mathrm{Ar}}{{}^{40}\mathrm{K}}\right)
- w:it:Avvelenamento da xeno 21 \gamma_x = 0,003
- w:it:Avvelenamento da xeno 36 \gamma_i = tasso\ di\ produzione\ per\ fissione =0,056
- w:it:Avvelenamento da xeno 46 \gamma_x = tasso\ di\ produzione\ per\ fissione =0,003
- w:it:Avvelenamento da xeno 126 \frac{\Sigma_f}{\Sigma_U}\approx0,851
- w:it:Avvelenamento da xeno 127 \frac{\Sigma_f}{\Sigma_U}\approx0,542
- w:it:Profilo di Navarro-Frenk-White 89 \alpha \approx 2,16258
- w:it:Metodo Sosa-Stradonitz 91 N=\lfloor \log_{2}{27} \rfloor = \lfloor 4,75488750... \rfloor = 4
- w:it:Onda di tempesta 45 S_p=(0,070* \Delta P)*F_S*F_M
- w:it:Rapporto tra arte e matematica 42 \approx 1,618
- w:it:Rapporto tra arte e matematica 50 \approx1,325
- w:it:Serie di Kempner 31 22,92067\,66192\,64150\,34816
- w:it:Serie di Kempner 51 228,4463
- w:it:Serie di Kempner 51 2302582,334
- w:it:Serie di Kempner 83 S(9,0)\approx 22,921 < 23,026 \approx 10\ln 10 < S(9,n),
- w:it:Serie di Kempner 104 22,92067
- w:it:Funzione di Kempner 127 \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{S(n)!}=1,09317\ldots
- w:it:Funzione di Kempner 128 \sum_{n=2}^{\infty}\frac{S(n)}{n!}= 1,71400629359162\ldots
- w:it:Funzione di Kempner 129 \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\prod_{i=2}^{n}S(i)}=0,719960700043\ldots
- w:it:Curva del drago di Heighway 73 \log_2\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)\approx 1,523627086202492.
- w:it:Approssimazione per angoli piccoli 55 \begin{align}\sin\theta: \qquad \theta \simeq 0,244 \text{ radianti } (14^\circ)\\\cos\theta: \qquad \theta \simeq 0,664 \text{ radianti } (38^\circ)\\\tan\theta: \qquad \theta \simeq 0,176 \text{ radianti } (10^\circ)\\\end{align}
- w:it:Utente:Albzf/Sandbox1 47 2,71828
itwikibooks
Bearbeiten- b:it:Chimica generale/Teoria atomica 47 6,626 \cdot 10^{-34} J s
- b:it:Chimica generale/Teoria atomica 57 r_0 = 0,053 nm
- b:it:Utente:BlackEagle~itwikibooks/sandbox 2775 \documentclass[a4paper,10pt]{book}\usepackage[latin1]{inputenc}\usepackage[italian]{babel}\usepackage[T1]{fontenc}\usepackage{graphicx}\usepackage{amsfonts}\usepackage{pifont}\title{{\bfseries Formulario di Matematica}\\ v.6.0b}\author{Daniele Angella\thanks{daniele.angella@gmail.com}\\Leonardo Ferro\thanks{leonardoferro@gmail.com}}%\date{08/01/2005}\newtheorem{definizione}{Definizione}\newtheorem{teorema}{Teorema}\newtheorem{lemma}{Lemma}\newtheorem{metodo}{Metodo}\newtheorem{metodo2}{Metodo}\newtheorem{criterio}{Criterio}\newtheorem{notazione}{Notazione}\newtheorem{proposizione}{Proposizione}\newtheorem{osservazione}{Osservazione}\newcommand{\symb}{\Pisymbol{psy}}\begin{document}\maketitle{}\section{Prefazione}\begin{quote}\textbf{Estragone.} Troviamo sempre qualcosa, vero, Didi, perdarci l'impressione di esistere?\\\textbf{Vladimiro} (\emph{spazientito})\textbf{.} Ma sì, ma sì,siamo dei maghi. Non ci lasciamo mai distogliere dalle nostrerisoluzioni. [$\ldots$]\\\vspace{5pt}\begin{flushright}S. Beckett, \emph{Aspettando Godot}\end{flushright}\end{quote}\vspace{8cm} Copyright \copyright 2005 Daniele Angella, Leonardo Ferro. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with the front-Cover Text being: Formulario di Matematica - Daniele Angella, Leonardo Ferro and and anything before this section, following the title itself. You can find a copy of the license on \begin{center}{\ttfamily http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html}.\end{center}\vspace{2cm} Questo documento è stato scritto con \LaTeX{} ed èdisponibile sui siti\begin{center} {\ttfamily http://daniangella.interfree.it}; \end{center}\begin{center} {\ttfamily http://www.matematicamente.it}; \end{center}\begin{center} {\ttfamily http://edu.os3.it}. \end{center}Suggerimenti, commenti e correzioni sono ben accette.\part{Formulario}\chapter{Logica e Insiemistica}\section{Logica}\subsection{Definizioni}\begin{definizione}[Proposizione, Enunciato] Si dice\emph{proposizione} (o \emph{enunciato}) un'espressione dellinguaggio naturale per cui sia possibile attribuire un valore diverità (vero=T=1=$\top$; falso=F=0=$\bot$). Una proposizone sidice \emph{complessa} se é composta da proposizioni\emph{semplici} collegate tra loro da \emph{connettivi logici}.\end{definizione}\begin{definizione}[Predicato]Si dice \emph{predicato} una frase contenente variabili chediventi una proposizione qualora si specifichi il valore dellevariabili stesse.\end{definizione}\subsection{Connettivi Logici}\begin{itemize}\item {\bfseries non} $\neg$ (oppure: $\neg p\equiv\bar{p}$);unario; complementare; $\neg p$ ha valore vero sse $p$ ha valore falso;\\\item {\bfseries e} $\wedge$; binario; intersezione; $p\wedge q$ha valore vero sse $p$ e $q$ hanno entrambi valore vero;\\\item {\bfseries o} $\vee$; binario; unione; $p\vee q$ havalore vero se almeno uno tra $p$ e $q$ ha valore vero;\\\item {\bfseries se ... allora, implica, condizione sufficienteaffinchè q..., condizione necessaria affinchè p...}$\Longrightarrow$; binario; $p\Longrightarrow q$ havalore vero se $p$ ha valore falso o se sia $p$ che $q$ hanno valore vero;\\\item {\bfseries se e solo se (sse, iff), coimplica, condizionenecessaria e sufficiente (cnes)} $\Longleftrightarrow$; binario;$p\Longleftrightarrow q$ ha valore vero se $p$ ha lo stesso valore di verità di $q$.\\\subsection{Tabelle di Verità}%\ding{42} Tabella \ref{tab:Verita} a pag.\pageref{tab:Verita}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{cc|ccccc}$p$ & $q$ & $\neg p$ & $p\wedge q$ & $p\vee q$ & $p\Longrightarrowq$ & $p\Longleftrightarrow q$\\\hline\\$1$ & $1$ & $0$ & $1$ & $1$ & $1$ & $1$ \\$1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ \\$0$ & $1$ & $1$ & $0$ & $1$ & $1$ & $0$ \\$0$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ & $1$ & $1$\end{tabular}\end{center}\caption{Tavole di Verità} \label{tab:Verita}\end{table}\subsection{Leggi logiche notevoli}\ding{42} Tabella \ref{tab:LeggiLogiche} apag.\pageref{tab:LeggiLogiche}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{lr}$A\Rightarrow A$ & legge dell'identità\\$A\Leftrightarrow \neg\neg A$ & legge della doppia negazione\\$A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A$ & commutatività di $\wedge$\\$(A\wedge B) \wedge C\Leftrightarrow A\wedge (B \wedge C)$ & associatività di $\wedge$\\$A\vee B\Leftrightarrow B\vee A$ & commutatività di $\vee$\\$(A\vee B) \vee C\Leftrightarrow A\vee (B \vee C)$ & associatività di $\vee$\\$A\wedge A\Leftrightarrow A$ & idempotenza di $\wedge$\\$A\vee A\Leftrightarrow A$ & idempotenza di $\vee$\\$A\wedge B\Leftrightarrow A$ & eliminazione di $\wedge$\\$A\Leftrightarrow A\vee B$ & introduzione di $\vee$\\$A \wedge(B\vee C)\Leftrightarrow (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$ & distributività\\$A \vee(B\wedge C)\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)$ & distributività\\$A\wedge(A\vee B)\Leftrightarrow A$ & legge di assorbimento\\$A\vee(A\wedge B)\Leftrightarrow A$ & legge di assorbimento\\$\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow\neg A\vee\neg B$ & legge di de Morgan\\$\neg(A\vee B)\Leftrightarrow\neg A\wedge\neg B$ & legge di de Morgan\\$\neg A \vee A \Leftrightarrow \top$ & legge del terzo escluso\\$\neg (A \wedge \neg A)\Leftrightarrow \top$ & legge di non contraddizione\\$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (B \vee \neg A)$ & definizione di implicazione\\$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$ & legge di contrapposizione (contronominale)\\$A\wedge \neg A\Rightarrow \bot$ & Lewis (ex falso quodlibet)\\$A \Rightarrow (B\Rightarrow A)$ & affermazione del conseguente\\$\neg A \Rightarrow (A\Rightarrow B)$ & negazione dell'antecedente\\$((A\Rightarrow B)\wedge \neg B)\Rightarrow\neg A$ & legge di riduzione all'assurdo\\$(A\Rightarrow\neg A)\Rightarrow\neg A$ & riduzione all'assurdo debole\\$(\neg A\Rightarrow A)\Rightarrow A$ & consequentia mirabilis\\$((A\Rightarrow B)\Rightarrow A)\Rightarrow A$ & legge di Peirce\\$((A\Rightarrow B)\vee (B\Rightarrow A))\Rightarrow \top$ & legge di Dummett\\$A\Rightarrow((A\Rightarrow B)\Rightarrow B)$ & modus ponens\\$(A\Rightarrow(B\Rightarrow C))\Leftrightarrow(B\Rightarrow(A\Rightarrow C))$ & scambio antecedenti\\$((A\Rightarrow C)\wedge(B\Rightarrow C))\Leftrightarrow (A\vee B\Rightarrow C)$ & distinzione di casi\\$((A\Rightarrow B)\wedge(\neg A\Rightarrow B))\Rightarrow B$ & distinzione di casi\\$(A\Rightarrow(B\Rightarrow C))\Rightarrow((A\Rightarrow B)\Rightarrow(A\Rightarrow C))$ & distributività di $\Rightarrow$\\$((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C))\Rightarrow (A\Rightarrow C)$ & transitività di $\Rightarrow$\\$(A\Rightarrow (B\Rightarrow C))\Leftrightarrow ((A\wedgeB)\Rightarrow C)$ & importazione/esportazione delle premesse\end{tabular}\end{center}\caption{Leggi Logiche Notevoli} \label{tab:LeggiLogiche}\end{table}\section{Insiemistica}\begin{definizione}[Insieme] $A=\{x_1, x_2, \ldots,x_n\}=\{x|\mathcal{P}(x)\}$.\end{definizione}\begin{definizione}[Intersezione]$A\cap B=\{x|x\in A \wedge x\in B\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Unione]$A\cup B=\{x|x\in A \vee x\in B\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Differenza]$A\setminus B=\{x|x\in A \wedge \neg (x\in B)\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Differenza simmetrica]$A\Delta B=A\setminus B \cup B\setminus A$\end{definizione}\begin{definizione}[Complementare]Detto $\mathcal{U}$ l'insieme universo,$A^c=cA=\bar{A}=\{x|x\in U\setminus A\}=\{x|\neg (x\in A)\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Insieme (potenza) delle parti]$\mathcal{P}(A)=2^A=\{E|E\subseteq A\}\\|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}$\end{definizione}\begin{definizione}[Coppie ordinate]$(x,y)=\langle x,y\rangle =\{\{x\},\{x,y\}\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Prodotto cartesiano]$A\times B=\{(x,y)|x\in A \wedge y\in B\}$\\$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\inA_i \forall i=\{1,2,\cdots, n\}\}$\\\end{definizione}\begin{proposizione}[Leggi di de Morgan]$(E\cup F)^c=E^c\cap F^c\\(E\cap F)^c=E^c\cup F^c$\end{proposizione}\chapter{Algebra Elementare}\section{Definizione di |R}La struttura $[\mathbb{R},+,\cdot]$ è un anello. Si definisce unarelazione d'ordine totale $\leq$. I primi 4 assiomi definiscono$[\mathbb{R},+]$ come gruppo, $[\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot]$come gruppo, inoltre vale l'assioma di continuità in una delle sue4 forme.\\$\mathbb{R}$ è quindi definito assiomaticamente da:\begin{description}\item [S1] la somma è associativa;\\\item [S2] la somma è commutativa;\\\item [S3] esiste l'elemento neutro della somma (zero, $0$);\\\item [S4] ogni elemento ($x$) di $\mathbb{R}$ ha inverso (opposto, $-x$);\\\item [P1] il prodotto è associativo;\\\item [P2] il prodotto è commutativo;\\\item [P3] esiste l'elemento neutro del prodotto (\emph{uno}, $1$);\\\item [P4] ogni elemento ($x$) di $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ha elemento inverso (reciproco,$\frac{1}{x}=1/x=x^{-1}$);\\\item [SP] il prodotto è distributivo rispetto alla somma;\\\item [OS] $x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z \forall z\in\mathbb{R}$;\\\item [OP] $x\leq y\Rightarrow x\dot z\leq y\dot z \forall z\in\mathbb{R}, z\geq 0$;\\\item [Dedekind] siano $A$ e $B$ due insiemi separati, cioè taliche $\forall a\in A, \forall b\in B, a\leq b$; allora $\existsc\in\mathbb{R}:a\leq b\leq c$.\\\end{description}\begin{definizione}[Retta reale estesa]Si definisce l'insieme$\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ detto\emph{estensione dell'insieme dei reali}.\end{definizione}\section{Scomposizioni Notevoli}\subsection{Potenza di un polinomio}$$(a\pm b)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) a^{n-k}b^k$$\begin{tabbing}Casi particolari: \=$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$;\\\>$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$;\\\>$(a\pm b\pm c)^2=a^2\pm 2ab+b^2\pm 2bc+c^2\pm 2ca$.\end{tabbing}\subsection{Fattorizzazione}$$\mathcal{P}(x)=a_n\cdot\prod_{i=0}^n(x-x_i)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i$$\\$\mathcal{P}(x)=a(x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot\,\cdots\,\cdot(x-x_n)$\\$\forall n\in \mathbb{N}: x^n-y^n=(x-y)\cdot(x^{n-1}+x^{n.2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})$\\$\forall n=2k+1, k\in \mathbb{Z}: x^n+y^n=(x+y)\cdot(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1})$\\\begin{tabbing}Casi particolari: \=$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$;\\\>$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$.\end{tabbing}\subsection{Risoluzione di equazioni di secondo grado in una incognita}\begin{tabbing}$\mathcal{P}(x)=ax^2+bx+c $: \= $\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;\\\> $\qquad x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-ac}}{a}\mbox{ con }\beta :=\frac{b}{2}$\end{tabbing}\section{Radicali doppi}$\sqrt{\mathcal{A}\pm \sqrt{\mathcal{B}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{A}+\sqrt{\mathcal{A}^2-\mathcal{B}}}{2}}\pm \sqrt{\frac{\mathcal{A}-\sqrt{\mathcal{A}^2-\mathcal{B}}}{2}}$\section{Disequazioni irrazionali}\begin{itemize}\item$\sqrt{f(x)}\geq g(x)$$$\left\{ \begin{array}{l}g(x)\geq 0\\f(x)\geq g^2(x)\end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{l}g(x)<0\\f(x)\geq 0\end{array}\right.$$\\\item$\sqrt{f(x)}<g(x)$$$\left\{ \begin{array}{l}f(x)\geq 0\\g(x)> 0\\f(x)<g^2(x)\end{array}\right.$$\end{itemize}\section{Potenze}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Logaritmo]$\forall y\geq 0, \foralln\in\mathbb{N}$, si definisce la radice $n$-esima di $y$ come:\\$^n\sqrt{y}=y^{1/n}=sup\{x\in\mathbb{R}:x^n<y\}=inf\{x\in\mathbb{R}:x^n>y\}$\end{definizione}\subsection{Proprietà}$a^0=1\\a^1=a\\a^{m+n}=a^m\cdot a^n\\a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}\\(a^m)^n=a^{m\cdot n}\\a^m=e^{m\cdot\log a}\\a^{\frac{1}{n}}=^n\sqrt{a}\\a^{-m}=\frac{1}{a^m}$\section{Logaritmi}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Logaritmo]$\displaystyle a=\log_b c \Leftrightarrow b^a=c$\end{definizione}\subsection{Proprietà}$\log_a 1=0 \\\log_a a=1 \\\log_a (m\cdot n)=\log_a m+\log_a n \\\log_a \frac{m}{n}=\log_a m-\log_a n \\\log_a m^\alpha=\alpha\cdot \log_a m\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R} \\\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \\\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$\section{Modulo o Valore Assoluto}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Modulo, Valore Assoluto]Si definisce \emph{modulo} p \emph{valore assoluto} la funzione:\\$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+_0=[0,+\infty]$\\$f(x)=|x|=\textsf{mod}(x)=\textsf{max}\{x,-x\}=\sqrt{x^2}$.\end{definizione}\subsection{Proprietà degli Spazi Metrici}\begin{description}\item [M1] $\forall a\in\mathbb{R}, |a|\geq 0$\\\item [M2] $|a|=0 \Leftrightarrow a=0$\\\item [M3, omogeneità] $\forall \lambda\in\mathbb{R},\forall a\in\mathbb{R}, |\lambda\cdot a|=| \lambda|\cdot |a| $\\\item [M4, disuguaglianza triangolare] $\forall a,b\in\mathbb{R}, |a+b|\leq |a|+|b|$\\\end{description}La \texttt{M4} in generale assume la forma:\\$$| \sum^{n}_{i=1}a_i|\leq \sum^{n}_{i=1} |a_i| $$Può essere scritta anche: $||a|-|b||\leq|a-b|$.\section{Altre funzioni}\subsection{Fattoriale, Semifattoriale}\begin{definizione}[Fattoriale]$$\forall n\in\mathbb{N},n!=fatt(n)=\prod_{i=1}^{n}i=$$\\$$=1\cdot 2\cdot\cdots\cdot (n-1)\cdot n$$\\\'{E} definito ricorsivamente da:\\$$\left\{ \begin{array}{l} 0!=1\\n!=n\cdot(n-1)!\end{array}\right.$$\end{definizione}\begin{definizione}[Semifattoriale]$\forall k\in\mathbb{N},(2k+1)!!=\prod_{i=0}^{k}(2i+1)$;\\$$(2k)!!=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se }k=0\\\prod_{i=1}^{k} & \mbox{se }k>0\end{array}\right.$$\\Si definisce inoltre $(-1)!!=1$.\end{definizione}\subsection{Segno}\begin{definizione}[Segno] $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\textsf{signum}(x)=\textsf{sign}(x)=\textsf{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}=$$$\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se }x>0\\-1 & \mbox{ se } x<0\end{array}\right.$$\end{definizione}\subsection{Parte intera, parte decimale}\begin{definizione}[Parte Intera]$[x]\stackrel{def}{=}max\{k\in\mathbb{Z}:k\leq x\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Parte Decimale]$\{x\}\stackrel{def}{=}x-[x]$\end{definizione}\subsection{Parte positiva, Parte negativa}\begin{definizione}[Parte positiva, $f^+$]$f^+=\textsf{max}\{f,0\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Parte negativa, $f^-$]$f^-=\textsf{min}\{f,0\}$\end{definizione}\begin{osservazione}$|f|=f^+-f^-$\\$f=f^++f^-$\\$\textsf{max}\{f,g\}=(f-g)^++g$\\$\textsf{min}\{f,g\}=(f-g)^-+g$\end{osservazione}\begin{osservazione}$\forall a,b\in\mathbb{R}:a<b,\\b^+-a^+\leq b-a;\\b^--a^-\leq b-a$\end{osservazione}\subsection{Funzione di Dirichlet}\begin{definizione}[Funzione di Dirichlet]$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{ se } x\in\mathbb{Q}\\0 & \mbox{ se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{array}\right.$$\end{definizione}\subsection{Funzioni iperboliche}\begin{definizione}[Seno iperbolico]$\sinh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\sinh x=\textsf{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$\end{definizione}\begin{definizione}[Coseno iperbolico]$\cosh:\mathbb{R}\rightarrow[1,+\infty)$\\$\cosh x=\textsf{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$\end{definizione}\begin{osservazione}$\sinh^2 x-\cosh^2 x=1$.\end{osservazione}\begin{definizione}[Tangente iperbolica]$\tanh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\tanh x=\textsf{th}x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$\end{definizione}\begin{definizione}[Cotangente iperbolica]$\coth:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\coth x=\textsf{cth}x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$\end{definizione}\begin{definizione}[Arcoseno iperbolico, Settore Seno iperbolico]$\textsf{ash}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\textsf{sett sinh} y=\textsf{ash}y=\log(y+\sqrt{y^2+1})$\end{definizione}\begin{definizione}[Arcocoseno iperbolico, Settore Coseno iperbolico]$\textsf{ach}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\textsf{sett cosh} y=\textsf{ach}y=\log(y+\sqrt{y^2-1})$\end{definizione}\begin{definizione}[Arcotangente iperbolica, Settore Tangente iperbolica]$\textsf{ath}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\textsf{sett tanh}x=\textsf{ath}y=\frac{1}{2}\cdot\log\frac{1+x}{1-x}$\end{definizione}\subsection{Funzione Esponenziale, $e^x=\textsf{exp}(x)$}\begin{teorema}[Esistenza ed Unicità della funzione esponenziale]$\exists !$ la funzione $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ cheverifichi le proprietà:\\\begin{enumerate}\item $\forall x_1, x_2 \in\mathbb{R}, f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$;\\\item $f(1)=e$ (dove $e$ è il \emph{numero di Nepero});\end{enumerate}ed è la \emph{funzione esponenziale} definita $\forallx\in\mathbb{R}$ da $f(x)=e^x=\textsf{exp}(x)$.\end{teorema}\begin{definizione}Si definisce $f(x)=a^x=e^{x\log a}$.\end{definizione}\section{Serie}\subsection{Serie Aritmetiche}$$a_n=a_1+(n-1)d$$\\$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$\subsection{Serie Geometriche}$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$\\$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\mbox{ con q}\neq 1$\\Se $q=1$ si ha $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=n\cdot a_1$\\$\displaystyle S_{k,n}=\sum_{i=k}^{n}a_i=q^k\cdot\frac{1-q^{n-k+1}}{1-q}\mbox{ con q}\neq 1$\subsection{Disuguaglianze Notevoli}\begin{itemize}\item $\forall x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], |\sin x|\leq |x|$\\\item $\forall n\in\mathbb{N}, \forall a\geq -1, (1+a)^n\geq 1+a\cdot n $ ({\bfseries disuguaglianza di Bernoulli})\\\item $\forall x\in \mathbb{R}, e^x\geq x+1$\\\item $\forall x>-1, \log(x+1)\leq x$\\\item $\forall a,b>0, p,q>1:\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, a\cdot b\leq\frac{1}{p}\cdot a^p+\frac{1}{q}\cdot b^q $ ({\bfseries disuguaglianza di Young})\\\end{itemize}\subsection{Sommatorie Classiche}$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$\\$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$\\$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$\\$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\left ( \begin{array}{c}n\\i\end{array}\right )=(1+1)^n=2^n$\\$\displaystyle \sum_{i=0}^{n} (-1)^i\left ( \begin{array}{c}n\\i\end{array}\right )=0$\chapter{Geometria}\section{Goniometria}\subsection{Relazione Fondamentale}$\sin ^2 x+\cos ^2 x=1$\subsection{Tangente e Cotangente: Definizioni}\begin{definizione}[Tangente]$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\forall x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$\\\end{definizione}\begin{definizione}[Cotangente 1]$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\forall x\neq k\pi$\\\end{definizione}\begin{definizione}[Cotangente 2]$\cot x=\frac{1}{\tan x}\forall x\neq k \frac{\pi}{2}$\end{definizione}\subsection{Secante e Cosecante: Definizioni}\begin{definizione}[Secante]$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\\\sec : \mathbb{R}\setminus\{\frac{pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\mathbb{R} $\end{definizione}\begin{definizione}[Cosecante]$\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}\\\csc : \mathbb{R}\setminus\{k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\mathbb{R} $\end{definizione}\subsection{Formule di Addizione}$\sin ( \alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$\\$\cos ( \alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$\\$\tan ( \alpha \pm \beta)=\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$\\$\cot ( \alpha \pm \beta)=\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \alpha \pm \cot \beta}$\subsection{Formule di Duplicazione e di Triplicazione}$\sin (2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$\\$\cos (2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$\\$\tan (2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$\\$\sin (3\alpha)=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$\\$\cos (3\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$\\$\tan (3\alpha)=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$\\\subsection{Formule di Bisezione}$\sin (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$\\$\cos (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$\\$\tan (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$\subsection{Formule Parametriche}$t\stackrel{def}{=}\tan\frac{\alpha}{2}\longrightarrow\left\{\begin{array}{ll}\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}\end{array}\right.$\subsection{Formule di Prostaferesi}$\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$\\$\sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$\\$\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$\\$\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$\subsection{Formule di Werner}$\cos p \cdot\sin q=\frac{1}{2}[\sin (p+q)-\sin (q-p)]$\\$\sin p \cdot\sin q=\frac{1}{2}[\sin (p-q)-\cos (p+q)]$\\$\cos p \cdot\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$%\subsection{Altre Formule}%$\sin\alpha=\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\%$\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\%$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}$\\%$\cos\alpha=\frac{\cot\alpha}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}$\\%$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$\\%$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$\subsection{Formule di Conversione}\ding{42} Tabella \ref{tab:Conversione} apag.\pageref{tab:Conversione}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{c|ccc}$\swarrow$ & Sin & Cos & Tan\\\hline\\%---- :$\sin\alpha$ & $\sin\alpha$ & $\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ &$\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\%---- :$\cos\alpha$ & $\pm\sqrt{1-sin^2\alpha}$ & $\cos\alpha$ &$\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\%---- :$\tan\alpha$ & $\pm\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$ &$\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}$ &$\tan\alpha$\\%---- :$\cot\alpha$ & $\pm\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}$ &$\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}$ &$\frac{1}{\tan\alpha}$\\%---- :$\sec\alpha$ & $\pm\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$ &$\frac{1}{\cos\alpha}$ &$\pm\sqrt{1+\tan^2\alpha}$\\%---- :$\csc\alpha$ & $\frac{1}{\sin\alpha}$ &$\pm\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}$ &$\pm\frac{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}{\tan\alpha}$\\\end{tabular}\end{center}\caption{Formule di Conversione} \label{tab:Conversione}\end{table}\subsection{Archi Noti}\ding{42} Tabella \ref{tab:ArchiNoti} a pag.\pageref{tab:ArchiNoti}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{cc|cccc}Rad & Deg & Sin & Cos & Tan & Cot\\\hline0 & 0° & 0 & 1 & 0 & n.e.\\$\frac{\pi}{12}$ & $15°$ & $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ & $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ & $2-\sqrt{3}$ & $2+\sqrt{3}$\\$\frac{\pi}{8}$ & $22°30'$ & $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ & $\sqrt{2}-1$ & $\sqrt{2}+1$\\$\frac{\pi}{6}$ & $30°$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $\sqrt{3}$\\$\frac{\pi}{4}$ & $45°$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $1$ & $1$\\$\frac{\pi}{3}$ & $60°$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$\\$\frac{3}{8}\pi$ & $67°30'$ & $\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ & $\sqrt{2}+1$ & $\sqrt{2}-1$\\$\frac{5}{12}\pi$ & $75°$ & $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ & $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ & $2+\sqrt{3}$ & $2-\sqrt{3}$\\$\frac{\pi}{2}$ & $90°$ & $1$ & $0$ & n.e. & $0$\end{tabular}\end{center}\caption{Archi noti}\label{tab:ArchiNoti}\end{table}\subsection{Archi Associati}\ding{42} Tabella \ref{tab:ArchiAssociati} apag.\pageref{tab:ArchiAssociati}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{c|cccc}Rad & Sin & Cos & Tan & Cot\\\hlinex & $\sin x $ & $\cos x$ & $\tan x$ & $\cot x$\\$\pi -x $ & $\sin x $ & $- \cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\$\pi +x $ & $-\sin x $ & $- \cos x$ & $\tan x$ & $\cot x$ \\$ -x $ & $-\sin x $ & $\cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\$2\pi -x $ & $-\sin x $ & $\cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\$\frac{\pi}{2} -x $ & $\cos x $ & $\sin x$ & $\cot x$ & $\tan x$ \\$\frac{\pi}{2} +x $ & $\cos x $ & $-\sin x$ & $-\cot x$ & $-\tan x$ \\$\frac{3}{2} \pi -x $ & $-\cos x $ & $-\sin x$ & $\cot x$ & $\tan x$ \\$\frac{3}{2} \pi +x $ & $-\cos x $ & $\sin x$ & $-\cot x$ & $-\tan x$\end{tabular}\end{center}\caption{Archi associati}\label{tab:ArchiAssociati}\end{table}\section{Trigonometria}\subsection{Triangolo Qualsiasi}Area: $S= \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} b c \sin \alpha = \frac{1}{2} a c \sin \beta$\\$S= \frac{1}{2} a^2 \frac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\beta+ \gamma)} =\frac{1}{2} b^2 \frac{\sin\alpha\sin\gamma}{\sin(\alpha +\gamma)} =\frac{1}{2} c^2 \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha +\beta)}$\\\begin{teorema}[Formula di Erone] $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$\end{teorema}\begin{teorema}[Formula di Brahmagupta o di Erone]Dato un quadrilatero ciclico (cioè inscrivibile in unacirconferenza) di lati $a,b,c,d$ e semiperimetro$p=\frac{a+b+c+d}{2}$, l'area vale $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$; per $d=0$, in particolare, si ottiene la formula di Erone peril triangolo.\end{teorema}\begin{teorema}[delle Corde]: $\bar{AB} =2r \sin \alpha$\end{teorema}\begin{teorema}[dei Seni]: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha}=2R=\frac{abc}{4S}$\end{teorema}\begin{tabbing} Proiezioni: \= $a=b \cos \gamma+c \cos \beta$;\\\>$b=a \cos \gamma+c \cos \alpha$;\\\>$c=a \cos \beta+b \cos \alpha$.\\\end{tabbing}\begin{teorema}[di Carnot o del Coseno]:\\$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha $; \\$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta $; \\$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma $.\end{teorema}\subsection{Triangolo Rettangolo}Se a,b e c sono le misure rispettivamente dell'ipotenusa e dei cateti di un triangolo rettangolo e $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ sono le misure degli angoli opposti, sussistono le seguenti relazioni:\\$b=a\sin\beta=a\cos\gamma$\\$c=a\sin\gamma=a\cos\beta$\\$b=c\tan\beta=c\cot\gamma$\\$c=b\tan\gamma=b\cot\beta$\section{Geometria Analitica}\subsection{Punto e Retta}\begin{tabbing}$r$: \=$y=mx+n$ (forma implicita)\\ \>$y=ax+by+c$ (forma esplicita);\qquad $m=-\frac{b}{a}$, $n=-\frac{c}{a}$\\\end{tabbing}\begin{tabbing}\=$P_1(x_1, y_1)$\=$P_2(x_2, y_2)$\=$P_3(x_3, y_3)$\\\end{tabbing}$r_{P_1}$: $(y-y_1)=m(x-x_1)$\\$s \parallel r_{P_1}$:$y_1=m_{const} x_1+n$\\$r_{P_1P_2}:\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$\\$m_r=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$\\$r\parallel s\leftrightarrow m_r=m_s$\\$r\perp s\leftrightarrow m_r=-\frac{1}{m_s}$\\$\bar{P_1P_2}=dist(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$\\$dist(P_1,r)=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$\\Punto medio di $P_1P_2= (\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$\\Baricentro del triangolo $P_1P_2P_3= (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}; \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$\subsection{Coniche 1: Circonferenza}$$\gamma:x^2+y^2+ax+by+c=0$$\\$C(x_0,y_0)\qquad r^2=x_0^2+y_0^2-c\geq 0$\\$P(x',y')\in\gamma\leftrightarrow\overline(PC)=r$\\$\gamma: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$\\$\left\{\begin{array}{l}a=-2x_0\\b=-2y_0\\c=x_0^2+y_0^2-r^2\end{array}\right.$$\longrightarrow$$\left\{\begin{array}{l}x_0=-\frac{a}{2}\\y_0=-\frac{b}{2}\\r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}\end{array}\right.$\subsection{Coniche 2.1: Parabola con asse parallelo all'asse y}$$\mathcal{P} :y=ax^2+bx+c $$\\$F(x_0,y_0);\qquad d:y=k$\\$P(x',y')\in \mathcal{P}\leftrightarrow dist(P,F)=dist(P,d)$\\$\left\langle\begin{array}{lcccc}y_0>k & \rightarrow & a>0 & \rightarrow & \smile\\y_0<k & \rightarrow & a<0 & \rightarrow & \frown\\\end{array}\right.$\\$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2y_0-2k}\\b=\frac{x_0}{k-y_0}\\c=\frac{x_0^2+y_0^2-k^2}{2y_0-2k}\end{array}\right.$$\longrightarrow$$\left\{\begin{array}{l}x_0=-\frac{b}{2a}\\y_0=\frac{1-\Delta}{4a}\\k=\frac{-1-\Delta}{4a}\end{array}\right.$\\$F(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a})$\\$d:y=\frac{-1-\Delta}{4a})$\\$F(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$\\$a:x=-\frac{b}{2a}$\\$\Delta=b^2-4ac$\subsection{Coniche 2.2: Parabola con asse parallelo all'asse x}$$\mathcal{P} :x=ay^2+by+c $$\\$F(x_0,y_0);\qquad d:y=k$\\$P(x',y')\in \mathcal{P}\leftrightarrow dist(P,F)=dist(P,d)$\\$\left\langle\begin{array}{ccccc}x_0>k & \rightarrow & a>0 & \rightarrow & \subset\\x_0<k & \rightarrow & a<0 & \rightarrow & \supset\\\end{array}\right.$\\$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2x_0-2k}\\b=\frac{y_0}{k-x_0}\\c=\frac{x_0^2+y_0^2-k^2}{2x_0-2k}\end{array}\right.$$\longrightarrow$$\left\{\begin{array}{l}x_0=\frac{1-\Delta}{4a}\\y_0=-\frac{b}{2a}\\k=\frac{-1-\Delta}{4a}\end{array}\right.$\\$F(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a})$\\$d:y=\frac{-1-\Delta}{4a})$\\$F(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a})$\\$a:y=-\frac{b}{2a}$\\$\Delta=b^2-4ac$\subsection{Coniche 3: Ellisse}$$\mathcal{E}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$\\$c^2=\left\{\begin{array}{lcccccc}a^2-b^2 & \mbox{se} & a>b & \rightarrow & e=\frac{c}{a}<1 & \rightarrow & F_1(-c,0),\quad f_2(c,0)\\b^2-a^2 & \mbox{se} & b>a & \rightarrow & e=\frac{c}{b}<1 & \rightarrow & F_1(0,-c),\quad f_2(0,c)\\\end{array}\right.$\\$\mathcal{E}\cap x\equiv\qquad A(-a,0)\quad B(a,0)$\\$\mathcal{E}\cap y\equiv\qquad C(0,-b)\quad D(0,b)$\\$P(x',y')\in\mathcal{E}\leftrightarrow\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$\subsection{Coniche 4.1.1: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse x}$$\mathcal{I}:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$\\$c^2=a^2+b^2,\quad c\geq 0$\\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)$\\$F_1(-c,0)\quad F_2(c,0); \qquad F_1,F_2\in x$\\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: y=\frac{b}{a}x$\\$a_2: y=-\frac{b}{a}x$\\$e=\frac{c}{a}>1$\subsection{Coniche 4.1.2: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse y}$$\mathcal{I}:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$\\$c^2=a^2+b^2,\quad c\geq 0$\\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(0,-b)\quad V_2(0,b)$\\$F_1(0,-c)\quad F_2(0,c); \qquad F_1,F_2\in y$\\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: y=\frac{b}{a}x$\\$a_2: y=-\frac{b}{a}x$\\$e=\frac{c}{b}>1$\subsection{Coniche 4.2.1: Iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse x}$$\mathcal{I}:x^2-y^2=a^2$$\\$c=a\sqrt{2}\qquad a=b$\\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)$\\$F_1(-a\sqrt{2},0)\quad F_2(a\sqrt{2},0); \qquad F_1,F_2\in x$\\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: y=x$\\$a_2: y=-x$\\$e=\sqrt{2}$\subsection{Coniche 4.2.2: Ip. eq. rif. assi simm. con fuochi sull'asse y}$$\mathcal{I}:x^2-y^2=-a^2$$\\$c=a\sqrt{2}\qquad a=b$\\$\mathcal{I}\cap y\equiv\qquad V_1(0,-a)\quad V_2(0,a)$\\$F_1(0,-a\sqrt{2})\quad F_2(0,a\sqrt{2}); \qquad F_1,F_2\in y$\\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: y=x$\\$a_2: y=-x$\\$e=\sqrt{2}$\subsection{Coniche 4.3: Iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti}$$\mathcal{I}:xy=k$$\\$\left\{\begin{array}{lcll}k>0 & \rightarrow & \mathcal{I}\cap b_{I,III}:y=x\equiv\qquad V_1(\sqrt{k},\sqrt{k})\quad V_2(-\sqrt{k},-\sqrt{k})\\k>0 & \rightarrow & \mathcal{I}\cap b_{II,IV}:y=-x\equiv\qquad V_1(\sqrt{|k|},-\sqrt{|k|})\quad V_2(-\sqrt{|k|},\sqrt{|k|})\\\end{array}\right.$\\$leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: x=0$\\$a_2: y=0$\\$e=\sqrt{2}$\subsection{Coniche 4.4: Iperbole equilatera traslata o Funzione omografica}$$\mathcal{I}:y=\frac{ax+b}{cx+d}$$\\$$\exists\mathcal{I}\leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} c\neq 0\\ad-bc\neq 0\end{array}\right.$$\\$a_1: x=-\frac{d}{c}$\\$a_2: y=\frac{a}{c}$\\$e=\sqrt{2}$\subsection{Coniche 5: Conica generica}$$\mathcal{C}:a_{11}x^2+a_{22}y^2+a{12}xy+a_{13}x+a_{23}y+a{33}=0$$\\$$A=\left ( \begin{array}{ccc}a_{11} & \frac{1}{2}a_{21} & \frac{1}{2}a_{13}\\\frac{1}{2}a_{12} & a_{22} & \frac{1}{2}a_{23}\\\frac{1}{2}a_{13} & \frac{1}{2}a_{23} & a_{33}\end{array}\right ) $$\\$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cc}a_{11} & \frac{1}{2}a_{21}\\\frac{1}{2}a_{12} & a_{22}\end{array}\right)\\$$$\left\langle\begin{array}{lcl}|A|=0 & \longrightarrow & \mbox{Conica Degenere}\\|A|\neq 0 & \longrightarrow & \mbox{Conica Non Degenere}\end{array}\right.$\\\\%\ding{42} Tabella \ref{tab:Coniche} a pag.\pageref{tab:Coniche}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{c|ccc} & $ |\overline{A}|>0 $ & $ |\overline{A}|=0 $ & $ |\overline{A}|<0 $ \\\hline$ |A|=0 $ & retta immaginaria & rette reali o immaginarie parallele & retta reale\\$ |A|\neq 0 $ & ellisse & parabola & iperbole\end{tabular}\end{center}\caption{Conica Generica}\label{tab:Coniche}\end{table}\section{Trasformazioni: Affinità\footnote{prof.ssa Letizia Lorenzini}}\begin{center}\begin{tabbing}$\mathcal{T}:$\= $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}$\\\> $(x,y)\rightarrow(x',y')$\\\end{tabbing}$ \left\{\begin{array}{l}x=ax+by+p\\y=cx+dy+q\end{array}\right.$\\$$A=\left ( \begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right )$$\\$$ |A|\neq 0 $$\\\begin{tabbing}$\mathcal{T}^{-1}:$\= $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}$\\\> $(x',y')\rightarrow(x,y)$\\\end{tabbing}\end{center}$\frac{S'}{S}=|A|$\\$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{d}{|A|}x'+\frac{-b}{|A|}y'+\frac{-d}{|A|}p+\frac{b}{|A|}q\\y=\frac{-c}{|A|}x'+\frac{a}{|A|}y'+\frac{c}{|A|}p+\frac{-a}{|A|}q\\\end{array}\right.$\\$$A^{-1}=\left ( \begin{array}{cc}\frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|}\\\frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|}\end{array}\right )$$\begin{definizione}[Punto Unito]Punti uniti sono i punti che coincidono con i trasformati.\end{definizione}\begin{definizione}[Retta Unita]Rette unite sono le rette che coincidono con le trasformate.\end{definizione}\subsection{Prodotto di Affinità}Il prodotto di due affinità $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T'}$ è unaaffinità (indicata con $\mathcal{T} * \mathcal{T'}$, dove siapplica per prima $\mathcal{T'}$ e successivamente $\mathcal{T}$)la cui matrice è pari al prodotto delle matrici delle affinità dipartenza.\subsection{Casi Particolari di Affinità}L'effetto geometrico di un'affinità coincide con la composizionedi\begin{itemize}\item inclinazioni; \item simmetrie; \itemdilatazioni/compressioni; \item traslazioni.\end{itemize}\subsubsection{Isometria}\begin{definizione}[Isometria] L'\emph{isometria} è un'affinità che conserva le distanze.\end{definizione}\subsubsection{Traslazione}\begin{center}$\left\{\begin{array}{l}x'=x+p\\y'=y+q\\\end{array}\right.$$$ A=\left ( \begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right ) $$$|A|=1$\end{center}\subsubsection{Rotazione}\begin{center}$\left\{\begin{array}{l}x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\y'=x\sin\theta+y\cos\theta\\\end{array}\right.$\\$\left\{\begin{array}{l}x=x'\cos\theta+y'\sin\theta\\y=-x'\sin\theta+y'\cos\theta\\\end{array}\right.$\\$$A=\left ( \begin{array}{cc}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right )$$\\$ |A|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $$$A^{-1}=\left ( \begin{array}{cc}\cos\theta & \sin\theta\\-\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right )$$\\$ |A^{-1}|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $\end{center}\\$\left\{\begin{array}{l}x'=ax-by\\y'=bx+ay\\\end{array}\right.\rightarrow a^2+b^2=1 $\\\subsubsection{Rototraslazione}$\left\{\rho:\{}\begin{array}{l}x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\y'=x\sin\theta+y\cos\theta\\\end{array}\right.$\\$\left\{\tau:\{}\begin{array}{l}x'=x+p\\y'=y+q\\\end{array}\right.$\\\begin{center}$\left\{\tau * \rho :\{}\begin{array}{l}x'=x\cos\theta-y\sin\theta+p\\y'=x\sin\theta+y\cos\theta+q\\\end{array}\right.$\end{center}\subsubsection{Simmetria Centrale}\begin{center}$$\left\{\begin{array}{l}x'=2x_0-x\\y'=2y_0-y\\\end{array}\right.$$\\\end{center}con $(x_0,y_0)$ \emph{ centro di simmetria}.\subsubsection{Simmetria Assiale}\subsubsection{Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse x}Asse: $ y=y_0 \rightarrow\left\{\begin{array}{l}x'=x\\y'=2y_0-y\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right | =-1$$\subsubsection{Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse y}Asse: $x=x_0 \rightarrow \left\{\begin{array}{l}x'=2x_0-x\\y'=y\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}-1 & 0\\0 & 1\end{array}\right | =-1$$\subsubsection{Simmetria Assiale con asse qualsiasi}Asse: $ y=mx+q \rightarrow \left\{\begin{array}{l}x'=\frac{1}{1+m^2}[(1-m^2)x+2my-2mq]\\y'=\frac{1}{1+m^2}[2mx+(m^2-1)x+2q]\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}\frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2} & \frac{m^2-1}{1+m^2}\end{array}\right | =-1$$\subsubsection{Omotetia}$\left\{\begin{array}{l}x'=ax+h\\y'=ay+k\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}a & 0\\0 & a\end{array}\right | =a^2>0$$\subsubsection{Similitudine}Isometria * Omotetia = Similitudine\subsubsection{Similitudine Diretta}$\left\{\begin{array}{l}x'=ax-by+p\\y'=bx+ay+q\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}a & -b\\b & a\end{array}\right | =a^2+b^2>0$$\subsubsection{Similitudine Inversa}\begin{array}{l}$x'=ax+by+p$\\$y'=bx-ay+q$\\\end{array}\right.$$|A|=\left | \begin{array}{cc}a & b\\b & -a\end{array}\right | =a^2-b^2<0$$\subsubsection{Dilatazione e Compressione}$ |k|>1\rightarrow $ dilatazione\\$ |k|<1\rightarrow $ compressione\\\subsubsection{Dilatazione/Compressione lungo l'asse x}$\left\{\begin{array}{l}x'=kx\\y'=y\\\end{array}\right.$\subsubsection{Dilatazione/Compressione lungo l'asse $y$}$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\y'=ky\\\end{array}\right.$\subsubsection{Inclinazione}\subsubsection{Inclinazione lungo l'asse x}$\left\{\begin{array}{l}x'=x+ky\\y'=y\\\end{array}\right.$\subsubsection{Inclinazione lungo l'asse y}$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\y'=y+kx\\\end{array}\right.$\subsection{Proprietà Invarianti delle Affinità}\begin{itemize}\item Un'affinità trasforma rette in rette; \item se due rette siintersecano in un punto $P$ allora le rette trasformate siintersecano in $\mathcal{T}(P)$; \item un'affinità trasfrormatriangoli in triangoli; \item un'affinità trasforma retteparallele in rette parallele; \item i punti del segmento $PQ$vengono trasformati in punti del segmento$\mathcal{T}(P)\mathcal{T}(Q)$; \item il punto medio del segmento$PQ$ viene trasformato nel punto medio del segmento$\mathcal{T}(P)\mathcal{T}(Q)$; \item un triangolo di area$\mathcal{S}$ viene trasformato in un triangolo di area$\mathcal{S}\cdot |det(A)|$; \item un'affinità trasforma conichein coniche: ellissi in ellissi, parabole in parabole, iperboli iniperboli, circonferenze in ellissi; \item la retta tangente ad unaconica si trasforma in un'altra retta tangente alla conicatrasformata.\end{itemize}\chapter{Analisi}\section{Elementi di Topologia: Intervalli}\begin{definizione}[Maggiorante $\|$Minorante$\|$]$M \|m\|$ si dice \emph{maggiorante $\|$minorante$\|$}dell'insieme $A$ se $\forall a\in A, M\geq a \|m\leq a\|$; sidefinisce quindi l'insieme $\mathcal{M}_A=\{M\in\mathbb{R}:\foralla\in A, M\geq a\} \| m_A=\{m\in\mathbb{R}:\forall a\in A, m\leqa\}\|$\end{definizione}\begin{definizione}[Estremo superiore (sup) $\|$ Inferiore (inf)$\|$]Si definisce \emph{estremo superiore (sup))$\|$ inferiore (inf)$\|$} di A il più piccolo $\|$grande$\|$ dei maggioranti$\|$minoranti$\|$,ovvero valgono:\\$\left\{\begin{array}{l}\forall a\in A, sup A\geq a\\\forall \varepsilon >0, \exists\bar{a}\in A: sup A-\varepsilon\leq\bar{a}\leq sup A\end{array}\right.$\\e, analogamente:\\$\left\{\begin{array}{l}\forall a\in A, inf A\leq a\\\forall \varepsilon >0, \exists\bar{a}\in A: inf A\leq\bar{a}\leqinf A+\varepsilon\end{array}\right.$\\Per definizione, se $A$ è \emph{illimitato superiormente$\|$inferioremente$\|$} allora si pone $sup A=+\infty \|infA=-\infty\|$\end{definizione}\begin{definizione}[Insieme limitato/illimitato]L'insieme $A$ si dice\emph{limitato superiormente $\|$inferiormente$\|$} se esistel'estremo superiore $\|$inferiore$\|$; si dice \emph{limitato} seè limitato sia superiormente che inferiormente; si dice\emph{illimitato superiormente $\|$inferiore$\|$} se non èlimitato superiormente $\|$inferiore$\|$, ossia se $\forallx\in\mathbb{R}, \exists a\in A: a\geq x \|\forall x\in\mathbb{R},\exists a\in A: a\leq x\|$; si dice \emph{illimitato} se èillimitato sia superiormente che inferiormente.\end{definizione}\begin{osservazione}Sia $A\subset\mathbb{R}$. Allora $A$ è limitato sse$\exists M\geq 0:\forall x\in A|x|\leq M$.\end{osservazione}\begin{definizione}[Massimo (max) $\|$minimo (min)$\|$] Sidefinisce \emph{massimo (max) $\|$minimo (min)$\|$} l'estremosuperiore $\|$inferiore$\|$ qualora appartenga all'insieme A.Valgono quindi:\\$\left\{\begin{array}{l}\forall a\in A, max A\geq a\\max A\in A\end{array}\right.$\\e, analogamente:\\$\left\{\begin{array}{l}\forall a\in A, min A\leq a\\min A\in A\end{array}\right.$\\\end{definizione}\begin{definizione}[Intervallo]$A\subset\mathbb{R}$ si dice \emph{intervallo} se, dati $x, y:x<y$, allora $\forall z: x<z<y, z\in A$.\end{definizione}\begin{teorema}[Intervalli]Se $A$ è un intervallo, è necessariamente di uno dei seguentiquattro tipi:\\\begin{description}\item [aperto] $(a,b)=]a,b[=\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}, \mbox{ con } a,b\in\bar{\mathbb{R}}$;\\\item [aperto a sx, chiuso a dx] $(a,b]=]a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\}, \mbox{ con } a\in\bar{\mathbb{R}}, b\in\mathbb{R}$;\\\item [chiuso a sx, aperto a dx] $[a,b)=[a,b[=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\}, \mbox{ con } a\in\mathbb{R}, b\in\bar{\mathbb{R}}$;\\\item [chiuso, compatto] $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\}, \mbox{ con } a,b\in\mathbb{R}$.\\\end{description}\end{teorema}\begin{notazione}[-$A$, $\lambda\cdot A, A+B$]Dato $A$ insieme, si definisce $-A=\{-y\in\mathbb{R}:y\in A\}$.\\Dato $A$ insieme, $\lambda\in\mathbb{R}$, si definisce$\lambda\cdot A=\{\lambda\cdot x:x\in A\}$.\\Dati $A$ e $B$ insiemi, si definisce $A+B=\{x\in\mathbb{R}:x=a+b,a\in A, b\in B\}$.\end{notazione}\begin{osservazione}[Operazioni su \textsf{inf} e \textsf{sup}]$sup (A+B)=sup A+sup B, inf (A+B)=inf A+inf B\\sup (-A)=-inf A, inf (-A)=-sup A\\\lambda\geq 0: sup (\lambda\cdot A)=\lambda\cdot sup A, inf(\lambda\cdot A)=\lambda\cdot inf A\\\lambda\leq 0: sup (\lambda\cdot A)=-\lambda\cdot inf A, inf(\lambda\cdot A)=-\lambda\cdot sup A\\$\end{osservazione}\begin{teorema}[Principio di Archimede]$\forall a>0, \forall b\in \mathbb{N} \mbox{ non vuoto}, \existsn\in\mathbb{N}:na>b$;\\terza forma del Principio d'Induzione.\end{teorema}\begin{teorema}[Principio del minimo intero]Sia $A\subseteq\mathbb{R}$; allora $A$ ammette minimo.\end{teorema}\begin{teorema}[Densità di $\mathbb{Q}$] $\mathbb{Q}$ è\emph{denso} in $\mathbb{R}$, ovvero:\\$\forall a,b\in\mathbb{R}, a<b, (a,b)_{\mathbb{Q}}\neq\emptyset$,dove con $(a,b)_{\mathbb{Q}}$ si indica l'insieme$\{x\in\mathbb{Q}:a<x<b\}$.\end{teorema}\begin{definizione}[Intorno, Palla]Sia $x_0\in A$; fissato $\delta>0$ si dice intorno di $x_0$l'intervallo $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, la cui ampiezza vale$2\cdot\delta$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto interno]Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in A$; $x_0$ si dice \emph{puntointerno di $A$} se $\exists\delta>0:(x_0-\delta,x_0+\delta)\subset A$, ovvero se $(x_0-\delta, x_0+\delta)\capA\neq\emptyset$.\end{definizione}\begin{notazione}[${\AA}$, $\textsf{int} A$]Si pone ${\AA}=int A\subset A$ l'insieme dei punti interni di $A$.\end{notazione}\begin{definizione}[Punto di frontiera]Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice\emph{punto di frontiera di $A$} se $\forall\delta>0,(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap A\neq\emptyset\wedge (x_0-\delta, x_0+\delta)\capA^c\neq\emptyset$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto di accumulazione]Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice\emph{punto di accumulazione di $A$} se$\forall\delta>0,(x_0-\delta, x_0+\delta)\capA\setminus\{x\}\neq\emptyset$, ovvero se $\forall r>0, \existsy\in A: y\neq x:y\in(x-r,x+r)$.\end{definizione}\begin{notazione}[$\sigma A$, frontiera di $A$]Si pone $\sigma A$ l'insieme dei punti di frontiera di A, e sidice \emph{frontiera di A}.\end{notazione}\begin{definizione}[Punto isolato]Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice\emph{punto isolato di $A$} se $x_0$ non è punto di accumulazioneper $A$, ossia se $\exists\delta>0:(x_0-\delta, x_0+\delta)\capA\setminus\{x\}=\emptyset$.\end{definizione}\begin{notazione}[$\bar{A}$, chiusura di A]Si pone $\bar{A}=A\cup\sigma A$ l'insieme dei punti interni o difrontiera di A, e si dice \emph{chiusura di A}.\end{notazione}\begin{definizione}[Insieme aperto]L'insieme $A$ si dice \emph{aperto} se $A=\AA$, ovvero se ognielemento di $A$ è interno, ovvero se $\forall x_0\in A$, $A$ èintorno di $x_0$, cioè $\forall x_0\in A, \exists r>0:(x_0-r,x_0+r)\subset A$.\end{definizione}\begin{definizione}[Insieme chiuso]L'insieme $A$ si dice \emph{chiuso} se $A^c$ è aperto, ovvero se$A=\bar{A}$.\end{definizione}\begin{teorema}$\forall A\subseteq\mathbb{R}$, l'insieme $\bar{A}$è chiuso. \end{teorema}\begin{osservazione}Gli unici insiemi contemporaneamente aperti e chiusi sono$\mathbb{R}$ e $\emptyset$.\end{osservazione}\begin{teorema} L'unione di insiemi aperti èaperto.\end{definizione}\section{Relazioni e Funzioni}\subsection{Relazioni}\begin{definizione}[Relazione] Dati $A, B$ insiemi, si definisce$\mathcal{R}\subseteq A\times B$ e si dice che $\mathcal{R}$ è una\emph{relazione} da A (\emph{dominio}) a B (\emph{codominio} o\emph{immagine di A}). Se $\langle x,y\rangle\in\mathcal{R}$si dice che $x$ è \emph{in relazione} con $y$ e si scrive $x\mathcal{R} y$.\\Una relazione $\mathcal{R}$ può essere:\\\begin{description}\item [R1, riflessiva] $\forall x\in A, x\mathcal{R} x$;\\\item [R2, simmetrica] $\forall x\in A, \forall y\in B, x\mathcal{R} y\Leftrightarrow y\mathcal{R} x$;\\\item [R2*, antisimmetrica] $\forall x\in A, \forall y\in B, (x\mathcal{R} y)\wedge (y\mathcal{R} x) \Leftrightarrow x=y$;\\\item [R3, riflessiva] $\forall x\in A, \forall y\in (A\cup B), \forall z\in B, (x\mathcal{R} y)\wedge (y\mathcal{R} z)\Rightarrow (x\mathcal{R} z)$;\\\end{description}Una relazione $\mathcal{R}$ soddisfacente le \texttt{R1},\texttt{R2} e \texttt{R3} si dice d'\emph{equivalenza}.\\Una relazione $\mathcal{R}$ soddisfacente le \texttt{R1},\texttt{R2*} e \texttt{R3} si dice d'\emph{ordine}. Se inoltrevale la:\\\begin{description}\item [R4, ordine totale] $\forall x\in A, \forall y\in B, (x\mathcal{R} y)\vee (y\mathcal{R} x)\Rightarrow\top$\\\end{description}allora la relazione si dice di \emph{ordine totale}. Se non èverificata la \texttt{R1} si parla di relazione di \emph{ordinestretto}.\end{definizione}\begin{osservazione}[Relazione d'ordine totale $\leq$]Si può definire su $\mathbb{R}$ la relazione d'ordine totale$\leq$ definendo un insieme $P$ (dei numeri positivi o nulli)verificante le proprietà:\\\begin{enumerate}\item $(x\in P)\vee (-x\in P)\Rightarrow\top$;\\\item $(x, y\in P)\Rightarrow (x+y, x\cdot y\in P)$;\\\end{enumerate}e definendo quindi $x\geq y\Leftrightarrow x-y\in P$.\\Da questa relazione si ricavano le altre relazioni d'ordine $\leq$($x\leq y\Leftrightarrow y\geq x $), $>$ (strettamente maggiore,$x>y\Leftrightarrow (x\geq y)\wedge (x\neq y)$) e $<$(strettamente nimore, $x<y\Leftrightarrow (y\geq x)\wedge (x\neqy)$).\end{osservazione}\subsection{Funzioni}\begin{definizione}[Funzione 1] Data $f$ relazione da A aB, $f$ si dice \emph{funzione} o \emph{applicazione} da A in B sse$\forall a\in A, \exists ! b\in B: a f b$ e siscrive:\\$f: A\rightarrow B$;\\$f: a\in A\rightarrow b\in B$, f(a)=b.\\Se $a f b$ si dice che $b$ è immagine di $a$ secondo $f$ e siscrive $b=f(a)$, o che $a$ è controimmagine di $b$ secondo $f$ esi scrive $a=f^{-1}(b)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Funzione 2] Una funzione è una terna dioggetti: l'insieme $A$ detto \emph{dominio}, l'insieme $B$ detto\emph{codominio} e una legge $f$ che associ ad ogni elemento di$A$ uno ed un solo elemento di $B$.\end{definizione}\begin{definizione}[Iniettività] Una funzione $f$ si dice\emph{iniettiva} sse $\forall b\in B, \exists !! a\in A: f(a)=b$,ovvero se $\forall a_1, a_2\in A, f(a_1)=f(a_2)\Rightarrowa_1=a_2$, ovvero se $\forall a_1, a_2 \in A: a_1\neqa_2\Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Suriettività, Surgettività] Una funzione $f$ si dice\emph{suriettiva} o \emph{surgettiva} sse $\forall b\in B, \existsa\in A: f(a)=b$.\end{definizione}\begin{definizione}[Biiniettività, Bigettività, Biunivocità] Una funzione $f$ si dice\emph{biiettiva} o \emph{bigettiva} o \emph{biunivoca} sse $f$ èsia iniettiva che suriettivà, ovvero sse $\forall b\in B, \exists! a\in A: f(a)=b$. Si parla anche di funzione \emph{invertibile},in quanto si può definire $f^{-1}$ tale che $f\circ f^{-1}=Id_B,f^{-1}\circ f=Id_A$, dove con $Id_A$ e $Id_B$ si intendono lefunzioni identiche definite rispettivemente su $A$ e $B$, ovvero$Id_A: A\rightarrow A, x\rightarrow x$ e $Id_B: B\rightarrow B,x\rightarrow x$ .\end{definizione}\begin{definizione}[Monotonia] Una funzione $f: A\rightarrow B$ si dice\emph{monotòna} se verifica una delle seguenti (e allora in particolare è come descritto):\\\begin{description}\item [monotòna crescente in senso stretto] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)<f(y)$;\\\item [monotòna crescente in senso debole o largo] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)\leq f(y)$;\\\item [monotòna decrescente in senso stretto] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)>f(y)$;\\\item [monotòna decrescente in senso debole o largo] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)\geq f(y)$.\\\end{description}\end{definizione}\begin{teorema}Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$, con $I$ intervallo; allora $f$ èiniettiva (e invertibile) sse è monòtona in senso stretto.\end{teorema}\begin{notazione}[$f+g$, $f\cdot g$, $\frac{f}{g}$, $\lambda\cdot f$,$f\circ g$] Date $f$ e $g$ due funzioni definite sudominio $A\subseteq\mathbb{R}$ e codominio $\mathbb{R}$, si definiscono:\\\begin{itemize}\item $(f+g)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow f(x)+g(x)$;\\\item $(f\cdot g)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow f(x)\cdot g(x)$;\\\item $(\frac{f}{g})(x): \{x\in A:g(x)\neq 0\}\Rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow\frac{f(x)}{g(x)}$;\\\item $\forall\lambda\in\mathbb{R}, (\lambda\cdot f)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow \lambda\cdot f(x)$.\\\end{itemize}Date $f: A\rightarrow B$, $g: B\rightarrow C$, si definisce:\\\begin{itemize}\item $(g\circ f)(x): A\rightarrow C, x\rightarrow g(f(x))$,\\\end{itemize}e si dice che la funzione $g\circ f$ è la \emph{composizione}delle funzioni $g$ e $f$.\end{notazione}\begin{definizione}[Funzione Lipschitziana]$f:I\rightarrow\mathbb{R}:\exists L>0:\forall x,y\in I,|f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|$, f è detta \emph{Lipschitziana}. Ilminimo $L$ che verifica la definizione è detta \emph{costante diLipschitz} e $f$ si dice \emph{$L$-Lipschitziana}.\end{definizione}\begin{definizione}[Funzione H\"{o}lderiana]$f:I\rightarrow\mathbb{R}:\exists L\geq0:\forall x,y\in I,|f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|^\alpha$, f è detta\emph{H\"{o}lderiana} di esponente $\alpha>0$. Si scrive: $f\inC^{0,\alpha}(I)$.\end{definizione}\section{Limiti e Forme Indeterminate}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Limite 1]$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\ell\stackrel{def}{=}\forall\varepsilon>0,\overbrace{\exists\delta_\varepsilon >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|<\delta_\varepsilon}^{\exists\mathcal{I}_\varepsilon(x_0)}\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon $$\end{definizione}\begin{definizione}[Limite 2]$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty\stackrel{def}{=}\forall M>0,\overbrace{\exists\delta_M >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|<\delta_M}^{\exists\mathcal{I}_M(x_0)} \Rightarrow|f(x)>M$$\end{definizione}\begin{definizione}[Limite 3]$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\ell\stackrel{def}{=}\forall\varepsilon>0,\overbrace{\exists N_\varepsilon >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x|>N_\varepsilon}^{\exists\mathcal{I}_\varepsilon(\infty)}\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon $$\end{definizione}\begin{definizione}[Limite 4]$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\stackrel{def}{=}\forall M>0,\overbrace{\exists N_M >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x|>N_M}^{\exists\mathcal{I}_M(\infty)}\Rightarrow|f(x)|>M $$\end{definizione}\begin{notazione}[Limite destro, Limite sinistro] e quanto sopravale solo per l'intervallo $(x_0, x_0+\delta) \|(x_0-\delta,x_0)\|$, allora si parla di \emph{limite destro $\|$sinistro$\|$}.\end{notazione}\begin{teorema}Cnes affinchè esiste il limite di una funzione inun punto, è che esistano in quel punto limite destro e sinistro ecoincidano, ovvero:\\$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$$\end{teorema}\subsection{Forme Indeterminate}$\frac{0}{0}$\\$\frac{\infty}{\infty}$\\$0\cdot\infty$\\$+\infty-\infty$\\$0^0$\\$\infty ^0$\\$1^\infty$\subsection{Limiti Notevoli}$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$$\\\\$$lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\mathcal{P}(n)}{\mathcal{Q}(n)}=\left \{ \begin{array}{ccc}+\infty & \quad \mbox{se} & p>q\wedge\frac{a}{b}>0\\-\infty & \quad \mbox{se} & p>q\wedge\frac{a}{b}<0\\\frac{a}{b} & \quad \mbox{se} & p=q\\0 & \quad \mbox{se} & p<q\end{array}\right. $$\\$\mbox{dove } \mathcal{P}(n)=a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+\cdots+a_1n+a_0\mbox{ e }\mathcal{Q}(n)=b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+\cdots+b_1n+b_0$\subsection{Altri Limiti ricavabili dai Limiti Fondamentali}$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin x}{x}=2$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^2}=0$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arctan x}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^x\frac{1}{x}=e$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a (1+x)}{x}=\frac{1}{\log a}$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+\alpha x)}{x}=\alpha$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x -1}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x -1}{x}=\log a$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha, \alpha\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\alpha^x}{x^\beta}=+\infty \mbox{ se }\alpha>1\mbox{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^\alpha \log x=0\mbox{ se } \alpha>0\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{n}{x})^x=e^n\mbox{ con }n\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\log x}{x^\alpha}=0\mbox{ se }\alpha >0\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^x}{x^\alpha}=+\infty\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^p}=+\infty, \forall p\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{a^n}=+\infty, \forall a\in\mathbb{R}^+_0$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n}=0$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n\cdot e^{-n}\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot n}}=1 \mbox{ {\bfseries Formula di Stirling}}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot n}}=1 \mbox{ {\bfseries Formula di Wallis}}$$\\\subsection{Operazioni su $\pm\infty$}$+\infty+\infty=+\infty$\\$-\infty-\infty=-\infty$\\$\infty\cdot\infty=\infty$\\ \\$\mbox{Sia } \ell\in\mathbb{R}\mbox{.}$\\$\ell+\infty=+\infty$\\$\ell-\infty=-\infty$\\$\ell\cdot\infty=\infty\mbox{ con }\ell\neq 0$\\$\frac{\ell}{\infty}=0$\\$\frac{\infty}{\ell}=0\mbox{ con }\ell\neq 0$\\$+\infty ^\ell=+\infty\mbox{ se }\ell>0$\\$+\infty ^\ell=0\mbox{ se }\ell<0$\\$\ell^{+\infty}=0\mbox{ se }0<\ell<1$\\$\ell^{+\infty}=+\infty\mbox{ se }\ell>1$\\$\ell^{-\infty}=+\infty\mbox{ se }0<\ell<1$\\$\ell^{-\infty}=0\mbox{ se }\ell>1$\subsection{Teoremi sui Limiti}$\mbox{Siano: }f: A=(a,b)\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x_0 \mbox{ punto di accumulazione per }A, \ell=\lim_{x\rightarrowx_0}f(x); \ell '=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x);\ell_1=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x);\ell _2=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)\mbox{ tali che } \ell,\ell ',\ell _1,\ell _2\in\bar{\mathbb{R}}\mbox{.}$\\\begin{teorema}[dell'Unicità del Limite] $\ell=\ell '$, ovvero $\exists\ell\longrightarrow\exists !\ell $.\end{teorema}\begin{teorema}[della Permanenza del Segno] Sia $A=(a,b), x_0\in [a,b]$.$ \mbox{Se }\exists\ell\neq 0 \mbox{ allora esiste }\mathcal{I}(x_0)\\\mbox{in cui } f(x)\mbox{ ha lo stesso}\mbox{ segno di }\ell\mbox{(escluso al più }x_0\mbox{).}$ \end{teorema}\begin{teorema} $(\exists\delta>0:\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}, f(x)=g(x))\Rightarrow (\exists\ell\Leftrightarrow\exists\ell_1 \wedge \ell=\ell_1)$.\end{teorema}\begin{teorema}[del Confronto o dei Carabinieri]$\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\},f(x)\leq g(x)\leq h(x) \wedge\ell =\ell _2\longrightarrow\ell _1=\ell =\ell _2 $.\end{teorema}\begin{teorema}[del Confronto]$\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\}, f(x)\leq g(x)\wedge\ell=+\infty \|\ell_1=-\infty\|\longrightarrow\ell _1=+\infty\|\ell=-\infty\|$.\end{teorema}\begin{teorema}[Limite della Composizione di Funzioni]Sia definita$g\circ f$.Se $\exists \lim_{y\rightarrow \ell}{g(y)}=\ell_1$ evale una delle seguenti:\\\begin{enumerate}\item $\exists\delta>0:\forall x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)\setminus\{x_0\}, f(x)\neq\ell $;\\\item $g(\ell)=\ell_1 $ (continuità di $g$);\\allora $\exists\lim_{x\rightarrow x_0}{g\circ f(x)}=\ell_1$.\end{enumerate}\end{teorema}\subsection{Teoremi di de l'H\^opital}\begin{teorema}[di de l'H\^opital 1]Sia $f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in[a,b]$. Siano valide leipotesi:\\\begin{enumerate}\item $f,g$ derivabili in $(a,b)$;\\\item $\forall x\in(a,b)\setminus\{x_0\}, g'(x)\neq 0$;\\\item $f(x_0)=g(x_0)=0$;\\\item $\exists\lim_{x\rightarrowx_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\bar{\mathbb{R}}$.\\\end{enumerate}Allora:\\$$ \exists\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$$\\Eventualmente, si considera l'unico limite calcolabile.\end{teorema}\begin{teorema}[di de l'H\^opital 2]Sia $f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, a,b \in \bar{\mathbb{R}}$.Siano valide le ipotesi:\\\begin{enumerate}\item $f,g$ derivabili in $(a,b)$;\\\item $\forall x\in(a,b), g'(x)\neq 0$;\\\item $\exists\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\pm\infty; \exists\lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=\pm\infty$;\\\item $\exists\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\bar{\mathbb{R}}$.\\\end{enumerate}Allora:\\$$ \exists\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$$\\Lo stesso risultato vale per $x\rightarrow b^-$.\end{teorema}\subsection{Proprietà sui Limiti}Siano $\ell=\lim{x\rightarrow x_0}f(x);\ell _1=\lim{x\rightarrowx_0}g(x);\ell _2=\lim{x\rightarrow x_0}h(x)$ tali che$\ell,\ell _1,\ell _2\in\mathbb{R}$.\\Siano: $\alpha,\lambda,\mu\in\mathbb{R}$; $a\in\mathbb{R}_0^+\setminus\{1\}$; $b\in\mathbb{R}_0^+;n\in \mathbb{N}$.\\Sia: $x_0=\alpha\in\mathbb{R}$ oppure $x_0=\pm\infty$. Allora:\\\begin{itemize}\item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=\ell +\ell _1 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}[\lambda\codt f(x)+\mu\cdot g(x)]=\lambda\cdot\ell+\mu\cdot\ell _1 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)]^n=\ell ^n \mbox{ con }\ell>0 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\ell}\Leftrightarrow \ell\neq 0 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)}=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell}{\ell _1}\Leftrightarrow \ell _1\neq 0 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}|f(x)|=|\ell | $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}\log_{a}f(x)=\log_{a}\ell $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}b^f(x)=b^\ell$\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)]^{g(x)}=\ell ^{\ell_1}$ con $\ell>0$\\\end{itemize}\subsection{Limiti di Funzioni Monotòne}\begin{teorema}Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, a,b\in\bar{\mathbb{R}}, a<b,$ una funzione monotòna crescente $\|$decrescente$\|$, $s_0\in(a,b)$; allora:\\$$\exists\lim_{x\rightarrow x_0^-}{f(x)}=\textsf{sup}\{f(y):y<x_0\}\|=\textsf{inf}\{f(y):y<x_0\}\|=\\\textsf{sup} f((a,x_0))\|=\textsf{inf} f((a,x_0))\|$$e:\\$$\exists\lim_{x\rightarrow x_0^+}{f(x)}=\textsf{inf}\{f(y):y>x_0\}\|=\textsf{sup}\{f(y):y>x_0\}\|=\\\textsf{inf} f((x_0,b))\|=\textsf{sup} f((x_0,b))\|$$ Se$x_0\in\sigma (a,b)$, allora il teorema è vero per l'unico limiteche si può calcolare.\end{teorema}\subsection{Infinitesimi}\begin{definizione}[Infinitesimo] Sia $x_0\in\bar{\mathbb{R}}$,siano $f, g$ due funzioni definite in un intorno di $x_0$ esclusoal più $x_0$ tali che $\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}{g(x)}=0$. Si dice che $f$ è\emph{infinitesima di ordine superiore a $g$ per $x\rightarrowx_0$} o che $f$ è un \emph{"o" piccolo} di $g$ per$x\rightarrow x_0$ e si scrive $f=o(g,x_0)$ o semplicemente $f=o(g)$ se:\\$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 $$\end{definizione}\begin{notazione}[Funzioni Infinitesime] Funzioni che hanno limite uguale a $0$ per $x\rightarrowx_0$ si dicono \emph{infinitesime} e si indicano con$o(1,x_0)$.\end{notazione}\begin{definizione}[Infinitesimi di ordine $\alpha$] Sia $\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=0$; se $\exists\alpha>0:\lim_{x\rightarrowx_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha}=\ell\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$,si dice che $f$ è un \emph{infinitesimo di ordine $\alpha$ per$x\rightarrow x_0$} e che la sua \emph{parte principale} è$(x-x_0)^\alpha$. Analogamente per limite sx e per limite dx.\end{definizione}\begin{osservazione}[Proprietà "o" piccoli] Se $f_1=o(g,x_0),f_2=o(g,x_0)$, allora:\\\begin{description}\item [1] $f_1+f_2=o(g,x)$;\\\item [2] $\forall k\in\mathbb{R}, kf=o(kg,x_0)=o(g,x_0)$.\\\end{description}Se $f_1=o(g_1,x_0), f_2=o(g_2,x_0)$, allora:\\\begin{description}\item [3] $\frac{f_1+g_1}{f_2+g_2}=\frac{g_1}{g_2}$ in un intorno di $x_0$, cioè esiste un limitesse esiste l'altro, e sono uguali.\\\item [4] $\forall x,l>0, x^k=o(x^l,x_0)=o(x^{l+k},x_o)$;\\\item [5] $f_1\cdot f_2=o(g_1\cdot g_2,x_0)$;\\\end{description}inoltre, se $f=o(g,x_0), g=0o(h,x_0)$, allora:\\\begin{description}\item [6] $f=o(h,x_0)$;\\\end{description}\end{osservazione}\begin{teorema}Sia $x_0\in\mathbb{R}, f$ continua in $x_0$ e invertibile in unintorno di $x_0$ tale che $f(x)=f(x_0)+a\cdot(x-x_0)+o(x-x_o,x_0), a\neq 0$. Allora$f^{-1}(y)=x_0+\frac{1}{a}\cdot (y-y_0)+o(y-y_0,y_0)$ dove$y_0=f(x_0)$.\end{teorema}\begin{definizione}Siano $f,g$ definite in un intorno di$x_0\in\bar{\mathbb{R}}:f,g\neq 0$ in tale intorno ad eccezione alpiù di $x_0$. Si dice che $f$ è \emph{asintotica} a $g$ per$x\rightarrow x_0$ se $\exists\lim_{x\rightarrowx_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e si indicacon $f\sim g$.\end{definizione}\begin{osservazione}[Proprietà funzioni asintotiche]\begin{description}\item [1] $f\sim g\Leftrightarrowg\sim f$\\\item [2] $f\sim g \wedge g\sim h\Rightarrow f\sim h$\\\end{description}\end{osservazione}\begin{osservazione}$f\sim g\Rightarrow (\exists\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)\Leftrightarrow\exists\lim_{x\rightarrow x_0}g(x))$.\end{osservazione}\section{Funzioni Continue}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Funzione Continua]$y=f(x) \mbox{ si dice \emph{continua} in }x_0\mbox{ se }\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\mbox{ o,}\\\mbox{il che è lo stesso, se } \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\mbox{ t.c. }\forallx,|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$\end{definizione}\begin{teorema}Siano $f, g$ continue in $x_0$, $\lambda\in\mathbb{R}$. Allora$f+g,f\cdot g,\lambda\cdot f$ sono continue in $x_0$.\\Se è definita $g\circ f$, anch'essa è continua in $x_0$.\\Se è definita $f^{-1}$, anch'essa è continua in $x_0$.\end{teorema}\begin{teorema} Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}\mbox{, allora se }f(x_0)>0,\exists\delta>0:\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ in cui f(x)>0.\end{teorema}\begin{teorema}[di Weierstrass] Ogni funzione continua in un intervallo chiuso $[a,b]$ con$a,b\in\mathbb{R}$ è dotata di massimo e minimo assoluti nell'intervallo, ovvero:\\$$f([a,b])=[\stackrel{inf}{x\in[a,b]}f(x),\stackrel{sup}{x\in[a,b]}f(x)]$$e in particolare $\exists c_1, c_2\in [a,b]:$\\$$f(c_1)=\stackrel{inf}{x\in[a,b]}f(x), f(c_2)=\stackrel{sup}{x\in[a,b]}f(x)$$\end{teorema}\begin{teorema}[dei Valori Intermed\^i] Una funzione continua in un intervallo $I$ assume nell'intervallo tutti ivalori compresi tra il minimo $m$ e il massimo $M$, ovvero, dati $x,y:f(x)<f(y), \lambda\in\mathbb{R}:f(x)<\lambda<f(y)$,allora $\forall\lambda, \exists z\in I:f(z)=\lambda$.\\\end{teorema}\begin{teorema}[dell'Esistenza degli Zeri o di Bolzano] \label{sez:Bolzano} Se una funzione continua su un intervalloassume valori disegno opposto in due punti $x-1$ e $x_2$ dell'intervallo, alloraesiste almeno un punto interno all'intervallo $]x_1,x_2[$ in cui$f(x)=0$, ovvero, data $f:[a,b)\rightarrow\mathbb{R}$, continua in $[a,b]$, $a,b\in\mathbb{R},a<b:f(a)\cdot f(b)<0$, allora$\exists c\in(a,b):f(c)=0$.\\\end{teorema}\section{Derivate}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Rapporto Incrementale]Sia $I$ intervallo con $x_0$ punto interno di $I$; si dice\emph{rapporto incrementale} in $x_0$ la funzione:\\$$R_{x_0}f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$definita in $I\setminus\{0\}$.\end{definizione}\begin{definizione}[Derivata]$f$ è derivabile in $x_0$ se $\exists\lim{x\rightarrowx_0}R_{x_0}f(x)\in\mathbb{R}$ e si denota con:\\$$f'(x)=D[f(x)]=\frac{df}{dx}=\dot{f}(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{x\rightarrow x_0}R_{x_0}f(x).$$\\Analogamente si definiscono le derivate destra e sinistra. Sepossono calcolarsi derivata destra e sinistra, allora esiste laderivata e coincide con derivata dx e sx.\end{definizione}\begin{teorema}Se $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ ècontinua in $x_0$, ma non viceversa.\end{teorema}\begin{notazione}[Differenziabilità]$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}0f')x_0)+o(1,x_0)$\\$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+(x-x_0)\cdot o(1,x_0)$\\$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+o(x-x_0,x_0)$$\end{notazione}\begin{definizione}[Differenziabilità]Sia $f_I\rightarrow\mathbb{R}, x_0$ punto interno di $I$; $f$ sidice \emph{differenziabile} in $x_0$ se $\forall x\in I, \existsL>0:f(x)=f(x_=)+L\cdot (x-x_0)+o(x-x_0,x_0)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Derivata Seconda, $k$-esima]$f(x_0)=\frac{d^2}{dx^2}=\dot{\dot{f}}(x)=\frac{d}{dx}f'(x)$.$f^{(k)}(x_0)=\frac{d^k}{dx^k}=\frac{d}{dx}f^{(k-1)}$.\end{definizione}\begin{notazione}[Classe $C^k$]$f\in C^k, k\in\mathbb{N}, k\geq 1$ sta ad indicare che $f$ èderivabile $k$ volte in $I$ con derivate continue in $I$ (inparticolare, è continua $f^{(k)}$.\\In particolare, $C^0(I)=C(I)$ denota lo spazio vettoriale dellefunzioni continue in $I$; $C^{+\infty}(I)$ denota l'insieme dellefunzioni che ammettono derivate di ogni ordine in $I$ e tali che$\forall k, \frac{d^k}{dx^k}f\in C(I)$.\end{notazione}\begin{osservazione}I polinom\^{i} appartengono a $C{+\infty}(\mathbb{R})$ con laproprietà $\frac{d^k}{dx^k}P=0 \mbox{ se } k>\textsf{deg}P$.\\$e^x\in C^{+\infty}(\mathbb{R})$.\end{osservazione}\begin{teorema}La funzione $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ è differenziabile in $x_0$punto interno di $I$ sse è derivabile in $x_0$ e in tal caso$L=f'(x)$.\end{teorema}\begin{teorema}Siano $f,g: I\rightarrow\mathbb{R}, x_0$ punto interno di $I$,$f\equiv g$ in un intorno di $x_0$; allora $f$ è derivabile in$x_0$ sse lo è $g$ e in tal caso $f'(x_0)=g'(x_0)$.\end{teorema}\subsection{Proprietà locali di una funzione}\begin{osservazione}[Derivata prima e monotonia]Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $x_0$ e debolmentecrescente $\|$decrescente$\|$ in un intorno di $x_0$. Allora$f'(x_0)\geq 0 \|\leq 0\|$.\end{osservazione}\begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$relativo debole (locale)] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$derivabile in $x_0\in I$; $x_0$ si dice \emph{punto di massimo$\|$minimo$\|$ relativo debole (locale)} di $f$ se $\forall x\inI\cap (x_0-\delta, x_0+\delta), \exists\delta>0:f(x)\leq f(x_0)\|\geq f(x_0)\|$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$ relativoforte (stretto)] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in$x_0\in I$; $x_0$ si dice \emph{punto di massimo $\|$minimo$\|$relativo forte (stretto)} di $f$ se $\forall x\in I\cap(x_0-\delta, x_0+\delta), \exists\delta>0:f(x)< f(x_0) \|>f(x_0)\|$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$ assoluto]$x_0$ di dice \emph{punto di massimo $\|$minimo$\|$ assoluto} di$f$ se $\forall x\in I, f(x)\leq \|\geq\| f(x_0)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto stazionario]Se $x_0$ è tale che $f'(x_o)$ allora $x_0$ è detto \emph{puntostazionario} di $f$.\end{definizione}\begin{teorema}[Fermat]Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $x_0$, sia $x_0\in I$estremo relativo, allora $f'(x_0)=0$.\end{teorema}\begin{teorema}[Conseguenza 1 Teorema di Lagrange]Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $I$ e derivabile neipunti interni di $I$, con derivata prima positiva (strettamentepositiva, negativa, strett. negativa) in tali punti. Allora $f$ ècrescente (decrescente, str. crescente, str. decrescente) in taleintervallo.\end{teorema}\begin{teorema}[Conseguenza 2 Teorema di Lagrange]Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $I$ e derivabile neipunti interni di $I$, con derivata prima nulla in tali punti.Allora $f$ è costante in tale intervallo.\end{teorema}\begin{criterio}[Massimi, minimi relativi]Se $\exists\delta>0:f'(x)\leq 0 (\geq) \mbox{ in }(x_0-\delta,x_0) \mbox{ e } f'(x)\geq 0 (\leq 0) \mbox{ in } (x_0,x_0+\delta)$ allora $x_0$ è un punto di minimo (massimo) relativodi $f$. Se le disuguaglianze valgono con i segni forti, allora$x_0$ è punto di minimo (massimo) relativo stretto.\end{criterio}\begin{teorema}Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}\in C^2, f'(x_0)=0, f(x_0)>0 (<),x_0$ punto interno di $I$. Allora $x_0$ è punto di minimo(massimo) relativo forte di $f$, e viceversa condizione necessariaaffinchè $x_0$ sia punto di minimo (massimo) relativo forte è che$f(x_0)\geq (\leq) 0$.\end{teorema}\subsection{Convessità}\begin{definizione}[Funzione Convessa]$f:I\rightarrow\mathbb{R}$ si dice \emph{convessa} se:\\$\forall x_0,x_1\in I: x_0<x_1, \forall t\in[0,1], f(t\cdotx_0+(1-t)\cdot x_1)\leq t\cdot f(x_0)+(1-t)\cdot f(x_1)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Funzione Concava]$f$ si dice \emph{concava} se $-f$ è convessa.\end{definizione}\begin{teorema}Sia $f$ convessa in $I$; allora:\\$\forall x>x_0, f(x)\geq f(x_0)+f'_+(x_0)\cdot (x-x_0)$;\\$\forall x<x_0, f(x)\geq f(x_0)+f'_-(x_0)\cdot (x-x_0)$.\end{teorema}\begin{definizione}[Punto di flesso]$f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$, $x:0$ punto interno di $I: f$convessa (concava): in $(a,x_0)$ e concava (convessa) in$(x_0,b)$. $x_0$ si dice \emph{punto di flesso} per $f$. $x_0$ sidice \emph{flesso ascendente (discendente)} se $f$ è localmentecrescente (decrescente) in un intorno di $x_0$.\end{definizione}\begin{definizione}[Asintoto obliquo]$f:(a,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ ha \emph{asintoto obliquo} a$+\infty$ se $\lim_{x\rightarrow +\infty}=\pm\infty$ e:\\$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$$;\\$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-a\cdot x=b\in\mathbb{R}$$.\\In questo caso l'asintoto obliquo è $y:a\cdot x+b$.\end{definizione}\begin{osservazione}$f,g$ convesse in $I\Rightarrow f+g$ convessa in $I$.\end{osservazione}\subsection{Teoremi}\begin{teorema}[di Rolle] Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$e sia $f(a)=f(b)$; allora $\exists x_0\in (a,b)$ t.c.$f'(x_0)=0$.\\\end{teorema}\begin{teorema}[di Lagrange o del Valor Medio] Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$e derivabile in $(a,b)$; allora $\exists x_0\in]a,b[$t.c. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x_0)$.\\\end{teorema}\begin{teorema}[di Cauchy] Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni continue su$[a,b]$ e derivabili su $]a,b[$ e sia $g'(x)\neq 0\forall x\in[a,b]$;allora $\exists x_0\in]a,b[$ t.c. $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$.\\\end{teorema}\subsection{Teoremi Funzioni Convesse}\begin{teorema}[1]Sia $f: I\rightarrow\mathbb{R}$ convessa; siano $x_0, x_1\in I:x_0<x_1$. Allora $\forall x\in [x_0,x_1], f(x)\leqf(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\cdot(x-x_0)\stackrel{def}{=}r_{x_0x_1}(x);\\\forall x\not\in[x_0,x_1], f(x)\geq r_{x_0x_1}(x)$.\end{teorema}\begin{teorema}[2]Siano $f: I\rightarrow\mathbb{R}$ convessa in $I$, $r$ una retta;Se $\exists x_0<x_1<x_2\in I:f(x_j)=r(x_j), j=0,1,2$ allora$\forall x\in[x_0,x_2], f(x)=r(x)$.\end{teorema}\begin{teorema}[3]Sia $f: I\rightarrow\mathbb{R}$, sia $x_0\in I$. Sia:\\$R_{x_0}f:I\setminus\{x_0\}\rightarrow\mathbb{R},\\R_{x_0}f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,\\allora $f$ è convessa in $I$ sse $R_{x_0}f$ è crescente in$I\setminus\{x_0\}$. Eventualmente, si considera l'unico rapportoincrementale calcolabile.\end{teorema}\begin{teorema}Sia $f$ convessa in $I$; allora è continua in tutti i puntiinterni di $I$ in quanto $\exists\lim R_{x_0}f(x)$.\end{teorema}\begin{teorema}[Convessità-derivabilità]Sia $f: (a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $(a,b)$; $f$ èconvessa (concava) in $(a,b)$ sse $f'$ è crescente (decrescente)in $(a,b)$, è strettamente convessa (concava) se $f'$ è str.crescente (decrescente).\end{teorema}\subsection{Derivate Fondamentali}%\ding{42} Tabella \ref{tab:Derivate} a pag.\pageref{tab:Derivate}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{c|c}$f(x) $ & $f'(x) $\\\hline$k $ & $0 $\\$x^n $ & $nx^{n-1} $\\$\sin x $ & $\cos x $\\$\cos x $ & $-\sin x $\\$\tan x $ & $1+\tan ^2 x $\\$\tan x $ & $\frac{1}{\cos ^2 x} $\\$\cot x $ & $-1-\cot ^2 x $\\$\cot x $ & $-\frac{1}{\sin ^2 x} $\\$e^x $ & $e^x $\\$a^x $ & $a^x \log a $\\$\log x $ & $\frac{1}{x}$\\$\log_{a} x $ & $\frac{log_{a}e}{x}$\\$\arcsin x $ & $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\$\arccos x $ & $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\$\arctan x $ & $\frac{1}{1+x^2} $\\$\textsf{arccot} x $ & $-\frac{1}{1+x^2} $\end{tabular}\end{center}\caption{Derivate Fondamentali}\label{tab:Derivate}\end{table}\subsection{Regole di Derivazione}Siano $f,g:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabili in $x_0$, $x_0$punto interno di $I$, $\lambda\in\mathbb{R}$; allora valgono iseguenti teoremi algebrici o regole di derivazione.\\%\ding{42} Tabella \ref{tab:Derivazione} apag.\pageref{tab:Derivazione}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{ll}$y=f(x)\pm g(x) $ & $y'=f'(x)\pm g'(x) $\\$y=k\cdot f(x) $ & $y'=k\cdot f'(x) $\\$y=f(x)\cdot g(x) $ & $y'=f'(x)\cdot g(x)+f(cx)\cdot g'(x) $\\$y=\frac{f(x)}{g(x)} $ & $y'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(cx)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $\\$y=f(g(h(x))) $ & $y'=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x) $\\$y=[f(x)]^{g(x)} $ & $y'=[f(x)]^{g(x)}\cdot [g'(x)\cdot\log f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)}] $\end{tabular}\end{center}\caption{Regole di Derivazione}\label{tab:Derivazione}\end{table}\begin{osservazione}[Conseguenza]I polinom\^{i} sono derivabili in $\mathbb{R}$ e la derivata di unpolinomio di grado $n$ è un polinomio di grado $n-1$.\end{osservazione}\begin{teorema}[Derivabilità della funzione inversa]Sia $f$ strettamente monotòna definita in $I$ e ivi continua,derivabile in $x_0$ punto interno di $I$ tale che $f'(x_0)\neq 0$,allora $f$ è invertibile e la sua inversa è derivabile in$f(x_0)$. Inoltre:\\$(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}$\\$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$\end{teorema}\section{Integrali}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Integrale]$\int f(x)\, dx=F(x)+c \Leftrightarrow F'(x)=f(x) $\\$F(x)$ si dice \emph{primitiva} di $f(x)$.\end{definizione}\begin{teorema}[di Torricelli-Barrow]$\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a) $\end{teorema}\subsection{Integrale di Riemann}\begin{definizione}[Partizione]Si dice \emph{partizione} di $[a,b]$ ogni insieme di punti$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$. Data $\delta$ partizione di $[a,b]$, siha:\\$$[a,b]=\bigcup_{j=0}^{n-1}[t_j,t_{j+1}]$$\end{definizione}\begin{notazione}[Somme superiori e inferiori]$$s(f,\delta)=\{\sum_{j=0}^{n-1}\stackrel{\textsf{inf}}{t\in[t_j,t_{j+1}}f(t)\cdot (t_{j+1}-t_j)\}$$$$S(f,\delta)=\{\sum_{j=0}^{n-1}\stackrel{\textsf{sup}}{t\in[t_j,t_{j+1}}f(t)\cdot (t_{j+1}-t_j)\}$$\end{notazione}\begin{definizione}[Funzione Riemann-integrabile]$f$ è \emph{integrabile} se esiste unico l'elemento separatore tra$s(f)$ e $S(f)$ ovvero se $\textsf{sup}s(f)=\textsf{inf}S(f)$.Tale elemento separatore si dice \emph{integrale} di $f$ in$[a,b]$ e si scrive:\\$$\int_a^bf(x)\,dx=\textsf{sup}s(f)=\textsf{inf}S(f)$$ovvero $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ limitata è integrabile in$[a,b]$ se $\forall\varepsilon>0, \exists\delta:S(f,\delta)-s(f,\delta)\leq\varepsilon$.\end{definizione}\begin{osservazione}[Conseguenza]$f$ monotòna è integrabile.\\$f$ continua è integrabile.\\Lo spazio $\mathcal{R}$ delle funzioni integrabili è vettoriale el'applicazione $\mathcal{R}\rightarrow\mathbb{R},f\rightarrow\int_1^b f(t)\,dt$ è lineare.\end{osservazione}\begin{notazione}$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$\\$\int_a^a f(x)\,dx=0$\end{notazione}\begin{definizione}[Funzione integrale]$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ R-integrabile in $[a,b]$,$c\in[a,b]$ fissato; la funzione $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$definita da:\\$$F(x)=\int_c^xf(t)\,dt$$si dice \emph{funzione integrale} di $f$.\end{definizione}\subsection{Teoremi}\begin{teorema}[della Media]$\stackrel{inf}{[a,b]}f\leq\frac{1}{b-a}\cdot \int_a^bf(x)\,dx\leq\stackrel{sup}{[a,b]}f$\\$$ \exists c\in [a,b]\mbox{ t.c. } f(c)=\frac{\int_a^b f(x)\, dx}{b-a}$$\\\end{teorema}\begin{teorema}[fondamentale del Calcolo Integrale]$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ R-integrabile in $[a,b]$; allora:\\\begin{enumerate}\item $\forall c\in[a,b], F(x)=\int_c^xf(t)\,dt$ èlipschitziana e $|F(x)-F(y)|\leq\stackrel{\textsf{sup}}{t\in[a,b]}|f(t)|\cdot |y-x|$;\\\item se $f$ è continua in $x_0\in(a,b)$, allora $F$ è derivabilein $x_0$ e $F'(x_0)=f(x_0)$;\\\item se $f$ è continua in $a$ ($b$), allora $F$ è derivabile a dx(sx) in $a$ ($b$) e $F'_+(a)=f(a) (F'_-(b)=f(b))$;\\\item $\forall \alpha,\beta\in[a,b]: \alpha\leq\beta,\int_\alpha^\beta f(x)\,dx=F(\beta)-F(\alpha)$\\\end{enumerate}\end{teorema}\subsection{Integrali Notevoli Fondamentali}$$\int x^n \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\mbox{ con } n\neq -1 $$\\$$\int \frac{1}{x}\, dx=\log |x|+c $$\\$$\int\sin x\, dx=-\cos x +c $$\\$$\int\cos x\, dx=\sin x +c $$\\$$\int\frac{1}{\cos ^2 x}\, dx=\tan x +c $$\\$$\int (1+\tan ^2 x) \, dx=\tan x +c $$\\$$\int\frac{1}{\sin ^2 x}\, dx=-\cot x +c $$\\$$\int (1+\cot ^2 x) \, dx=-\tan x +c $$\\$$\int e^x\, dx=e^x +c $$\\$$\int a^x\, dx=a^x\cdot log_a e +c $$\\$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c $$\\$$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x +c $$\subsection{Regole di Integrazione}\begin{description}\item [1a] $\displaystyle \int k\cdot f(x)\, dx=k\cdot \int f(x)\, dx$\\\item [1b] $\displaystyle \int [f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x)]\,dx=\int f_1(x)\, dx+\int f_2(x)\, dx+\cdots +\int f_n(x)\, dx$\\\item [2, monotonia] $\forall x\in [a,b], f(x)\leqg(x)\Rightarrow\int_a^b f(x)\,dx\leq\int_a^b g(x)\,dx$\\\item [2bis] $\forall x\in [a,b], g(x)\geq 0\Rightarrow\int_a^bg(x)\,dx\geq 0$\\\item [3, spezzamento] $\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$\\\end{description}\subsection{Altri Integrali Notevoli}$\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\, dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+c $\\$\displaystyle \int\sqrt{a^2+x^2}\, dx=\frac{x}{2}\cdot \log (x+\sqrt{a^2+x^2})+\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^2+x^2}+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\, dx=\log |x+\sqrt{a^2+x^2}|+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx=\arcsin\frac{x}{a}+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\, dx=\log |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{x^2-a^2}\, dx=\frac{1}{2a}\cdot\log |\frac{x-a}{x+a}|+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+px+q}}\, dx=\log |x+\frac{p}{2}+\sqrt{(x+\frac{p}{2})^2+q-\frac{p^2}{4}}|+c $\\$\displaystyle \int\cos \alpha x\cos \beta x\, dx=\frac{\sin (\alpha+\beta)x}{2(\alpha+\beta)}+\frac{\sin (\alpha-\beta)x}{2(\alpha-\beta)}+c $\\$\displaystyle \int e^x\cdot \sin x\, dx=-\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+c$\\$\displaystyle \int e^x\cdot \cos x\, dx=-\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+c$\subsection{Integrali per Serie}$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int\sin ^{2n}x\, dx=\frac{1}{2n}[-\sin^{2n-1}x\cos x+(2n-1)\mathcal{I}_{n-1}]\mbox{ con }\mathcal{I}_0=x+c; \mathcal{I}_1=-\frac{1}{2}\sin x \cos x+\frac{1}{2}x+c $\\$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int\log ^{n}x\, dx=x\log^n x-n\cdot\mathcal{I}_{n-1}\mbox{ con }\mathcal{I}_0=x+c; \mathcal{I}_1=x\log x-x+c $\\$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int x^n\cdot e^x\, dx=x^n\cdot e^x-n\cdot \mathcal{I}_{n-1}\mbox{ con }\mathcal{I}_0=e^x+c; \mathcal{I}_1=xe^x-x+c$\\$\displaystyle \mathcal{I}_{n+1}=\int\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \,dx=\frac{x}{2n\cdot(1+x^2)^n}+\frac{2n-1}{2n}\mathcal{I}_{n-1}\mbox{con }\mathcal{I}_0=\arctan x+c;\mathcal{I}_1=\frac{x}{2(1+x^2)}+frac{1}{2}\arctan x+c $\subsection{Integrazione di Funzioni Goniometriche}$\displaystyle \int\sin^{2k+1}x\, dx=\int\sin^{2k}x\cdot\sin x\, dx=-\int(1-\cos^2 x)^k\, d\cos x $\\$\displaystyle \int\sin^{2k}x\, dx=\frac{1}{2}\int(\frac{1-\cos 2x}{2})^k\, d2x$\subsection{Integrazione di Funzioni Razionali}\begin{eqnarray*}f(x) & = &\frac{P(x)}{Q(x)}=\\& = &S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}=\\& = & S(x)+\frac{A_1}{(x-x_1)}+\frac{A_2}{(x-x_1)^2}+\cdots+\frac{A_{r_1}}{(x-x_1)^{r_1}}+\\& + & \frac{B_1}{(x-x_2)}+\frac{B_2}{(x-x_2)^2}+\cdots+\frac{R_{r_2}}{(x-x_2)^{r_2}}+\cdots+\\& + & \frac{\alpha_1\cdot x+\beta_1}{(x^2+a_1\cdotx+b_1)}+\cdots+\frac{\alpha_{l_1}\cdotx+\beta_{l_1}}+\frac{\gamma_1\cdot x+\delta_1}{(x^2+a_1\cdotx+b_1)}+\cdots+\\& + & \frac{\gamma_{l_2}\cdot x+\delta_{l_2}}+\cdots\end{eqnarray*}$$\mathcal{I}=\int\frac{P_1(x)}{P_2(x)}\, dx=\int Q(x)\,dx+\int\frac{R(x)}{P_2(x)}\, dx \mbox{ dove vale }P_1(x)=$$$$P_2(x)\cdot Q(x)+R(x)\mbox{ ed è } \varrho R(x)<\varrho P_2(x)$$Considerato il caso in cui $\varrho P_2(x)=2$ e quindi $\varrhoR(x)=0\vee 1$, essendo $P_2(x)=ax^2+bx+c$ con $a,b,c$ costantiassegnate, dette $\alpha_1,\alpha_2$ le radici di $P_2(x)=0$,definito $\Delta=b^2-4ac$, considerati $A$ e $B$ costanti in$\mathbb{R}$, si hanno i seguenti tre casi, a seconda del segno di$\Delta$:\begin{enumerate}\item $\Delta P_2(x)>0\longrightarrow \mathcal{I}=\frac{1}{a}\int\frac{A}{x-\alpha_1}\, dx+\frac{1}{a}\int\frac{B}{x-\alpha_2}\, dx=\frac{A}{a}\log |x-\alpha_1|+\frac{B}{a}\log |x-\alpha_2|+c$\\\item $\Delta P_2(x)=0\longrightarrow \mathcal{I}=\frac{1}{a}\int\frac{A}{x-\alpha}\, dx+\frac{1}{a}\int\frac{B}{(x-\alpha)^2}\, dx=\frac{1}{a} A\log |x-\alpha|-\frac{A\alpha +B}{a(x-\alpha)}+c$\\\item $\Delta P_2(x)<0\longrightarrow\mathcal{I}=\int\frac{gx+h}{ax^2+bx+c}\,dx=$\\$=gs\int\frac{d(ax^2+bx+c)}{x^2+bx+c}+ht\int\frac{dx}{(kx+j)^2+1}=$\\$=gs\log|ax^2+bx+c|+ht\arctan(kx+j)+c$\end{enumerate}\subsection{Tecniche di Integrazione}$\mbox{{\bfseries Integrazione per Sostituzione}: }x=g(t)\longrightarrow \int f(x)\, dx=\int f(g(t))\cdot g'(t)\, dt$\\$\mbox{{\bfseries Integrazione per Parti}: }\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\, dx$\subsection{Integrazione Numerica \footnote{Marcello Pedone, {\itshape Integrazione Numerica eValutazione dell'errore}, {\ttfamilyhttp://www.matematicamente.it}}}\begin{metodo}[dei rettangoli]Si approssima l'area sottesa alla curva alla somma di $ n $ rettangoli la cui base tende a $ 0 $ tendendo l'errore$ e $ a $ 0 $ e la cui altezza è pari al valore della funzione all'estremo sinistro o destro della base.\\$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{n}\cdot [f(x_0)+f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})] $\\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^2}{2n}\cdot M \mbox{ con }|f'(x)|\leq M $\\\end{metodo}\begin{metodo}[dei trapez\^i]Si approssima l'area sottesa alla curva alla somma di $ n $ trapezi la cui altezza tende a $ 0 $ tendendo l'errore$ e $ a $ 0 $ e le cui basi sono i valori della funzione all'estremo destro e sinistro della base.\\$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{2n}\cdot [f(x_0)+f(x_n)+2\cdot[f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})]] $\\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^3}{12n^2}\cdot M \mbox{ con }|f(x)|\leq M $\\\end{metodo}\begin{metodo}[di Cavalieri-Simpson]$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{3n}\cdot [f(x_0)+f(x_n)+4\cdot [f(x_1)+f(x_3)+\cdots ]+2\cdot [f(x_2)+f(x_4)+\cdots]] $\\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^5}{180n^4}\cdot M \mbox{ con }|f^{iv}(x)|\leq M $\end{metodo}\subsection{Lunghezze di Archi di Curva, Volumi e Superfici di Solidi di Rotazione}$\displaystyle \ell=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx $\\$\displaystyle\left\{\begin{array}{c}x=x(t)\\y=y(t)\end{array}\right.\rightarrow\ell =\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\, dt$\\$\displaystyle \mathcal{V}=\pi\cdot\int_a^b[f(x)]^2\, dx $\\\begin{teorema}[di Guldino]Il volume di un solido generato da una superficie piana $\mathcal{S}$ che compie una rotazionecompleta intorno ad una retta del suo piano che non l'attraversa è dato dal prodotto dell'area di $\mathcal{S}$ per la lunghezzadella circonferenza descritta dal baricentro di $\mathcal{S}$. \end{teorema}\\\begin{teorema}[Regola di Archimede] L'area di un segmento parabolico è i $\frac{2}{3}$ dell'area del rettangolo in cui è inscritto.\end{teorema}$$S_{laterale}=2\cdot\pi\int_a^b f(x)\cdot\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx$$\section{Polinomio di Taylor}\begin{teorema}$n\in\mathbb{N},\delta P=\deltaQ=n:f(x)=P(x)+o((x-x_0)^n,x_0)=Q(x)o((x-x_0)^n,x_0)\RightarrowP\equiv Q$\end{teorema}\begin{teorema}[Polinomio e Formula di Taylor, Polinomio di Mac Laurin]$f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in(a,b)$,$f$ derivabile $n-1$ volte in $(a,b)$ e $n$ volte in $x_0$.Allora la seguente è una approssimazione di $f$:\\$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n,x_0)$$\\e si dice \emph{polinomio di Taylor} di grado $n$ centrato in$x_0$ il seguente:\\$$P_{n,x_0}f=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k$$\\Per $x_0=0$ si ha il \emph{polinomio di Mac Laurin}.\end{teorema}\subsection{Formula di Taylor con resto di Lagrange}\begin{teorema}Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in(a,b), f$ derivabile$n+1$ volte in $x_0$; allora $\exists c=c(x)\in(\textsf{min}\{x_0,x\}, \textsf{max}\{x_0,x\}):$\\$$f(x)=P_{n,x_0}f(x)+\frac{f^{(n+1)}(c(x))}{(n+1)!}\cdot(x-x_0)^{n+1}$$\end{teorema}\subsection{Formula di Taylor con resto di integrale}$f:I\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in I, f\in C^n(I)$:$$f(x)-P^{x_0}_{n}f(x)=\frac{1}{n!}\cdot\int_{x_0}^{x}f^{(n+1)(t)\cdot(x-t)^{n}\,dt}$$\subsection{Sviluppi di Taylor}$$f(x)=P_{n,0}f+o(x^n,0)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k+o(x^n,0)$$\hline\\\hline\\$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n,0)$$$$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^n}{n}+o(x^n,0)$$$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2},0)$$$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1},0)$$$$\tan x=P_{6,0}\tan+o(x^6,0)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2\cdot x^5}{15}+o(x^6,0)$$$$\arcsin x=x+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$\arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\cdots-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2},0)$$$$\cosh x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1},0)$$$$\tanh x=P_{6,0}\tanh+o(x^6,0)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2\cdot x^5}{15}+o(x^6,0)$$$$\textsf{arcsinh} x=x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$\textsf{arctanh} x=\frac{1}{2}\cdot\log\frac{1+x}{1-x}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$(1+x)^\alpha=1+\alpha\cdot x+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2}\cdot x^2+\cdots+\frac{\alpha !}{(\alpha-n)!\cdot n!}\cdot x^n+o(x^n,0)$$$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^n\cdot x^n+o(x^n,0)$$\section{Studio di Funzione}\begin{enumerate}\item Dominio;\\\item Intersezione con gli assi;\\\item Segno;\\\item Limite (asintoti):\\ \begin{enumerate} \item Asintoto Verticale: $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty $;\\ \item Asintoto Orizzontale: $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\ell$: $\varrho den=\varrho num$;\\ \item Asintoto Obliquo: $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$: $\varrho den=\varrho num-1$:\\ $m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x} $\\ $n=\lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-mx] $\\ $A.Ob.: y=mx+n$\\ \end{enumerate}\item Derivata Prima: Crescenza$^+ $/decrescenza$^- $; Punti di Massimo e Minimo Relativi$^0 $;\\\item Derivata Seconda: Concavità verso l'alto$^+ $/basso$^- $; Punti di Flesso$^0 $.\end{enumerate}\section{Approssimazione di Radici Reali}\begin{metodo2}[di Bisezione o Dicotomico] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $.Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).Considerato il nuovo punto $ f(\frac{a+b}{2}) $, la radice si troverà tra$ ]a,\frac{a+b}{2}[[\Leftrightarrow f(a)\cdot\frac{a+b}{2}<0 $, oppure tra$ ]\frac{a+b}{2},b[[\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\cdot f(b)<0 $.Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore.\end{metodo2}\begin{metodo2}[della Secante] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $.Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).Per determinare questo valore, si consideri la retta passante per i due punti $ (a, f(a)) $ e $ (b, f(b)) $; questa rettaintersecherà l'asse $ x: y=0 $ in un punto $ c $ a cui corrisponderà $ f(c) $. La radice si troverà tra$ ]a,c[[\Leftrightarrow f(a)\cdot f(c)<0 $, oppure tra$ ]c,b[[\Leftrightarrow f(c)\cdot f(b)<0 $.Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore.\end{metodo2}\begin{metodo2}[della Tangenteo di Newton] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $.Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).Per determinare questo valore, si consideri la retta tangente alla curva in $ (a, f(a)) $ o $ (b, f(b)) $ e t.c. intersechi l'asse$ x: y=0 $ in un punto $ c\in ]a,b[ $ a cui corrisponderà $ f(c) $. La radice si troverà tra$ ]a,c[[\Leftrightarrow f(a)\cdot f(c)<0 $, oppure tra$ ]c,b[[\Leftrightarrow f(c)\cdot f(b)<0 $.Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore.\end{metodo2}\chapter{Combinatoria e Probabilità}\section{Combinatoria}\subsection{Fattoriale}\begin{definizione}[Fattoriale]$$ n!=1\cdot 2\cdot\, \cdots\, \cdot (n-1)\cdot n=\prod_{i=1}^{n}i $$$$\left\{\begin{array}{l}0\,!=1 \\ n\,!=n\cdot(n-1)\, ! \mbox{ per } n\geq 1\end{array}\right.$$\end{definizione}\subsection{Coefficienti Binomiali}\begin{definizione}[Coefficiente Binomiale]$${n \choose k}= \frac{n\, !}{(n-k)\,!\: k\, !} $$\end{definizione}$${n \choose k} = {n \choose n-k}$$$${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$$\subsection{Combinazioni}\begin{itemize}\item Natura.\end{itemize}$ \mathcal{P}_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}={n \choose k}$\\$ \mathcal{C}'_{n,k}= {n+k-1 \choose k}$\subsection{Permutazioni}\begin{itemize}\item Ordine.\end{itemize}$\mathcal{P}_{n}=n!$\\$\mathcal{D}'_{n}^{k_1,k_2,\cdots ,k_n}=\frac{n!}{k_1!\cdotk_2!\cdot\,\cdots\,\cdot k_n!}$\subsection{Disposizioni}\begin{itemize}\item Natura;\item ordine.\end{itemize}$\mathcal{D}_{n,k}=\mathcal{C}_{n,k}\cdot\mathcal{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}$\\$\mathcal{D}'_{n,k}=n^k$\section{Probabilità}\subsection{Definizioni}\begin{enumerate}\item {\bfseries Definizione Classica (Laplace)}: per casi \emph{equiprobabili} è $p=\frac{f}{n}$;\\\item {\bfseries Definizione Frequentista (Legge dei Grandi Numerio Legge Empirica del Caso)}:$\displaystyle p=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f}{n}$;\\\item {\bfseries Definizione Soggettivista};\item {\bfseries Definizione Assiomatica}: \begin{enumerate} \item $p(\emptyset)=0$\\ \item $p(\Omega)=1$\\ \item $0\leq f\leq n\rightarrow 0\leq \frac{f}{n}\leq 1\rightarrow0\leq p\leq 1$\\ \item $p(A^c)=p(\bar{A})=1-p(A)$ \end{enumerate}\end{enumerate}\subsection{Probabilità Condizionata}$p(A\setminus B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}$\subsection{Somma}\begin{itemize}\item Per eventi \emph{incompatibili} (tali cioè che $A\cap B=\O$): $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$.\\\item Per eventi \emph{compatibili} (tali cioè che $A\cap B\neq\O$): $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)$.\end{itemize}\subsection{Prodotto}\begin{itemize}\item Per eventi \emph{stocasticamente indipendenti} (tali cioè che $p(A)=p(A\setminus B$): $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$.\\\item Per eventi \emph{stocasticamente dipendenti} (tali cioè che $p(A)\neq p(A\setminus B$): $p(A\cup B)=p(A)\cdot p(B\setminus A)$.\end{itemize}\subsection{Formula di Bayes}$$p(H_i\setminus E)=\frac{p(H_i)\cdot p(E\setminus H_i)}{\displaystyle \sum^n_1 p(H_i)\cdot p(E\setminus H_i)} $$\subsection{Distribuzione Binomiale di Bernoulli}$$p_{n,k}={n \choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$\subsection{Speranza Matematica o Valor Medio}$\displaystyle\mathcal{M}(X)=\sum_1^n x_i p_i$\chapter{Aritmetica}\section{Rappresentazione in base \textsl{b}}\subsection{Rappresentazione in base \textsl{b} degli interi}Ogni intero positivo $N$ si pu\`o scrivere nella forma\\\begin{center}$N = a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_1b+a_0$,\end{center}dove $0\leq a_i < b$ per ogni $i = 1,\ldots,n$.\subsection{Rappresentazione in base \textsl{b} dei reali}Ogni numero reale $R$ si pu\`o scrivere nella forma\\\begin{center}$\displaystyle R = a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_1b+a_0+\sum_{i=1}^{\infty} a_{-i}b^{-i}$,\end{center}dove $0\leq a_i < b$ per ogni $i\leq n$, positivo, negativo, o nullo.\section{Divisibilit\`a}\subsection{Divisibilit\`a}\begin{definizione}[Divisibilit\`a]Un numero intero c \`e detto divisibile per un secondo numerointero b diverso da zero se e solo se esiste un terzo numerointero x tale che $c = b\cdot x$.\end{definizione}\begin{osservazione}Si dice anche, equivalentemente, che b \`e un divisore di c ovvero che c \`e un multiplo di b. La propriet\`a "c \`e divisibile per b" ovvero "b \e' un divisore di c" ovvero "c \`e un multiplo di b" si indica con la grafia:\begin{center}$b|c$\end{center}\end{osservazione}\begin{teorema}[Divisione euclidea]Siano a e b due interi, con $a\neq 0$. Allora esistono due interi q ed r tali che\begin{center}$b=aq+r,$\\$0\leq r < |a|$.\end{center}Inoltre q ed r sono unici. Questa si chiama divisione euclidea, o divisione con resto. In tal caso b si chiama dividendo, a si chiama divisore, q si chiama quoziente e r si chiama resto.\end{teorema}\subsection{Numeri primi}\begin{definizione}[Numeri primi]Un numero primo \`e un intero $> 1$ che ha come divisori positivi soltanto 1 e se stesso. Esistono infiniti numeri primi.\end{definizione}\begin{teorema}[Teorema fondamentale - fattorizzazione] Ogni $n>1$ pu\`o essere scritto in uno ed in un solo modo come prodotto di fattori primi:\begin{center}$n = p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdots p_m^{n_m}$,\end{center}dove $p_1, p_2,\ldots p_m$ sono primi distinti e $n_1, n_2, \ldots n_m$ sono interi $\geq 1$. Tale scrittura si dice \textsl{fattorizzazione} di $n$. La fattorizzazione \`e unica.\end{teorema}\subsection{Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo}\begin{definizione}Dati due interi $a$ e $b$, un intero $c$ viene detto un loro divisore comune se\begin{center}$c|a$ e $c|b$.\end{center}\end{definizione}\begin{definizione}[Massimo Comun Divisore]Un intero positivo D \`e detto Massimo Comun Divisore dei due interi (positivi) $a$ e $b$ se:\begin{enumerate}\item $D|a$ e $D|b$\item se $x|a$ e $x|b$ allora $x|D$\end{enumerate}e si indica con MCD($a,b$) o $D=(a,b)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Interi comprimi]Due interi $a$ e $b$ si dicono \textsl{comprimi} se MCD(a,b)=1.\end{definizione}\begin{definizione}[Combinazioni lineari]Assegnati due numeri interi A e B si dicono loro combinazioni lineari tutti gli interi\begin{center}$h\cdot A + k\cdot B$\end{center}ottenibili sommando o sottraendo tra loro multipli di A e di B.\end{definizione}\begin{teorema}[Teorema di Bezout]Siano $a$ e $b$ due interi e sia $D = (a,b)$. Allora esistono sempre interi $m$ ed $n$ tali che\begin{center}$ma + nb = D$\end{center}\end{teorema}\begin{definizione}[Minimo Comune Multiplo]Si dice Minimo Comune Multiplo di due interi positivi $a$ e $b$ un intero $m$ tale che:\begin{enumerate}\item $a|m$ e $b|m$\item per ogni $n$ tale che $a|n$ e $b|n \Longrightarrow m|n$\end{enumerate}e si indica con mcm(a,b).\end{definizione}\section{Congruenze}\subsection{Congruenza}\begin{definizione}[Congruenza]Si dice che $a$ \`e congruo a $b$ modulo $m$ se $m|(a-b)$ e si indica con\begin{center}$a \equiv b \bmod m$.\end{center}\end{definizione}La congruenza modulo $m$ \`e una relazione di equivalenza, infatti:\\\begin{itemize}\item qualunque sia $a$, $a \equiv a \bmod m$ (riflessivit\`a)\\\item se $a \equiv b \bmod m$ allora $b \equiv a \bmod m$ (simmetria)\\\item se $a \equiv b \bmod m$ e $b \equiv c \bmod m$ allora $a \equiv c \bmod m$ (transitivit\`a).\\\end{itemize}\subsection{Classi di congruenza}L'insieme quoziente dei numeri interi rispetto alla relazione di congruenza modulo $m$ si chiama \textbf{insieme delle classi resto modulo $m$}, ed è formato da $m$ classi distinte. La classe di resto modulo $m$ di un numero $a$ si indica con\begin{center}$[a]_m$\end{center}Per definizione $[a]_m + [b]_m = [a+b]_m$ e $[a]_m\cdot [b]_m = [a\cdot b]_m$.\begin{osservazione}Saper decidere se un numero $a\in [0]_m$ equivale a saper decidere se b \`e divisibile per m.\end{osservazione}\subsection{Criteri di congruenza}Tali criteri servono per determinare a che cosa \`e congruo un numero intero. Questi diventano \textsl{criteri di divisibilit\`a}, cio\`e $a$ \`e divisibile per $m$, se $a \equiv 0 \bmod m$\begin{itemize}\item \textbf{Modulo 2.} Un intero \`e congruo modulo 2 alla sua cifra delle unit\`a.\item \textbf{Modulo 3.} Un intero \`e congruo modulo 3 alla somma delle sue cifre.\item \textbf{Modulo 4.} Un intero \`e congruo modulo 4 all'intero constituito dalle sue due ultime cifre a destra.\item \textbf{Modulo 5.} Un intero \`e congruo modulo 5 alla sua cifra delle unit\`a.\item \textbf{Modulo 10.} Un intero \`e congruo modulo 10 alla sua cifra delle unit\`a.\item \textbf{Modulo 11} Un intero è congruo modulo 11 alla somma a segno alterno delle sue cifre.\end{itemize}\subsection{Il Teorema di Wilson}\begin{teorema}[Teorema di Wilson]Se $p$ \`e primo allora\begin{center}$(p-1)! \equiv -1 \bmod p$.\end{center}\end{teorema}\subsection{Il Teorema di Eulero-Fernat}La funzione euleriana $\phi (m)$ esprime il numero degli interi minori di $m$ primi con $m$, ovvero il numero degli interi $r$ tale che:\begin{enumerate}\item $1\leq r < m$;\item $(r,m) = 1$.\end{enumerate}\begin{teorema}[Teorema di Eulero-Fermat]Se $(b,m) = 1$ allora $b^{\phi (m)} \equiv 1 \bmod m$.\end{teorema}\subsection{Piccolo Teorema di Fermat}\begin{teorema}[Piccolo Teorema di Fermat]Sia a un intero e p un primo tale che (a,p)=1. Allora\begin{center}$a^{p-1} \equiv 1 \bmod p$.\end{center}\end{teorema}\begin{teorema}[Corollario del piccolo Teorema di Fermat]Per ogni intero a si ha che\begin{center}$a^p \equiv a \bmod p$\end{center}\end{teorma}\section{Principio di induzione}Sia $P_n$ una successione di proposizioni, ciascuna collegata a un numero naturale $n$. Supponiamo che\begin{enumerate}\item $P_0$ \`e vera,\item per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha l'implicazione $P_n$ vera \Rightarrow $P_{n+1}$ vera.\end{enumerate}Allora $P_n$ \`e vera per ogni $n\in \mathbb{N}$.\chapter{Alfabeto Greco}%\ding{42} Tabella \ref{tab:AGreco} a pag.\pageref{tab:AGreco}\begin{table}[tbhp]\begin{center}\begin{tabular}{ccll}A & $ \alpha $ & alfa/alpha & angoli piani \\B & $ \beta $ & beta & angoli piani \\$ \Gamma $ & $ \gamma $ & gamma & angoli piani \\$ \Delta $ & $ \delta $ & delta & area; $ \Delta=b^2-4ac $ (\emph{discriminante})\\E & $ \epsilon $/$ \varepsilon $ & epsilon & \\Z & $ \zeta $ & zeta & \\H & $ \eta $ & eta & \\$ \Theta $ & $ \theta $/$ \vartheta $ & theta & angoli \\I & $ \iota $ & iota & \\K & $ \kappa $ & kappa & \\$ \Lambda $ & $ \lambda $ & lambda & scalare di un vettore \\M & $ \mu $ & mu/mi & {\sffamily [SI]}: micro ($ 10^{-6} $)\\N & $ \nu $ & ni/nu & $ \nu $: frequenza\\$ \Xi $ & $ \xi $ & xi & \\O & $ \omicron $ & omicron & \\$ \Pi $ & $ \pi $/$ \varpi $ & pi/pi greco & $ \Pi $: produttoria; $ \pi \simeq 3,141592653589793238462643383279... $\\P & $ \rho $/$ \varrho $ & rho & \\$ \Sigma $ & $ \sigma $/$ \varsigma $ & sigma & $ \Sigma $: sommatoria; $ \sigma $: deviazione standard\\T & $ \tau $ & tau & $ \tau $: sezione aurea ($ 1,618... $)\\$ \Upsilon $ & $ \upsilon $ & upsilon & \\$ \Phi $ & $ \phi $/$ \varphi $ & phi & $ \phi $: sezione aurea ($ 1,618... $); $ \phi (n) $: funzione di Eulero; $ \Phi (\vec{V}) $: flusso\\X & $ \chi $ & chi & \\$ \Psi $ & $ \psi $ & psi & \\$ \Omega $ & $ \omega $ & omega & angoli solidi\\\end{tabular}\end{center}\caption{Alfabeto Greco}\label{tab:AGreco}\end{table}\part{Bibliografia}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia}\bibliographystyle{unsrt}\bibliography{file1,file2,file3}\begin{thebibliography}{}\bibitem{courant-robbins} Richard Courant, Herbert Robbins, \emph{Che cos'è la Matematica?}, Bollati Boringhieri, 2002, Seconda Edizione riveduta da Ian Stewart.\bibitem{gobbino} Massimo Gobbino, \emph{Schede Olimpiche}, Pitagora, 2003, Prima Edizione.\bibitem{acerbi-buttazzo} Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo, \emph{Primo Corso di Analisi Matematica}, Pitagora Editrice, 1997, Prima Edizione.\bibitem{precorso} Emilio Acerbi, \emph{Matematica Preuniversitaria di Base}, Pitagora Editrice, 1997, Prima Edizione.\bibitem{giusti} Enrico Giusti, \emph{Analisi Matematica 1}, Bollati Boringhieri, 2002, Terza Edizione.\end{thebibliography}\part{Indici}%\listoffigures\listoftables \addcontentsline{toc}{chapter}{Elenco delle Tabelle}\tableofcontents \addcontentsline{toc}{chapter}{Indice}\end{document}
- b:it:Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il vuoto/Le leggi del vuoto 16 8,3145\ \frac{J}{mol K} \
- b:it:Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il vuoto/Le leggi del vuoto 20 N_A=6,022\cdot 10^{23}\ mol^{-1}\
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 95 f.e.m.=0,059 log [H^{+}]_{1} + 0,059 log [H^{+}]_{2}
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 99 f.e.m.=0,059 log \frac{[H^{+}]_{1}}{[H^{+}]_{2}}
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 103 f.e.m.=0,059 log \frac{Ka \frac{Ca_{1}}{Cs_{1}}}{Ka \frac{Ca_{2}}{Cs_{2}}}
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 106 f.e.m.=0,059 log \frac{Ka \frac{0,154}{0,036}}{Ka \frac{0,084}{0,036}}
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 107 0,059 log \frac{4,28}{2,33}=0,0592 log 1,84
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 45 E^{0}_{Ag^{+}/Ag}+\frac{0,0592}{2} \log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Ag^{0}]}}-(E^{0}_{Pb^{++}/Pb}+\frac{0,0592}{2} \log{\frac{[Pb^{++}]}{[Pb^{0}]}})=0
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 49 E^{0}_{Ag^{+}/Ag}+\frac{0,0592}{2} \log{[Ag^{+}]^{2}}-E^{0}_{Pb^{++}/Pb}-\frac{0,0592}{2} \log{[Pb^{++}]}=0
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 53 E^{0}_{Ag^{+}/Ag}-E^{0}_{Pb^{++}/Pb}+\frac{0,0592}{2} \log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}=0
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 55 E^{0}_{Pb^{++}/Pb}-E^{0}_{Ag^{+}/Ag}=\frac{0,0592}{2} \log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 56 \frac{2(E^{0}_{Pb^{++}/Pb}-E^{0}_{Ag^{+}/Ag})}{0,0592}=\log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 57 \frac{2(E^{0}_{Pb^{++}/Pb}-E^{0}_{Ag^{+}/Ag})}{0,0592}=\log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 60 \frac{2(-0,13-0,80)}{0,0592}=\log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}=-31
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 80 \frac{[Pb^{++}]}{10^{31}}=[Ag^{+}]^{2}=\frac{0,100}{10^{31}}=10^{-32}
- b:it:Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni 152 0,707
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 48 M=\frac{n}{L}\Rightarrow n=M\times L \Rightarrow n=C_{3}V_{3}=0,080M\times 0,07600L=0,00608
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 52 n=C_{4}V_{4}=0,045M 0,03200L=0,00144
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 56 n_{3}-n_{4}=0,0061-0,0014=0,0047
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 71 \left\{\begin{matrix} x+y=0,0047mol \\ x(PM_{x})+y(PM_{y})=0,8500 g\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ x(PM_{x})+y(PM_{y})= 0,8500 g\end{matrix}\right.\Rightarrow
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 76 \left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ (0,0047-y)(PM_{x})+y(PM_{y})= 0,8500 g\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ 0,0047(PM_{x})+y(PM_{x})+y(PM_{y})= 0,8500 g\end{matrix}\right.\Rightarrow
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 82 \left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ y=\frac{0,8500g-0,0047(PM_{x})}{(PM_{y})-(PM_{x})} \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ y=0,00085\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=0,0038 \\ y=0,00085\end{matrix}\right.
- b:it:Fisica classica/Cinematica 82 2,99792458\cdot 10^8\ m/s
- b:it:Crittografia/RSA 76 (3233,2753) \,
- b:it:Analisi chimica qualitativa/Teoria della separazione 55 R_M \ge 0,999
- b:it:Matematica per le superiori/I monomi 246 \operatorname{mcm}(45,120,75) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800.
- b:it:Elettronica pratica/Carica elettrica e legge di Coulomb 50 \ 6,2415\ 10^{18}
- b:it:Elettronica pratica/Carica elettrica e legge di Coulomb 50 \ 1,602\ 10^{-19}
- b:it:Elettronica pratica/Carica elettrica e legge di Coulomb 62 8,9875 \cdot 10^9 N { m^2 \over C^2 }
- b:it:Fisica classica/Conduttori 153 \varepsilon_o=8,854\cdot 10^{-12}\ F/m\
- b:it:Fisica classica/Calore 35 1\ cal =4,185\ J
- b:it:Analisi chimica qualitativa/Precipitazione idrossidi e solfuri 142 R_{A^{3+}} = \frac {Q_{A^{3+}}}{(Q_{A^{3+}}) _0} = 0,9999
- b:it:Linux multimedia/Colore 251 Y = 0,2126 \cdot R + 0,7152 \cdot G + 0,0722 \cdot B \,
- b:it:Esercizi di fisica con soluzioni/Cristallografia 120 a=\frac {\lambda}{\sin \theta_2}=0,328\ nm
- b:it:Teoria della Probabilità/Probabilità 212 123,132,213,231,312,321
- b:it:Buchi neri e Universo/4. Dai buchi neri all'Universo 62 \frac{c^{4}\times 2,6\times 10^{26}}{4G\times 2,725k_{B}}\simeq 2\times 10^{92}
- b:it:Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari 40 -14,3125_{10}
- b:it:Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari 41 1110,0101_2
- b:it:Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari 41 0,3125_{10} = 0,0101_2
- b:it:Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari 42 1110,0101_2 = 1,1100101_2 * 2^3
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 143 \ B = {10330\times 22,4\over 427\times 273}=1,9864{Cal\over kg-mol\times K}
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 157 \ p\ v=J{B\over M}T = J{1,9864\over M}T
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 335 \ \sqrt{1,4\over 3}= 0,685,\quad V_s=340 m/s
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 398 \ {\rho_z\over \rho_0 }=(1-0,00002257 Z)^{4,257}
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 400 \ {p_z\over p_0}=(1-0,00002257 Z)^{5,527}
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 402 \ t_z=15-0,0065 Z
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo III° 423 \ C_p=0,24\frac{cal}{kgC}\qquad C_v=0,172\frac{cal}{kgC}
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo VI° 132 \ \frac{T_{cr}}{T_1}=0,835\qquad \frac{\rho_{cr}}{\rho_1}=0,633
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo VI° 134 \ \frac{p_{cr}}{p_1}=0,527\qquad \frac{V_{cr}}{V_{lim}}=0,408
- b:it:Propulsione Aerea/Capitolo VI° 138 \ \Phi_{max}=0,250\ C
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Cloruro rameico 137 2,87\;mol : 1\;l = 2\;mol : X\;l \longrightarrow X = \frac{2\;mol\!\times\!1\;l}{2,87\;mol} = 0,696\;l
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Cloruro rameico 147 12\;vol\,\times\,8,931\!\cdot\!10^{-2}\,\frac{mol}{l\!\times\!vol} = 1,072\;M
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Cloruro rameico 151 2 mol\,\times\,1,072\;\frac{mol}{l} = 2,144\;l
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Cloruro rameico 155 2,144\;l : 63,55\,g = X\;l : 1\;g \rightarrow X = \frac{2,144\;l\!\times\!1\;g}{63,55\;g} \simeq 33,7\;ml
- b:it:Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali 27 + \sqrt{9} = 3;\quad - \sqrt{25} = -5;\quad - \sqrt[3]{8} = -2;\quad - \sqrt[4]{16} = -2;\quad - \sqrt[3]{27} = -3 ;\quad \sqrt{2}=1,4142\dots
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Perossido di idrogeno 107 M_{H_2O_2} = vol_{H_2O_2} \times 0,08931\;\frac{mol}{l\!\times\!vol}
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Perossido di idrogeno 150 \frac{1,429\; \frac{g}{l} : 32\; \frac{g}{mol} \times 2}{1\; vol} = 0,08931\; \frac{mol}{l\!\times\!vol}
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Perossido di idrogeno 154 M_{H_2O_2} = vol_{H_2O_2} \times 0,08931\; \frac{mol}{l\!\times\!vol}
- b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 80 1/3 = 0,\bar 3 = 0,333...
- b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 81 50/41 = 1, \overline{21951} = 1,219512195121951...
- b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 82 3/4 = 0,75\bar 0 = 0,75000... = 0,75
- b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 83 1 = 1,\bar 0 = 1,00000...
- b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 87 0,11010010001\cdots
- b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 89 0,23571113...
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Estrazione del cromo dall'acciaio inox 42 \frac{85,617\;g}{55,85\;\frac{g}{mol}} = 1,53\;mol\ \xrightarrow[FeSO_4]{\times\;1\ H_2SO_4}\ 1,53\;mol
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Estrazione del cromo dall'acciaio inox 67 5,0% = 50\;\frac{g}{L}\ \xrightarrow[NaClO]{:\;74,442\;\frac{g}{mol}} = 0,67\;M
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Estrazione del cromo dall'acciaio inox 67 0,625 mol\;:\;0,67\;\frac{mol}{L} = 932,8 ml
- b:it:Wikibooks:Deposito/Moduli/Introduzione ai Numeri Reali 232 7+\sqrt{50}\approx~7+7,07107=17,07107
- b:it:Wikibooks:Deposito/Moduli/Introduzione ai Numeri Reali 232 \sqrt{50}\approx7,07107
- b:it:Wikibooks:Deposito/Moduli/Introduzione ai Numeri Reali 240 2p=1{m}+7{m}+\sqrt{50}{m}\approx~1{m}+7{m}+7,07107{m}=15,07107{m}.
- b:it:Wikibooks:Deposito/Moduli/Introduzione ai Numeri Reali 255 2p=\sqrt{2}{m}+\sqrt{3}{m}+\sqrt{5}{m}\approx1,4142{m}+1,7320{m}+2,2361{m}=5,3823{m}.
- b:it:Algebra 1/Numeri/I Sistemi di Numerazione 495 160\cdot(10^9 / 2^{30}) = 160 \cdot {0,931\,322\,575} \simeq 149\text{GiB}
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 41 10\;g :\ 105,99\;\frac{g}{mol}\ =\ 0,0943485\;mol
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 46 0,0943485\;mol \times 2 =\ 0,1886970\;mol
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 52 0,1886970\;mol \times 36,46\;\frac{g}{mol}\ =\ 6,8798926\;g
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 57 NaCl = 0,0943485\;mol \times 2 \times 58,45\;\frac{g}{mol} = 11,0293424\;g
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 61 H_2O = 0,0943485\;mol \times 18,00\;\frac{g}{mol} = 1,6982734\;g
- b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 65 CO_2 = 0,0943485\;mol \times 44,01\;\frac{g}{mol} = 4,1522785\;g
- b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Legge dei gas ideali/1 28 V = \frac{nRT}{P} \longrightarrow V = \frac{500\;mol\;\times\;0,082\;\frac{L\;\cdot\;atm}{mol\;\cdot\;K}\;\times\;293,15\;K}{1\;atm} = 12\;019\;L
- b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 181 {1,375}
- b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 192 \tfrac{11}{8}=\tfrac{11}{2^3}=\tfrac{11\cdot 5^3}{2^3\cdot 5^3}=\tfrac{{1\,375}}{{1\,000}}={1,375}
- b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 196 \tfrac{13}{40}=\tfrac{13}{2^3\cdot 5}=\tfrac{13\cdot 5^2}{2^3\cdot 5^3}=\tfrac{325}{{1\,000}}={0,325}
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- b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 533 {0,000\,007}\,\text{m}
- b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 537 A=b\cdot h={0,00\,000\,006}\cdot{0,0\,000\,002}={0,000\,000\,000\,000\,012}\,\text{m}^2.
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- b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 594 {\frac{{3\,000}:6\text{ milioni}}{{5\,000}\cdot{0,000\,002}}}
- b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 603 \begin{aligned}\frac{{3\,000}:6\text{ milioni}}{{5\,000}\cdot{0,000\,002}}&=\tfrac{({3\cdot 10^3}):({6\cdot 10^6})}{({5\cdot 10^3})\cdot({2\cdot 10^{-6}})}\\ &=\tfrac{3:6\cdot10^{-3}}{5\cdot 2\cdot 10^{-3}}\\ &=\tfrac{{0,5}}{10}\cdot10^{-3+3}\\ &={0,05}\cdot10^0\\ &={0,05}\\ &={5\cdot 10^{-2}}.\end{aligned}
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- b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 236 \overline{AB}=\overline{BC}\cdot {\cos(\beta)}=2\cdot {\cos(20\text{°})}\simeq 2\cdot 0,940\simeq 1,879
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- b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 238 \text{Area}\;\simeq 0,643(\text{m}^{2})
- b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 248 \overline{CB}=\tfrac{\overline{AB}}{\cos(\beta)}=\tfrac{5}{\cos(33\text{°})}\simeq \tfrac{5}{0,839}\simeq 5,962\text{cm}.
- b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 254 \overline{CA}=\sqrt{\overline{CB}^{2}-\overline{AB}^{2}}\simeq \sqrt{35,543-25}\simeq \sqrt{10,543}\simeq 3,247\text{cm};
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- b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 294 c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\simeq 9,798\text{cm}.
- b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 296 {\beta}=\sin^{-1}(0,2)\simeq 11,537
- b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 461 \begin{aligned}&c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\gamma)\\\Rightarrow\quad &c^{2}=20^{2}+10^{2}-2\cdot 20\cdot 10\cdot \cos(36\text{°})\simeq 400+100-400\cdot {0,809}\simeq {176,4}\\\Rightarrow\quad &c\simeq \sqrt{{176,4}}\simeq [cm]{13,281}.\end{aligned}
- b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 469 \cos(\alpha)\simeq \tfrac{10^2+{176,4}-20^2}{2\cdot 10 \cdot {13,281}}\simeq\tfrac{{276,4}-400}{{265,62}}\simeq{-0,4\,653}
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- b:it:Algebra 2/Numeri reali e radicali/Numeri reali 188 A=\{1\text{, }{1,4}\text{, }{1,41}\text{, }{1,414}\text{, }{1,4\,142}\text{, }{1,41\,421}\text{, }{1,414\,213}\text{, }\ldots\}.
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- b:it:Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado 918 {0,023}
- b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 521 ..0,71875\cdot 2
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- b:it:Controlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza 72 \omega_B t_r \cong \frac{2,048 R}{1,561 - \zeta} - 0,2923 R \cong 2
- b:it:Controlli automatici/Regolatori PID 87 0,125 \bar T = \frac{1}{4} T_I
itwikisource
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- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/19 30 \scriptstyle \frac{9}{9} = 1 = 0,9999.....
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/19 31 \scriptstyle \frac{1}{5} = 0,2 = 0,19999.....
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/20 19 \scriptstyle \left.\begin{matrix} 1 < \frac{4}{3} < 2 \\ 1,3 < \frac{4}{3} < 1,3 + \frac{1}{10} = 1,4 \\ 1,33 < \frac{4}{3} < 1,33 + \frac{1}{100} = 1,34 \\ 1,333 < \frac{4}{3} < 1,333 + \frac{1}{1000} = 1,334, \text{eccetera}. \end{matrix} \right \}
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/20 21 \scriptstyle \frac{31}{30} = 1,0333...
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/20 26 \scriptstyle \frac{1}{5} = 0,2000000.....; \quad \frac{1}{5} = 0,1999......
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/20 28 \scriptstyle \left.\begin{matrix} 0 \le \frac{1}{5} < 0 + 1 = 1 \\ 0,2 \le \frac{1}{5} < 0,2 + \frac{1}{10} = 0,3 \\ 0,20 \le \frac{1}{5} < 0,20 + \frac{1}{100} = 0,21 \\ 0,200 \le \frac{1}{5} < 0,200 + \frac{1}{1000} = 0,201, \text{eccetera}. \end{matrix} \right \}
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/21 18 \scriptstyle \left.\begin{matrix} 0 < \frac{1}{5} \le 0 + 1 = 1 \\ 0,1 < \frac{1}{5} \le 0,1 + \frac{1}{10} = 0,2 \\ 0,19 < \frac{1}{5} \le 0,19 + \frac{1}{100} = 0,20 \\ 0,199 < \frac{1}{5} \le 0,199 + \frac{1}{1000} = 0,200, \text{eccetera}. \end{matrix} \right \}
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/22 18 \scriptstyle \frac{13}{99} = 0,131313.....; \quad \frac{131}{999} = 0,131131.....;
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/22 23 \scriptstyle \frac{1}{9} = 0,1111..... \quad \text{e }\frac{2}{9} = 0,2222.....;
- s:it:Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/22 26 \scriptstyle \frac{1}{5} = 0,1999..... = 0,2000.....
- s:it:Pagina:Sella - Plico del fotografo.djvu/97 17 \tfrac{1}{50,000}
- s:it:Pagina:Sella - Plico del fotografo.djvu/97 17 1:\tfrac{1}{50,000}
- s:it:Pagina:Rivista italiana di numismatica 1895.djvu/256 18 \frac{5,350}{24}
itwikiversity
Bearbeiten- v:it:Ottica ondulatoria 22 c = 2,997925 \cdot 10^8 \ m/s
- v:it:Isomorfismo 39 0,155 \cdot 1,40 = 0,22
- v:it:Isomorfismo 41 0,225 \cdot 1,40 = 0,32
- v:it:Isomorfismo 43 0,414 \cdot 1,40 = 0,58
- v:it:Concimazione 247 D_{NH_{4}NO_{3}} = \frac{80}{26} \cdot 100 \cdot 8 = 3,0769 \cdot 100 \cdot 8 = 2461,52 kg
- v:it:Serie numeriche 234 s_{10} = \sum_{k=1}^{10}{\frac{(-1)^k}{k}} \approx -0,6456
- v:it:Serie numeriche 238 S = \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^k}{k}} = -\ln{2} \approx -0,6931
- v:it:Serie numeriche 240 |s_{10} - S| \approx |-0,6456+0,6931| = 0,0475 < 0,090909... = \frac{1}{11}
- v:it:Prove ripetute 129 C = \text{ 500 teste su 1000 lanci } \Rightarrow P(A) = 0,025
- v:it:Sistemi di autenticazione non crittografici 106 1-e^{-\frac{213^2}{2^{16}}} = 0,49956
- v:it:Sistemi di autenticazione non crittografici 110 1-e^{-\frac{600^2}{2^{16}}} = 0,99589
- v:it:Sicurezza nelle reti LAN, cablate e wireless 243 |K| = 2^{24} = 16,777216 \times 10^6
- v:it:Sicurezza nelle reti LAN, cablate e wireless 247 2^{24} \times 1500 \times 8 = 2,01326592 \times 10^{11}
- v:it:Numeri razionali 54 1/3 = 0,\bar 3 = 0,333...
- v:it:Numeri razionali 55 50/41 = 1, \overline{21951} = 1,219512195121951...
- v:it:Numeri razionali 56 3/4 = 0,75\bar 0 = 0,75000... = 0,75
- v:it:Numeri razionali 57 1 = 1,\bar 0 = 1,00000...
- v:it:Numeri razionali 61 0,11010010001\cdots
- v:it:Numeri razionali 63 0,23571113...
- v:it:Legge di Coulomb 30 \varepsilon_0 = 8,854 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{C^2 m^{-2} N^{-1}}
- v:it:Derivati su tassi di interesse 81 \begin{alignat}{2} V_M &= 4e^{-0,01*1}+4e^{-0,0125*2}+104e^{-0,02*3} \\ &= 105,804951 \end{alignat}
- v:it:Derivati su tassi di interesse 127 R_1=\frac{1}{0,25}\ln\left[\frac{100}{96,5}\right]=0,142509
- v:it:Derivati su tassi di interesse 128 R_2=\frac{1}{0,50}\ln\left[\frac{100}{94,0}\right]=0,123751
- v:it:Derivati su tassi di interesse 129 R_3=\frac{1}{1,00}\ln\left[\frac{100}{90,9}\right]=0,095410
- v:it:Derivati su tassi di interesse 135 \begin{alignat}{4} R_4 &= \frac{1}{1,50}\ln\left[\frac{100+5}{95,5-5(e^{-0,123751*0,50}+e^{-0,095410*1,00})}\right] \\ &= 0,666667 * \ln\left[\frac{105}{95,5-5(0,939999+0,909000)}\right] \\ &= 0,666667 * \ln(1,217320664) \\ & =0,131102\end{alignat}
- v:it:Derivati su tassi di interesse 140 \begin{alignat}{4} R_5 &= \frac{1}{2,00}\ln\left[\frac{100+9}{102,4-9(e^{-0,123751*0,50}+e^{-0,095410*1,00})+e^{-0,131102*1,50}}\right] \\ &= 0,5 * \ln\left[\frac{109}{102,5-9(0,939999+0,909000+0,821476)}\right] \\ &= 0,5 * \ln(1,389142) \\ & =0,164343\end{alignat}
- v:it:Derivati su tassi di interesse 164 \euro100e^{0,04*1}+\euro100e^{F_{2,3}*1}=\euro100e^{0,043*2} \Rightarrow F_{2,3}=4,6%
- v:it:Torsione nella trave di sezione qualsiasi 196 4,804 \frac{M_t}{J_G} \frac{d}{6}
- v:it:Torsione nella trave di sezione qualsiasi 196 1,186
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 31 1,44 + (1,44 \cdot\ 0,2) = 1,44 \cdot\ (1 + 0,2) = 1,44 \cdot\ 1,2 = 1,728
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 33 1,728 + (1,728 \cdot\ 0,2) = 1,728 \cdot\ (1 + 0,2) = 1,728 \cdot\ 1,2 = 2,0736
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 37 2,0736 - 1,7280 = 0,3456\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 39 2,000 - 1,7280 = 0,2720\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 47 n = log 2/log 1,2 = 3,802\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 95 1,05 \cdot\ 1,05 = 1,1025\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 97 1,1025 - 1,000 = 0,1025\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 114 i = 0,16335\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 116 i = 0,16335\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 118 \frac{R}{(R - iA)} = \frac{618}{[(618 - 0,16335) \cdot\ 2184]} = 3,903\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 122 (1 + i)^n = (1,16335)^9 = 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 \cdot\ 1,16335 = 3,903\
- v:it:Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria 137 i = 0,03998\
- v:it:Elaborazione con risorse illimitate e infinito potenziale 222 1,8,27,64,125,216,343,...
- v:it:Combustione in caldaia 128 \begin{cases} C: \qquad 0,9 \cdot 1 + 0,06 \cdot 2 = a & \rightarrow a=1,020 \qquad \mbox{(CO2)}\\ H: \qquad 0,9 \cdot 4 + 0,06 \cdot 6 + \beta_{O_2} \cdot \frac{1,03}{20,7} \cdot 2 = b \cdot 2 & \rightarrow b=2,096 \qquad \mbox{(H2O)}\\ O: \qquad \beta_{O_2} \cdot ( 2 + \frac{1,03}{20,7} \cdot 1 ) = 2 \cdot a +1 \cdot b + 2 \cdot e & \rightarrow e=0,321 \qquad \mbox{(O2)}\\ N: \qquad ...\\ Ar: \qquad ...\end{cases}
- v:it:Formulario di Sistemi Energetici 124 \begin{cases} C: \qquad 0,9 \cdot 1 + 0,06 \cdot 2 = a & \rightarrow a=1,020 \qquad \mbox{(CO2)}\\ H: \qquad 0,9 \cdot 4 + 0,06 \cdot 6 + \beta_{O_2} \cdot \frac{1,03}{20,7} \cdot 2 = b \cdot 2 & \rightarrow b=2,096 \qquad \mbox{(H2O)}\\ O: \qquad \beta_{O_2} \cdot ( 2 + \frac{1,03}{20,7} \cdot 1 ) = 2 \cdot a +1 \cdot b + 2 \cdot e & \rightarrow e=0,321 \qquad \mbox{(O2)}\\ N: \qquad \beta_{O_2} \cdot \frac{0,773}{0,207} \cdot 2 = 2 \cdot c\\ Ar: \qquad \beta_{O_2} \cdot \frac{0,0097}{0,207} = d\end{cases}
- v:it:Formulario di Sistemi Energetici 223 C_i \left [\frac{kg}{Nm^3} \right]= \frac{\dot m_i}{ \dot V} = \frac{ \dot n_i \cdot W_i}{\dot n_f \cdot 22,414 m^3/kmol } = \frac{ (\dot n_f \cdot X_i) \cdot W_i}{ \dot n_f \cdot 22,414 m^3/kmol }
- v:it:Formulario di Sistemi Energetici 226 1 Nm^3 = 44,615 \cdot 10^3 kmol
- v:it:Formulario di Sistemi Energetici 226 \dot n_f = \dot V_{[Nm^3]} \cdot 44,615 \cdot 10^3 \frac{kmol}{Nm^3}
- v:it:Formulario di Sistemi Energetici 611 Nu = f(Re,Pr) \quad \mbox{per esempio per tubi lisci e flusso turbolento:} \quad Nu = 0,023 \cdot Re^{0,8} \cdot Pr^{0,4}
- v:it:Formulario di Sistemi Energetici 617 h = \frac{Nu \cdot k_{liq}}{D} = \frac{( 0,023 \cdot Re^{0,8} \cdot Pr^{0,4} ) \cdot k_{liq}}{D} = \frac{( 0,023 \cdot \left( \frac{v_{el} \cdot D \cdot \rho }{ \mu} \right)^{0,8} \cdot \left( \frac{ \mu \cdot c_p}{k_{liq}} \right)^{0,4} ) \cdot k_{liq}}{D}
- v:it:Studio di funzione 192 x_1=\frac{1}{9}\left(8-19\sqrt[3]{\frac{2}{299-27\sqrt{85}}}-\sqrt[3]{\frac{299-27\sqrt{85}}{2}}\right)\approx-0,1578
- v:it:Le frazioni e i numeri razionali (superiori) 653 \frac{3 000 : 6 milioni}{5 000 * 0,000 002}\
- v:it:Le frazioni e i numeri razionali (superiori) 655 \frac{3 000 : 6 milioni}{5 000 * 0,000 002}\
- v:it:Esercizi sulle frazioni e i numeri razionali (superiori) 868 \frac{(0,00002)2 : 30000000 * (0,1)5}{4000 * 0,02 : 0,000003}\
- v:it:Esercizi sulle frazioni e i numeri razionali (superiori) 869 \frac{95000000 * 0,000072}{(250000)3 : (0,000035)2}\
- v:it:Esercizi sulle frazioni e i numeri razionali (superiori) 870 \frac{(3000)2 : 0,000003 : 20000000}{0,00002 : 0,00000004}\
- v:it:Esercizi sulle frazioni e i numeri razionali (superiori) 871 \frac{(6,3 * 106)2 * 0,0000031}{(40000000)4 : (8 * 10-18)4}\
- v:it:Esercizi sulle frazioni e i numeri razionali (superiori) 872 \frac{(2000)3 * (0,000001)5 : 20}{(0,0003)2 : 3000000}\
- v:it:Esercizi sulle frazioni e i numeri razionali (superiori) 873 \frac{40002 * 0,000012}{3 * 109 * 20003}\
- v:it:Esercizi sulle frazioni e i numeri razionali (superiori) 1661 \frac{1,6 - 0,5 * (0,{{Ol|6}} - 0,5) : (1 - 0,{{Ol|6}})2 - 0,7}{3 * (1 - 0,5)2 + 0,875 - (1 - 0,5)2 : 0,2 - 0,6 * 0,5}\
- v:it:L'Uso della Calcolatrice e le Operazioni con i Gradi Sessagesimali (superiori) 60 \cos(30\text{°})=0,867
- v:it:L'Uso della Calcolatrice e le Operazioni con i Gradi Sessagesimali (superiori) 72 {7,806\,141}
- v:it:La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori) 29 \overline{AB}=\overline{BC}\cdot {\cos(\beta)}=2\cdot {\cos(20\text{°})}\simeq 2\cdot 0,940\simeq 1,879
- v:it:La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori) 29 \overline{AC}=\overline{BC}\cdot {\cos(\gamma)}=2\cdot {\cos(70\text{°})}\simeq 2\cdot 0,342\simeq 0,684
- v:it:La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori) 31 \text{Area}\;\simeq 0,643(\text{m}^{2})
- v:it:La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori) 41 \overline{CB}=\tfrac{\overline{AB}}{\cos(\beta)}=\tfrac{5}{\cos(33\text{°})}\simeq \tfrac{5}{0,839}\simeq 5,962\text{cm}.
- v:it:La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori) 47 \overline{CA}=\sqrt{\overline{CB}^{2}-\overline{AB}^{2}}\simeq \sqrt{35,543-25}\simeq \sqrt{10,543}\simeq 3,247\text{cm};
- v:it:La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori) 51 \overline{CA}=\overline{CB}\cdot \cos(\gamma)\simeq 5,962 \cdot \cos(57\text{°})\simeq 5,962\cdot 0,545\simeq 3,247\text{cm}.
- v:it:La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori) 91 c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\simeq 9,798\text{cm}.
- v:it:La Risoluzione di Triangoli Rettangoli (superiori) 93 {\beta}=\sin^{-1}(0,2)\simeq 11,537
- v:it:La Risoluzione di un Triangolo Qualunque (superiori) 79 \begin{aligned}&c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\gamma)\\\Rightarrow\quad &c^{2}=20^{2}+10^{2}-2\cdot 20\cdot 10\cdot \cos(36\text{°})\simeq 400+100-400\cdot {0,809}\simeq {176,4}\\\Rightarrow\quad &c\simeq \sqrt{{176,4}}\simeq [cm]{13,281}.\end{aligned}
- v:it:La Risoluzione di un Triangolo Qualunque (superiori) 87 \cos(\alpha)\simeq \tfrac{10^2+{176,4}-20^2}{2\cdot 10 \cdot {13,281}}\simeq\tfrac{{276,4}-400}{{265,62}}\simeq{-0,4\,653}
- v:it:Numeri reali (superiori) 127 {1,414}
- v:it:Numeri reali (superiori) 129 {1,415}
- v:it:Numeri reali (superiori) 162 {1,225}={1,224}\overline{9}
- v:it:Numeri reali (superiori) 193 A=\{1\text{, }{1,4}\text{, }{1,41}\text{, }{1,414}\text{, }{1,4\,142}\text{, }{1,41\,421}\text{, }{1,414\,213}\text{, }\ldots\}.
- v:it:Numeri reali (superiori) 193 B=\{2\text{, }{1,5}\text{, }{1,42}\text{, }{1,415}\text{, }{1,4\,143}\text{, }{1,41\,422}\text{, }{1,414\,214}\text{, }\ldots\}.
- v:it:I Radicali (superiori) 65 \sqrt[3]{{0,125}}={0,5}
- v:it:I Radicali (superiori) 65 ({0,5})^3={0,125}
- v:it:Le Equazioni di Secondo Grado (superiori) 973 c+{0,005}
- v:it:Le Equazioni di Secondo Grado (superiori) 979 c+{0,005}
- v:it:Le Equazioni di Secondo Grado (superiori) 981 {25\,000} ( 1 + c ) ( 1 + c + {0,005} ) = {26\,291,10}.
- v:it:Le Equazioni di Secondo Grado (superiori) 983 c^{2} + {2,005} c - {0,046\,644}=0
- v:it:Le Equazioni di Secondo Grado (superiori) 983 {25\,000} ( {1,005} + c + {1,005} c + c^{2} ) = {26\,291,10}
- v:it:Le Equazioni di Secondo Grado (superiori) 985 c_{1\text{,}2} = \tfrac{- {2,005} \pm \sqrt{{4,020\,025} + {0,186\,576}}}{2} = \tfrac{{-2,005} \pm {2,051}}{2}\Rightarrow c_{1} = {-2,028} \vee c_{2} = {0,023}.
- v:it:Le Equazioni di Secondo Grado (superiori) 987 {0,023}
- v:it:La probabilità (superiori) 163 p=\tfrac 1 8={0,125}={12,5}\%
- v:it:La probabilità (superiori) 165 p=\tfrac 3 8={0,375}={37,5}\%
- v:it:La probabilità (superiori) 222 P(E)=\tfrac 5{5+12}=\tfrac 5{17}={0,294}={29,4}\%
- v:it:La probabilità (superiori) 448 P(A)=1-P(\overline A)=1-{0,482}={0,518}={51,8}\%
- v:it:La probabilità (superiori) 448 P(\overline A)=\tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6=\tfrac{625}{{1\,296}}={0,482}={48,2}\%
- v:it:La probabilità (superiori) 452 P(\overline B)=\underbrace{\tfrac{35}{36}\cdot\tfrac{35}{36}\cdot\tfrac{35}{36}\cdot\ldots\cdot\tfrac{35}{36}}_{24\text{ volte}}=\tfrac{35^{24}}{36^{24}}={0,509}={50,9}\%
- v:it:La probabilità (superiori) 454 P(B)=1-{0,509}={0,491}={49,1}\%
- v:it:La probabilità (superiori) 541 P(\overline A)=\tfrac{365}{365}\cdot \tfrac{364}{365}\cdot \tfrac{363}{365}\cdot \ldots \cdot \tfrac{343}{365}=\tfrac{365\cdot 364\cdot 363\cdot \ldots \cdot 343}{365^{23}}={0,493}={49,3}\%.
- v:it:La probabilità (superiori) 543 P(A)=1-P(\overline A)=1-{0,493}={0,507}={50,7}\%
- v:it:Calore (superiori) 27 1\ cal =4,185\ J
- v:it:Energia e lavoro 26 1 cal = 4,186 J
itwiktionary
Bearbeiten- wikt:it:Appendice:Glossario fisico 34 9\;460\;730\;472\;580\;800\; \mathrm{m} �pprox 9,46073 \cdot 10^{15}\; \mathrm{m}
- wikt:it:Appendice:Glossario della simbologia matematica 902 \pi \approx 3,1416
- wikt:it:Appendice:Glossario della simbologia matematica 1078 5,6 \in \mathbb{Q}; \quad -2 \in \mathbb{Q}; \quad -1,345 \in \mathbb{Q^-}; \quad \pi \notin \mathbb{Q}